力學量與算符

力學量與算符第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日第二章中，求的平均值時，引入了算符概念：將這一概念推廣，得量子力學的第四個基本假定：

*任一力學量A，對應于一力學量算符即，那么：量子力學中算符的一般定義是什么？算符之間如何運算？與力學量A對應的算符與數學上的一般算符有何異同？的本征值問題？如何隨時間變化？An如何隨中參數變化？

這就是本章將要解答的問題！

第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.1力學量算符的定義及運算一，定義：對任意波函數，

=

算符的定義與波函數是分不開的，若無特別說明，算符對它后面的波函數都起作用。二，算法運算：

1，加減

a，結合律

b，交換律

2，乘

note:不一定等于第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日3，對易關系4,逆算符：若，則5，除：6，算符函數：第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日三.算符的厄米共軛運算與厄米算符1，內積2，算符的復共軛運算：在某一表象下，求算符的共軛算符。如：3，定義算符的轉置算符，滿足*厄米共軛運算：第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4，算符的厄米共軛運算定義：若則性質：5，厄米算符：若，則稱為厄米算符第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.2厄米算符的性質厄米算符的平均值為實數厄米算符的本征波函數具有正交性厄米算符的本征函數是完備的兩個厄米算符有共同本征波函數完備集的充分必要條件是：二者對易。第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.3力學量與力學量算符及平均值量子力學第三個基本假定：力學量和力學量算符任一力學量都對應于一個力學量算符；且是厄米算符，；力學量算符的本征值就是力學量F允許的取值；當且僅當粒子處在本征態(tài)時，粒子的力學量有確定值，i.e.相應的本征值。第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日量子力學第四個基本假定：力學量的平均值量子力學中所說的力學量算符的本征波函數是完備的，i.e.任一波函數均可用此本征波函數展開；展開系數模平方是粒子處在該本征態(tài)的幾率；力學量在ψ態(tài)的平均值是：第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.4常見力學量算符的本征值和常見力學量算符：坐標：，任意且連續(xù)歸一化：

第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日二，動量正交歸一：經驗：當本征值取連續(xù)值時，本征波函數要歸一化為δ函數三，軌道角動量角動量算符及其對易關系第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日

可證：有共同的本征波函數完備集

第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日2.球坐標系下，軌道角動量算符的表達式特點、只與有關，與r無關可求或或的共同本征波函數完備集。第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日3.球坐標下求解的共同本征波函數完備集在球坐標下有：利用自然邊界條件：和是同一點得將其帶入方程并作參數變換，變形后對比Legendre方程可得：其中為球諧函數，為連帶Legendre多項式第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日球諧函數的性質：正交歸一性；宇稱確定；完備性；遞推性。升降算符定義：厄米共軛：對易關系：對于球諧函數有：第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.5不確定關系引入：兩算符有共同本征波函數完備集的充分必要條件是：當粒子處于算符本征態(tài)時，有確定值，當粒子處于算符本征態(tài)時，有確定值，因此，當時，、可同時有確定值那么，當時，兩者是否可同時有確定值？計算可知：此式稱為測不準關系或不確定關系。第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日測不準關系的理解測不準關系表示不論粒子處于什么狀態(tài)，在任一時刻測量到的粒子力學量A與B的幾率分布寬度ΔA與ΔB之間，存在一定的關系。若與不對易，一般不為零，這時測不準關系表示乘積ΔA與ΔB一定大于或等于某一個正數。這表明ΔA與ΔB不能同時為零，粒子波函數不可能同時是與的本征函數，粒子不可能同時處于與的本征態(tài)上。第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.7力學量平均值隨時間的變化，守恒量在由歸一化波函數描寫的態(tài)中，力學量F的平均值一般為時間t的函數，上式對t微商，得利用薛定諤方程及其復共軛方程，結合是厄米算符的特點，得如果不含t，且與對易，則，不隨時間變化，可見，力學量算符不含t，且與對易的條件下，無論粒子處于何態(tài)，該力學量的平均值均不隨時間變化，該力學量稱為守恒量。第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日討論在某一力場中力學量F守恒，并不表示力學量F一定去確定值fn。它僅表示無論粒子處于此力場的哪一個態(tài)上，力學量F的平均值均不隨時間變化。如果t=0時粒子的F=fn，即粒子處于的本征值為fn的本征態(tài)上，則任何時候該粒子的F都是fn，即粒子永遠處于的本征值為fn的本征態(tài)上；反之亦然。第19頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.7維里定理與F-H定理維里定理維里定理包含以下兩個內容：當粒子處于勢場V(r)中的束縛定態(tài)ψ