人教課標(biāo)實驗版八年級下冊第十六章分式1分式方程“衡水杯”一等獎

典型例題【例1】

解方程.[解]原方程就是去分母，得整理后，得

解這個方程，得.經(jīng)檢驗，是增根，是原方程的根.[說明]去分母前的排列，變號（如本題中的變?yōu)椋?，去分母時分母為1的整式或常數(shù)漏乘最簡公母以及去括號時符號是否改變，都是解方程中容易出錯的地方，解題過程中都要認(rèn)真對待.【例2】

解方程[解法一]原方程可化為設(shè)，則原方程化為，去分母，得，解這個方程，得.當(dāng)時，，，∴

此方程無實根.當(dāng)時，.解這個方程，得經(jīng)檢驗，都是原方程的根.[解法二]去分母，整理，得

或

.方程的，無實數(shù)根.∴

.經(jīng)檢驗，都是原方程的根.[說明]從兩種解法看到分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的兩種途徑.解法一用的是換元法，因為，設(shè)，經(jīng)過換元使方程得到化簡.解法二用的是去分母，其后在解的過程中也是一種換元的思想，是把看成一個整體，當(dāng)成一個未知數(shù)，只是沒有顯現(xiàn)出換元，如果換元方法掌握較好，對于這樣的題采用解法二是否更為簡捷些.【例3】

當(dāng)a取何值時，方程去分母，得解這個方程，得∵

方程的解為負(fù)數(shù)，∴

，解得

.，∴

.

即

.∴

∴

當(dāng)且時，方程的解為負(fù)數(shù).[說明]分式方程的解必使是各分式的分母不等于零，在求適合某種條件的字母系數(shù)的值時，要特別注意這一點.【例4】

某工廠計劃生產(chǎn)480個零件，在實際生產(chǎn)中每小時多做了10個，結(jié)果不僅提前1小時完成任務(wù)，而且還比原計劃多生產(chǎn)了10個零件.求原計劃每小時做多少個零件？預(yù)計用多少時間？分析

設(shè)原計劃每小時做x個零件，那么預(yù)計用的時間就是小時，實際每小時生產(chǎn)了個零件，共計生產(chǎn)了個，所以實際所用的時間是小時.根據(jù)“實際比原計劃提前1小時完成”這個等量關(guān)系列方程.[解]設(shè)原計劃每小時做x個零件.根據(jù)題意，有.去分母，整理，得.解這個方程，得.經(jīng)檢驗，都是原方程的根，但生產(chǎn)零件的個數(shù)不能為負(fù)數(shù)，所以只取.當(dāng)時，.答：原計劃每小時生產(chǎn)60個零件，預(yù)計用8小時完成任務(wù).【例5】

甲、乙二人分別從相距27千米的A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，3小時相遇.相遇后兩人各用原來速度繼續(xù)前進(jìn)，甲到達(dá)B地比乙到達(dá)A地早1小時21分.求兩人的速度.分析

本題中的主要等量關(guān)系是走完全程甲比乙少用1小時21分，可用等式表示.題目的前一句話中隱含了二人速度之間的關(guān)系，27千米的路程，二人用3小時相遇，就是說二人的速度和是每小時9千米，如果設(shè)甲每小時走x千米，那么乙每小時走（）千米.[解]設(shè)甲每小時走x千米，那么乙每小時走（）千米.依題意，有.化簡得去分母，整理，得解這個方程，得經(jīng)檢驗，都是原方程的根，但速度不能為負(fù)數(shù)，所以只取.當(dāng)時，.答：甲每小時走5千米，乙每小時走4千米.[說明]本題也可以把題中的兩句話看成兩個等量關(guān)系，列方程組求解.即設(shè)甲的速度為每小時x千米，乙的速度為每小時y千米.根據(jù)題意，有.方程組用代入消元法求解.【例6】解方程：分析：若去分母，則會變?yōu)楦叽畏匠?，這樣解起來，比較繁，注意到分母中都有，可用換元法降次設(shè)，則原方程變?yōu)椤唷嗷驘o解∴經(jīng)檢驗：是原方程的解【例7】有農(nóng)藥一桶，倒出8升后，用水補(bǔ)滿，然后又倒出4升，再用水補(bǔ)滿，此時農(nóng)藥與水的比為18：7，求桶的容積．[解]設(shè)桶的容積為升，第一次用水補(bǔ)滿后