2022-2023學年安徽省合肥市七中、合肥十中數(shù)學高二下期末達標檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．現(xiàn)有五位同學分別報名參加航模、機器人、網(wǎng)頁制作三個興趣小組競賽，每人限報一組，那么不同的報名方法種數(shù)有()A．120種 B．5種 C．種 D．種2．從1、2、3、4、5、6中任取兩個數(shù)，事件：取到兩數(shù)之和為偶數(shù)，事件：取到兩數(shù)均為偶數(shù)，則（）A． B． C． D．3．的展開式中的系數(shù)為A． B． C． D．4．在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為線段CD和上的動點，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和（）A．有最小值 B．有最大值 C．為定值3 D．為定值25．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率（）A． B． C． D．8．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．與C．與 D．9．已知空間向量OA向量OP=xOA+yOB+zOCA．12 B．1 C．3210．在去年的足球甲聯(lián)賽上，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1；二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年失球個數(shù)的標準差是0.4，你認為下列說法中正確的個數(shù)有（）①平均來說一隊比二隊防守技術(shù)好；②二隊比一隊防守技術(shù)水平更穩(wěn)定；③一隊防守有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；④二隊很少不失球.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．若焦點在軸上的雙曲線的焦距為，則等于（）A． B． C． D．12．已知，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于14．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，則a的值為.15．甲和乙玩一個猜數(shù)游戲，規(guī)則如下：已知六張紙牌上分別寫有1﹣六個數(shù)字，現(xiàn)甲、乙兩人分別從中各自隨機抽取一張，然后根據(jù)自己手中的數(shù)推測誰手上的數(shù)更大．甲看了看自己手中的數(shù)，想了想說：我不知道誰手中的數(shù)更大；乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我知道誰手中的數(shù)更大了．假設(shè)甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中可能的數(shù)構(gòu)成的集合是_____16．如圖所示，在圓錐中，為底面圓的兩條直徑，，且,，為的中點，則異面直線與所成角的正切值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知時，函數(shù)，對任意實數(shù)都有，且，當時，（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若且，求的取值范圍.18．（12分）某區(qū)組織部為了了解全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況，按照分層抽樣的方法，從全區(qū)320名正科級干部和1280名副科級干部中抽取40名科級干部預(yù)測全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況.現(xiàn)將這40名科級干部分為正科級干部組和副科級干部組，利用同一份試卷分別進行預(yù)測.經(jīng)過預(yù)測后，兩組各自將預(yù)測成績統(tǒng)計分析如下表：分組人數(shù)平均成績標準差正科級干部組806副科級干部組704（1）求；（2）求這40名科級干部預(yù)測成績的平均分和標準差；（3）假設(shè)該區(qū)科級干部的“黨風廉政知識”預(yù)測成績服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值.利用估計值估計：該區(qū)科級干部“黨風廉政知識”預(yù)測成績小于60分的約為多少人？附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則；；.19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)在上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知橢圓C:經(jīng)過點,是橢圓的兩個焦點，，是橢圓上的一個動點.(1)求橢圓的標準方程；(2)若點在第一象限，且,求點的橫坐標的取值范圍；21．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列，…的前項和為.（1）計算的值，根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中猜想的表達式.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先計算每個同學的報名方法種數(shù),利用乘法原理得到答案.【詳解】A同學可以參加航模、機器人、網(wǎng)頁制作三個興趣小組,共有3種選擇.同理BCDE四位同學也各有3種選擇,乘法原理得到答案為D【點睛】本題考查了分步乘法乘法計數(shù)原理,屬于簡單題目.2、D【解析】

根據(jù)條件概率公式可得解.【詳解】事件分為兩種情況：兩個均為奇數(shù)和兩個數(shù)均為偶數(shù)，所以，，由條件概率可得：，故選D.【點睛】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】分析：先求出二項式展開式的通項，再令x的指數(shù)為4得到r的值，即得的展開式中的系數(shù).詳解：由題得二項展開式的通項為,令10-3r=4,所以r=2,所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查二項式展開式中某項的系數(shù)的求法，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)的展開式中的系數(shù)為,不是,要把二項式系數(shù)和某一項的系數(shù)兩個不同的概念區(qū)分開.4、D【解析】

