力學(xué)中的變換

力學(xué)中的變換第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日引言古希臘哲學(xué)家赫拉克利特（Heraclites,約公元前540年~前480年）說:“人不能兩次踏入同一條河”。極言萬物無時(shí)無刻不在變化。研究事物的變化乃是科學(xué)的真諦。不過，為了區(qū)分事物、為了識別變化的事物，我們必須抓住變化事物的不變性質(zhì)。所以認(rèn)識在變化過程中，事物的不變性質(zhì)，乃是研究這種事物的關(guān)鍵。第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日引言在力學(xué)中，最早樸素地認(rèn)識不變性質(zhì)的，大約是物體處于平衡時(shí)，進(jìn)行微擾平衡不改變。13世紀(jì)約旦努在他的《重物的科學(xué)》中，就以這種觀點(diǎn)來處理杠桿平衡問題。實(shí)際上，這就是后來發(fā)展的虛功原理的萌芽。第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日引言力學(xué)是研究物質(zhì)在空間中位置變化的科學(xué)，而幾何學(xué)是專門研究空間結(jié)構(gòu)的學(xué)科。所以力學(xué)和幾何學(xué)有著天生不可分的聯(lián)系。所以在1627年出版的我國最早的力學(xué)文獻(xiàn)《遠(yuǎn)西奇器圖說》中說“數(shù)學(xué)、度學(xué)，重學(xué)之必須，為兄弟內(nèi)親，不可相離者也?！边@里重學(xué)就是力學(xué)，度學(xué)就是指幾何學(xué)。第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日引言所以力學(xué)同數(shù)學(xué)的發(fā)展是同步的，或者說，有什么樣的數(shù)學(xué)就有什么樣的力學(xué)，反過來在一定的程度上也可以說有什么樣的力學(xué)就有什么樣的數(shù)學(xué)。力學(xué)的研究經(jīng)常是要了解客觀事物的質(zhì)和量兩個(gè)側(cè)面，而質(zhì)和量是不可分的，所以力學(xué)同數(shù)學(xué)自古便有緊密聯(lián)系的傳統(tǒng)。力學(xué)的任務(wù)是研究物質(zhì)在空間中的運(yùn)動，而幾何是研究空間的，所以力學(xué)與幾何有著最為密切的聯(lián)系。力學(xué)與物理學(xué)的革命性的發(fā)展常常是和幾何聯(lián)系在一起的從阿基米德到斯梯芬時(shí)代，力學(xué)的研究內(nèi)容是靜力學(xué)。在幾何方面的主要工具是歐氏幾何。相應(yīng)的計(jì)算工具是常量的代數(shù)運(yùn)算。第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日引言從伽利略、惠更斯到牛頓、萊布尼茲的時(shí)代，力學(xué)研究的主要內(nèi)容是自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，特別是解決在引力作用下的自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。在幾何方面的主要工具是解析幾何，特別是有關(guān)圓錐曲線的解析幾何。在計(jì)算方面的主要工具則是引進(jìn)了變量，發(fā)明了微積分，而且微積分的發(fā)明人牛頓與萊布尼茲自己也是著名的力學(xué)家，是那個(gè)時(shí)期的力學(xué)學(xué)科的開拓者。從拉格朗日到哈密爾頓和雅科比時(shí)代，力學(xué)主要的研究內(nèi)容是約束運(yùn)動。在幾何方面的主要工具是引進(jìn)了n維空間的概念，后來經(jīng)過黎曼的嚴(yán)格化，就是流形或黎曼幾何。而在分析方面的主要工具則是引進(jìn)了泛函的概念，并且發(fā)展了求泛函極值的方法，也就是變分法，拉格朗日自己就是早期開拓變分法的主將。第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日引言在20世紀(jì)末，力學(xué)又進(jìn)入了一個(gè)重要的新階段，這就是以龐卡萊與李亞普諾夫?yàn)榇淼陌l(fā)展動力系統(tǒng)的定性理論時(shí)代。定性理論與運(yùn)動穩(wěn)定性的研究本來是從天體力學(xué)中提出來的一個(gè)理論課題，之后發(fā)現(xiàn)在一切力學(xué)系統(tǒng)中，甚至在由一切非線性常微分方程決定的系統(tǒng)中都有普遍理論與應(yīng)用意義。簡單說，定性理論是研究系統(tǒng)解的性質(zhì)隨參數(shù)而變化的方向，例如有沒有周期解的變化、有沒有極限環(huán)的變化、解穩(wěn)定與不穩(wěn)定的變化等等。相應(yīng)的幾何方面的主要工具就是拓?fù)鋵W(xué)，而相應(yīng)的計(jì)算工具是同倫與外微分等。至今經(jīng)過了100多年的發(fā)展，它仍然是世界上都很關(guān)心的研究領(lǐng)域。第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日一些重要變換的歷史在所有的變化中，最為基本的變化就是位置的變化。為了描述位置的變化，從歷史上說，首先就要把位置用數(shù)量來表述。這就是坐標(biāo)的引進(jìn)。1637年笛卡爾（ReneDescartes，1596-1650)發(fā)表《LaGéométrie》奠定了解析幾何的基礎(chǔ)。從而產(chǎn)生了坐標(biāo)變換的概念。第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日一些重要變換的歷史1893年李（MariusSophusLie

，1842-1899）出版了他積九年研究的成果于三卷書《TheoriederTransformationsgruppen》中。奠定了李群也就是變換群的基礎(chǔ)。第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日一些重要變換的歷史1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊因（FelixChristianKlein，1849-1925）在論文《VergleichendeBetrachtungenüberneueregeometrischeForschungen》中提出以變換來區(qū)分非歐幾何的理論。后來被稱為Erlangenprogram愛爾朗根綱領(lǐng)。

