2021年吉林省長春市榆樹五棵樹中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021年吉林省長春市榆樹五棵樹中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=2+bi，其中i為虛數(shù)單位，若z1?z2為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)b=（） A．﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2參考答案：考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)的基本概念．專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析： 由題意可得z1?z2=2﹣b+（2+b）i，由實(shí)數(shù)的定義可得2+b=0，解方程可得．解答： 解：∵z1=1+i，z2=2+bi，∴z1?z2=（1+i）（2+bi）=2﹣b+（2+b）i，∵z1?z2為實(shí)數(shù)，∴2+b=0，解得b=﹣2故選：A點(diǎn)評： 本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬基礎(chǔ)題．2.若函數(shù)，則滿足的x的取值范圍為A． B． C． D．參考答案：B3.在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(

)A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形參考答案：B4.設(shè)為橢圓與雙曲線的公共的左、右焦點(diǎn)，它們在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，是以線段為底邊的等腰三角形，且，若橢圓的離心率．則雙曲線的離心率的取值范圍是(A)(B)(C)(D)參考答案：A略5.若集合則“”是“”的（

）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：A6.設(shè)非零實(shí)常數(shù)a、b、c滿足a、b同號，b、c異號，則關(guān)于x的方程a.4x+b.2x+c=0(

)(A)無實(shí)根

(B)有兩個共軛的虛根

(C)有兩個異號的實(shí)根

(D)僅有一個實(shí)根參考答案：D7.設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列命題錯誤的是()A．若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)；B．若數(shù)列{}有最大項(xiàng)，則d＞0；C．若數(shù)列{}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有＞0；D．若對任意n∈N*，均有＞0，則數(shù)列{}是遞增數(shù)列；參考答案：C本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)以及不等式知識，考查靈活運(yùn)用知識的能力，有一定的難度．法一：特值驗(yàn)證排除．選項(xiàng)C顯然是錯的，舉出反例：－1，0,1,2,3，…滿足數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是＞0不恒成立．法二：由于＝na1＋d＝n2＋n，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知當(dāng)d＜0時，數(shù)列{}有最大項(xiàng)，即選項(xiàng)A正確；同理選項(xiàng)B也是正確的；而若數(shù)列{}是遞增數(shù)列，那么d＞0，但對任意的n∈N*，＞0不成立，即選項(xiàng)C錯誤；反之，選項(xiàng)D是正確的；故應(yīng)選C.8.函數(shù)的定義域是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①，②，③，④，其中屬于“同簇函數(shù)”的是

A．①②

B．①④

C．②③

D．③④參考答案：D10.若（x6）n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于(

) A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；二項(xiàng)式定理．分析：二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，對其進(jìn)行整理，令x的指數(shù)為0，建立方程求出n的最小值．解答： 解：由題意，（x6）n的展開式的項(xiàng)為Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令6n﹣r=0，得n=r，當(dāng)r=4時，n取到最小值5故選：C．點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式的項(xiàng)，且能根據(jù)指數(shù)的形式及題設(shè)中有常數(shù)的條件轉(zhuǎn)化成指數(shù)為0，得到n的表達(dá)式，推測出它的值．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程的根稱為函數(shù)的零點(diǎn)，定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，且，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是

.參考答案：3略12.方程表示曲線，給出以下命題：①曲線不可能為圓；②若，則曲線為橢圓；③若曲線為雙曲線，則或；④若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則.其中真命題的序號是_____(寫出所有正確命題的序號)．參考答案：13.在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，，.若為鈍角，，則的面積為

參考答案：，，，，，，，14.已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,則b= .參考答案：解析：因?yàn)椤?/p>