分別在后，上，左三個平面得到該四邊形的投影，求其面積和即可．【詳解】依題意，設(shè)四邊形D1FBE的四個頂點在后面，上面，左面的投影點分別為D'，F(xiàn)'，B'，E'，則四邊形D1FBE在上面，后面，左面的投影分別如上圖．所以在后面的投影的面積為S后=1×1=1，在上面的投影面積S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面積S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四邊形D1FBE所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=1．故選D．【點睛】本題考查了正方體中四邊形的投影問題，考查空間想象能力．屬于中檔題．5、B【解析】

對復(fù)數(shù)進行整理化簡，從得到其在復(fù)平面所對應(yīng)的點，得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標為，位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點所在象限，屬于簡單題.6、B【解析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得，距離y軸近的點，對應(yīng)的函數(shù)值較小，可得選項.【詳解】因為函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，所以可知距離y軸近的點，對應(yīng)的函數(shù)值較??；，且，所以，故選B.【點睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).7、C【解析】

記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項分布的知識計算出，再計算出，結(jié)合條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項：【點睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項分布公式求解概率的問題.8、D【解析】

求出函數(shù)的導函數(shù)【詳解】∵，∴．由，解得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．故選D．【點睛】利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導數(shù)；③在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式和；④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．9、A【解析】

由題求得OP的坐標，求得OP，結(jié)合4x+2y+z=4可得答案.【詳解】=x+y,y,z，OP利用柯西不等式可得42∴OP故選A.【點睛】本題考查空間向量的線性坐標運算及空間向量向量模的求法，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】在（1）中，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，

∴平均說來一隊比二隊防守技術(shù)好，故（1）正確；

在（2）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊比一隊技術(shù)水平更穩(wěn)定，故（2）正確；

在（3）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴一隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好，故（3）正確；

在（4）中，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊很少不失球，故（4）正確.故選：D．11、B【解析】分析：根據(jù)題意，由焦點的位置可得，又由焦距為，即，再由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，即可求得.詳解：根據(jù)題意，焦點在軸上的雙曲線，則，即，又由焦距為，即，則有，解得.故選：B.點睛：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意雙曲線的焦點在y軸上，先求出a的范圍.12、C【解析】

根據(jù)已知求出，再求.【詳解】因為，故，從而.故選C【點睛】本題主要考查誘導公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

首先將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程，得到圓心坐標和圓的半徑的大小，之后應(yīng)用點到直線的距離求得弦心距，借助于圓中特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求得弦長.【詳解】根據(jù)題意，圓的方程可化為x2所以圓的圓心為(0,-1)，且半徑是2，根據(jù)點到直線的距離公式可以求得d=0+1+1結(jié)合圓中的特殊三角形，可知AB=24-2=22【點睛】該題考查的是有關(guān)直線被圓截得的弦長問題，在解題的過程中，熟練應(yīng)用圓中的特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，借助于勾股定理求得結(jié)果.14、7【解析】試題分析：因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（3，4）P（ξ＜2a－3）＝P（ξ＞a＋2），所以與關(guān)于對稱，所以，所以，所以.考點：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．點評：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，本題主要考查曲線關(guān)于x=3對稱，考查關(guān)于直線對稱的點的特點，本題是一個基礎(chǔ)題，若出現(xiàn)是一個得分題目．15、【解析】

