聚焦中考第二章7節(jié)

人教數(shù)學(xué)第二章方程與不等式第7講一元二次方程要點(diǎn)梳理

1．定義只含有

，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是__，這樣的整式方程叫做一元二次方程．通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑海渲衋，b，c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．一個(gè)未知數(shù)2ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知數(shù)，a≠0)要點(diǎn)梳理

2．解法首先考慮，；其次考慮，．3．公式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：

．直接開平方法因式分解法配方法公式法要點(diǎn)梳理

4．一元二次方程的根的判別式對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)b2－4ac＞0?方程有兩個(gè)

的實(shí)數(shù)根；(2)b2－4ac＝0?方程有兩個(gè)

的實(shí)數(shù)根；(3)b2－4ac＜0?方程

實(shí)數(shù)根．不相等相等沒有要點(diǎn)梳理

5．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根分別為x1，x2，則有x1＋x2＝

，x1x2＝

．轉(zhuǎn)化思想一元二次方程的解法——直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化”的思想，把待解決的問題(一元二次方程)，通過轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為已解決的問題(一元一次方程)，也就是不斷地把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”．一個(gè)注意注意：(1)根的判別式“b2－4ac”只有在確認(rèn)方程為一元二次方程時(shí)才能使用；(2)使用時(shí)，必須將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般式ax2＋bx＋c＝0，以便確定a，b，c的值．一個(gè)防范正確理解“方程有實(shí)根”的含義．若有一個(gè)實(shí)數(shù)根則原方程為一元一次方程；若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則原方程為一元二次方程．在解題時(shí)，要特別注意“方程有實(shí)數(shù)根”“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”等關(guān)鍵文字，挖掘出它們的隱含條件，以免陷入關(guān)鍵字的“陷阱”．1．(2014·寧夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是(

)

A．x1＝x2＝1

B．x1＝1＋2，x2＝－1－2

C．x1＝1＋2，x2＝1－2

D．x1＝－1＋2，x2＝－1－2

C2．(2014·蘭州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則b2－4ac滿足的條件是()A．b2－4ac＝0

B．b2－4ac＞0C．b2－4ac＜0D．b2－4ac≥0B3．(2014·陜西)若x＝－2是關(guān)于x的一元二次方程

x2－52ax＋a2＝0的一個(gè)根，則a的值為(

)

A．1或4

B．－1或－4

C．－1或4

D．1或－4

B4．(2014·棗莊)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的兩個(gè)解，且x1＜x2，下列說法正確的是()A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之間D．x1，x2都小于3A5．(2014·玉林)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)m使1x1＋1x2＝0成立？則正確的是結(jié)論是(

)

A．m＝0時(shí)成立

B．m＝2時(shí)成立

C．m＝0或2時(shí)成立

D．不存在

A一元二次方程的解法

【例1】解下列方程：(1)x2－2x＝0；解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2(2)(2014·徐州)x2＋4x－1＝0；(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2；(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0；(5)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1.解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0，(1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0，(x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0，2(x－1997)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996

解法二：因?yàn)?1997－x)2＋(x－1996)2＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)，所以原方程可化為1－2(1997－x)(x－1996)＝1，2(1997－x)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996【點(diǎn)評】解一元二次方程要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解題，但一般順序?yàn)椋褐苯娱_平方法→因式分解法→公式法．1．用指定的方法解下列方程：(1)(2x－1)2＝9；(直接開平方法)(2)x2＋3x－4＝0；(配方法)(3)x2－2x－8＝0；(因式分解法)(4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(公式法)x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，x1＝4，x2＝－2

配方法

【例2】用配方法把代數(shù)式3x－2x2－2化為a(x＋m)2＋n的形式，并說明不論x取何值，這個(gè)代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù)．并求出當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最大．【點(diǎn)評】