.解得15.在下列給出的命題中，所有正確命題的序號為．①函數(shù)y=2x3+3x﹣1的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對稱；②對?x，y∈R．若x+y≠0，則x≠1或y≠﹣1；③若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則的最大值為；④若△ABC為銳角三角形，則sinA＜cosB．⑤在△ABC中，BC=5，G，O分別為△ABC的重心和外心，且?=5，則△ABC的形狀是直角三角形．參考答案：①②③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡易邏輯．【分析】①根據(jù)對稱性等函數(shù)的性質(zhì)判斷②由對全稱量詞的否定來判斷命題真假，③利用函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合，可以得到正確的結(jié)論．④結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可⑤在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，取BC的中點(diǎn)為D，連接AD、OD、GD，運(yùn)用重心和外心的性質(zhì)，運(yùn)用向量的三角形法則和中點(diǎn)的向量形式，以及向量的平方即為模的平方，【解答】解：對于①函數(shù)y=2x3﹣3x+1=的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對稱，假設(shè)點(diǎn)（x0，y0）在函數(shù)圖象上，則其關(guān)于①點(diǎn)（0，1）的對稱點(diǎn)為（﹣x0，2﹣y0）也滿足函數(shù)的解析式，則①正確；對于②對?x，y∈R，若x+y≠0，對應(yīng)的是直線y=﹣x以外的點(diǎn)，則x≠1，或y≠﹣1，②正確；對于③若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則=，可以看作是圓x2+y2=1上的點(diǎn)與點(diǎn)（﹣2，0）連線的斜率，其最大值為，③正確；對于④若△ABC為銳角三角形，則A，B，π﹣A﹣B都是銳角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，則cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故④不正確．對于⑤在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，取BC的中點(diǎn)為D，連接AD、OD、GD，如圖：則OD⊥BC，GD=AD，∵=|，由則，即則又BC=5則有由余弦定理可得cosC＜0，即有C為鈍角．則三角形ABC為鈍角三角形；⑤不正確．故答案為：①②③【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)用、三角函數(shù)的性質(zhì)、命題真假的判斷等，使用了數(shù)形結(jié)合的思想，是數(shù)學(xué)中的常見思想，要加深體會．難度較大16.已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且，當(dāng):c>0時，，則不等式的解集為

．參考答案：17.函數(shù)的最小正周期為

.參考答案：答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）設(shè)x＝a和x＝b是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，其中（1）求f（a）＋f（b）的取值范圍；（2）若，求的最大值。參考答案：19.已知拋物線，過其焦點(diǎn)作兩條相互垂直且不平行于坐標(biāo)軸的直線，它們分別交拋物線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，線段、的中點(diǎn)分別為、.（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）求面積的最小值；（Ⅲ）過、的直線是否過定點(diǎn)?若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直線恒過定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)條件得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為,.聯(lián)立，得..設(shè)，，則，，∴.（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅱ）知直線的斜率為：，所以直線的方程為:,即，（*）當(dāng)，時方程（*）對任意的均成立，即直線過點(diǎn).當(dāng)時，直線的方程為：，也過點(diǎn).所以直線恒過定點(diǎn).……12分考點(diǎn)：求軌跡方程，直線與拋物線相交的綜合問題．20.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱底面，，是棱上動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)是中點(diǎn)時，求證：∥平面；（Ⅱ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值是，若存在，求的長，若不存在，請說明理由。參考答案：（1）證明，取的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G∵F、G分別是AB、AB1的中點(diǎn)，

∴∥又∵∥∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG

4分∵平面AEB1，EG平面AEB1∴∥平面AEB（2）以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA，CB，CC1為軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，平面的法向量.則由得

∵平面∴是平面EBB1的法向量，則平面的法向量∵二面角A-EB1-B的平面角余弦值為，則解得∴在棱上存在點(diǎn)E，符合題意，此時

略21.已知(1)證明函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)；(2)證明方程沒有負(fù)數(shù)解．參考答案：解析:(1)任取且,則,又=,,故f(x)在上為增函數(shù)．(2)設(shè)存在,滿足,則,由得,即與假設(shè)矛盾,所以方程無負(fù)數(shù)解．22.（2017?樂山二模）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A、B外的一個動點(diǎn)，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；（2）當(dāng)三棱錐C﹣ADE體積最大時，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此證明DE⊥平面ACD，從而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依題意推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)時三棱錐C﹣ADE體積最大，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：∵AB是直徑，∴BC⊥AC…（1分），∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四邊形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依題意，…，由（Ⅰ）知==，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立