根據(jù)題意，先推出甲不是最大與最小的數(shù)，再討論乙的所有情形，即可得出答案.【詳解】由題意，六個數(shù)字分別為.由甲說他不知道誰手中的數(shù)更大，可推出甲不是最大與最小的數(shù)，若乙取出的數(shù)字是或，則他知道甲的數(shù)字比他大還是??；若乙取出的數(shù)字是或，則他知道甲的數(shù)字比他大還是??；若乙取出的數(shù)字是或，則他不知道誰的數(shù)字更大.故乙手中可能的數(shù)構(gòu)成的集合是.【點睛】本題考查了簡單的推理，要注意仔細審題，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由于與是異面直線，所以需要平移為相交直線才能找到異面直線與所成角，由此連接OP再利用中位線的性質(zhì)得到異面直線與所成角為,并求出其正切值．【詳解】連接，則，即為異面直線與所成的角，又，，，平面，，即，為直角三角形，.【點睛】本題考查了異面直線所成角的計算，關(guān)鍵是利用三角形中位線的性質(zhì)使異面直線平移為相交直線．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)偶函數(shù).(2)見解析.(3).【解析】

(1)利用賦值法得到，即得函數(shù)的奇偶性.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義嚴格證明.(3)先求出，再解不等式.【詳解】（1）令，則，，為偶函數(shù).（2）設(shè)，，∵時，，∴，∴，故在上是增函數(shù).（3）∵,又∴∵，∴，即，又故.【點睛】(1)本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的證明，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)的運用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：①取值，設(shè)，且；②作差，求；③變形（合并同類項、通分、分解因式、配方等）；④判斷的正負符號；⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論.18、（1）8,32；（2）72，6；（3）36.【解析】

（1）首先求得樣本容量與總體的比為，根據(jù)比例可求得；（2）根據(jù)平均數(shù)計算公式可求得平均數(shù)；根據(jù)正科級和副科級干部組的標準差可分別求得正科級和副科級干部組每個人成績的平方和；代入方差公式可求得總體的方差，進而得到標準差；（3）首先確定的估計值，的估計值；根據(jù)原則求得；根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得，從而可求得預(yù)測成績小于分的人數(shù).【詳解】（1）樣本容量與總體的比為：則抽取的正科級干部人數(shù)為；副科級干部人數(shù)為，（2）這名科級干部預(yù)測成績的平均分：設(shè)正科級干部組每人的預(yù)測成績分別為，副科級干部組每人的預(yù)測成績分別為則正科級干部組預(yù)測成績的方差為：解得：副科級干部組預(yù)測成績的方差為：解得：這名科級干部預(yù)測成績的方差為這名科級干部預(yù)測成績的平均分為，標準差為（3）由，，得的估計值，的估計值由得：所求人數(shù)為：人【點睛】本題考查統(tǒng)計中的頻數(shù)的計算、平均數(shù)和方差、標準差的求解、正態(tài)分布中的概率求解問題，是對統(tǒng)計知識的綜合考查，屬于常規(guī)題型.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)存在,滿足題設(shè).【解析】

(1)根據(jù)當時直接求導，令與,即可得出單調(diào)區(qū)間.(2)函數(shù),使函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于,等價于,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求出的最小值,即可得出的范圍.【詳解】(1)當時,,令,則或,令,則,的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)存在,滿足題設(shè).函數(shù).要使函數(shù)在上單調(diào)遞增,,即,令,則當時,在上單調(diào)遞減,當時,在上單調(diào)遞增,是的極小值點，也是最小值點,且存在,滿足題設(shè).【點睛】本題主要考查導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題,考查分類討論的數(shù)學思想,等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想等知識,難度較難.20、（1）；（2）.【解析】分析：（1）由焦距得出焦點坐標，求出點M到兩焦點的距離之和即為，從而可得；（2）用參數(shù)方程，設(shè)（），然后計算向量的數(shù)量積，可求得范圍．詳解：（1）由已知得，，∴，，同理，∴，，∴，橢圓標準方程為．（2）設(shè)（），則，，∴，∴，即點橫坐標取值范圍是．點睛：在求橢圓的標準方程時，能用定義的就用定義，如已知曲線上一點坐標，兩焦點坐標，可先求得此點到兩焦點距離之和得出，再由求得，從而得標準方程．這種方法可減少計算量，增加正確率．21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題意知為，利用等腰三角形三線合一的思想得出，由平面可得出，再利用直線與平面垂直