(1)代數(shù)式的配方是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用方法．在配方前，先將二次項(xiàng)系數(shù)－2提出來，使括號中的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后通過配方分離出一個(gè)完全平方式．(2)注意與方程的配方的區(qū)別．2．(1)(2014·聊城)用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可變形為(

)

A．(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2

B．(x＋b2a)2＝4ac－b24a2

C．(x－b2a)2＝b2－4a4a2

D．(x－b2a)2＝4ac－b24a2

A(2)對于二次三項(xiàng)式x2－10x＋36，小聰同學(xué)作出如下結(jié)論：無論x取什么實(shí)數(shù)，它的值都不可能等于11.你是否同意他的說法？說明你的理由．解：不同意小聰?shù)恼f法．理由如下：x2－10x＋36＝x2－10x＋25＋11＝(x－5)2＋11≥11，當(dāng)x＝5時(shí)，x2－10x＋36有最小值11一元二次方程根的判別式

【例3】

(2014·深圳)下列方程沒有實(shí)數(shù)根的是()A．x2＋4x＝10B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0D．(x－2)(x－3)＝12C【點(diǎn)評】對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況的描述，必須借助根的判別式，Δ≥0方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，Δ＞0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，Δ＝0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，Δ＜0方程沒有實(shí)數(shù)根，反之亦然．3．(1)(2014·內(nèi)江)若關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(

)

A．k＞12

B．k≥12

C．k＞12且k≠1

D．k≥12且k≠1

C(2)(2014·十堰)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.①若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；②若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且滿足(x1－x2)2＝16－x1x2，求實(shí)數(shù)m的值．解：①由題意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0，解得m≥－1，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥－1②由兩根關(guān)系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1·x2＝m2－1，(x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0，∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0，解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1與幾何問題的綜合

【例4】

(1)已知等腰三角形底邊長為8，腰長是方程x2－9x＋20＝0的一個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的腰長．解：解方程x2－9x＋20＝0，x1＝4，x2＝5，當(dāng)腰長x＝4時(shí)，4＋4＝8，不合題意，舍去，∴腰長x＝5(2)(2013·綿陽)已知整數(shù)k＜5，若△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2－3kx＋8＝0，則△ABC的周長是

．

6或12或10

【點(diǎn)評】

(1)將構(gòu)成三角形的條件“三角形任意兩邊之和大于第三邊”與一元二次方程的解結(jié)合在一起，并考查了分類討論的思想．(2)根據(jù)題意得k≥0且(3k)2－4×8≥0，而整數(shù)k＜5，則k＝4，方程變形為x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，由于△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程

x2－6x＋8＝0，所以△ABC的邊長可以為2，2，2或4，4，4或4，4，2，然后分別計(jì)算三角形周長．

4．(2013·鐵嶺)如果三角形的兩邊長分別是方程x2－8x＋15＝0的兩個(gè)根，那么連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，得到的三角形的周長可能是()A．5.5

B．5

C．4.5

D．4A試題(1)解方程：3x(x＋2)＝5(x＋2)；(2)解方程：9x2＋6x＋1＝9；(3)解方程：x2－2x＋1＝0.錯(cuò)解

(1)解：3x(x＋2)＝5(x＋2)，

兩邊同時(shí)除以(x＋2)，得3x＝5，∴x＝53.

(2)解：9x2＋6x＋1＝9，

左邊因式分解，得(3x＋1)2＝9，

兩邊開平方，得3x＋1＝3，∴x＝23.

(3)解：x2－2x＋1＝0，

配方，得(x－1)2＝0，

兩邊開平方，得x－1＝0，∴x＝1.

剖析(1)解方程3x(x＋2)＝5(x＋2)時(shí)，方程兩邊同時(shí)除以含x的代數(shù)式破壞了方程的同解性，遺失了一個(gè)根x＝－2；解方程9x2＋6x＋1＝9，在開平方時(shí)，由于只取了一個(gè)算術(shù)平方根，這樣就把未知數(shù)的取值范圍