第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日一些重要變換的歷史在引進(jìn)了坐標(biāo)和時(shí)間的變換后，人們自然要討論在這些變換下，哪些力學(xué)量保持不變。于是人們定義了以下三個(gè)力學(xué)量即：動量＝、角動量＝和能量＝。人們立即發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)力學(xué)量分別在坐標(biāo)的平移、旋轉(zhuǎn)和時(shí)間的平移之下保持不變。這就是著名的力學(xué)中的三大守恒定律。第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日一些重要變換的歷史1904年羅倫茨（H.Lorentz，1853-1928）引進(jìn)了時(shí)間和空間變量的羅倫茨變換，在羅倫茨變換下，時(shí)空距離是不變量。其中c是光速。羅倫茨變換在后來相對論的發(fā)展中起了非常重要的作用。第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日一些重要變換的歷史在研究了許多個(gè)別的不變量之后，人們需要從一般的觀點(diǎn)來討論變換和不變量。在力學(xué)問題被牛頓和拉普拉斯等人提為微分方程組之后，一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的變化可以用動力系統(tǒng)，，設(shè)給定初值為，它的解是（1）這個(gè)解實(shí)際上給出了從到的一個(gè)帶參數(shù)t的變換。李是系統(tǒng)研究這種變換的第一人。這個(gè)變換構(gòu)成了一個(gè)單參數(shù)變換群，也稱為單參數(shù)李群。第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日一些重要變換的歷史設(shè)為的任一函數(shù)，一般來說如果

（2）則就是在變換（1）之下的一個(gè)不變量。顯然這個(gè)條件是充分必要的，這是因?yàn)檫M(jìn)一步講，力學(xué)中的各種定律和各種方程，都是講在一定條件或過程中的不變量。都可以統(tǒng)一納入不變量的理論中去討論。第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日勒讓德A.M.Legendre1752－1833

第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日勒讓德變換是從以下偏微分方程出發(fā)的（3）其中令，再令R、S、T僅是p、q函數(shù)。

一些重要變換的歷史第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日令曲面的切平面為

（4）則應(yīng)當(dāng)有

（5）（4）式就在函數(shù)變量x,y與p,q之給出了一個(gè)變換。即第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日由(4)微分得

第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日把以上結(jié)果代入（3）就得到（5），這一變換可以把一個(gè)擬線性方程化歸為一個(gè)線性方程求解。

第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日勒讓德變換的一般提法把以上思想推廣。設(shè)有n個(gè)自變量的函數(shù)它具有直到二階的連續(xù)微商，取新的一組變量

(6)

第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日它們組成對的一組變量替換，設(shè)其Jacobi行列式從（6）就可以把原變量反解出來。得（7）

（8）

考慮新函數(shù)

第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日可以證明（9）

在勒讓德變數(shù)替換下，兩個(gè)函數(shù)U，和

的關(guān)系由（8）給出，對應(yīng)的變量與函數(shù)的關(guān)系由（6）和（9）給出。它概括了力學(xué)與物理上各種作用量之間的關(guān)系。

第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日在力學(xué)中常見的內(nèi)能與自由能之間有關(guān)系。變形能密度與余變形能密度之間有關(guān)系。它們都是勒讓德變換的實(shí)例第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日在分析力學(xué)中，拉格朗日方程是其中拉格朗日函數(shù)是T為動能，U為勢能。哈米爾頓函數(shù)與拉格朗日函數(shù)之間的關(guān)系是這實(shí)際上也是一個(gè)勒讓德變換。在這個(gè)變換下，拉格朗日方程就變換為哈米爾頓方程。第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日從應(yīng)變能到胡—鷲原理也可以歸結(jié)為勒讓德變換令分別為彈性體的位移場、應(yīng)力張量場和應(yīng)變張量場。是應(yīng)變能密度函數(shù)。D為彈性體所占的體積。則泛函取駐值的充分必要條件是第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日

我們列舉了力學(xué)中的一些重要變換。通過這些變換以及在變換之下討論不變量的思想，一直是力學(xué)乃至物理學(xué)研究客觀規(guī)律的一種主導(dǎo)方法。這種方法指引下已經(jīng)取得了許多重要成果，而且還在發(fā)揮著重要作用。

1.我們可以說力學(xué)和物理研究的內(nèi)容就是研究物質(zhì)運(yùn)動在時(shí)間和空間變換下不變的性質(zhì)。不同的變換覺得了不同的研究領(lǐng)域。

2.人們對變換研究的范圍，隨著歷史的發(fā)展也在不斷地?cái)U(kuò)充。開始是研究坐標(biāo)的變換，后來研究坐標(biāo)與時(shí)間的變換。再后來考慮速度以及各種導(dǎo)數(shù)的變換，最后像勒讓德變換那樣，討論未知函數(shù)也參與變換。于是我們有正則變換、接觸變換、貝克隆變換、達(dá)布變換等等。力學(xué)和物理越發(fā)展，所引進(jìn)的變換就越多。結(jié)論第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日結(jié)論

3.通過研究變換可以把問題分類，以區(qū)分不同問題的類型。

4.通過變換可以把問題化簡，化歸到同一等價(jià)類的最簡單的情形來求解。

5.不同的變換下有不同的不變量，求得了不變量往往就得到動力學(xué)問題的一個(gè)第一積分，甚至得到問題的解。

6.力學(xué)和物理的許多規(guī)律往往表述為一定的方程或等式。方程和等式從另外的角度來看，也可以看作是一種特別的不變量。所以對變換和不變量的討論實(shí)際上關(guān)系著整個(gè)力學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展第27頁