三角形五心性質概念整理(超全)

重心1重到點距與心對中的離比22重和角3個點成個三形積等3重到角3個點離方和小證明方法：設三角形三個頂點為(x,y,y),(x,y)平面上任意一點）則該點到三點距離平112233方和為：(x-x)21

+(y-y)1

2

+(x-x)2

2

+(y2

2

+(x-x)3

2

+(y-y)3

2=3x2-2x(x+x+x)+3y2-2y(y+y)+x2+x2+x2+y2+y2+y2123123123123=3[x-1/3*(x+x+x)]123

2

+3[y-1/3*(y+y)]123

2

+x

1

2

+x

2

2

+x

3

2+y

1

2

+y

2

2

+y

3

2

-1/3(x+x)123

2

-1/3(y+y+y)123

2顯然當x=(x+x+x)/3,y=(y+y)/3（重心坐標）時123123上式取得最小值x

2+x2+x2+y2+y2+y123123

2

-1/3(x+x+x)123

2

-1/3(y+y+y)123

2最終得出結論。4在面角標中重的標頂坐的術均，為(X+X+X)/3,(Y+Y+Y)/3]；123123+X+X)/3坐標+Y+Y+Z+Z1231231235三形到邊離積大點6在ABC中MA量MB量+量0向）M點為ABC的重心反也立7設ABC心G點，在面一O，則向量OG=1/3向OA+量OB+向OC

內心設△ABC的內切圓為☉I(r)，∠A、∠B、∠C對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/21三形內到邊距相，等內圓徑r2．3在Rt中,∠A=90°,三角內圓D，則4點O平面任一，I是△ABC內的要件：向OI=[a(量向向量5在ABC，三頂分是，y1)，B(x2，y2)，C(x3，那△心I的標：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6拉理)中，R和r別外圓和切的徑OI分別為外和心則．7：別三，三形積則切半r=2S/(a+b+c)8的點

雙線任支一與交組的角的心實的影對支

9，切分與切P，Q，R則，BP=BQCR=CQr=[(b+c-a)tan(A/2)]/210三形角分定：中I為內心，∠BAC、∠ABC、∠ACB的角分分交、AC于Q則，CR/RA=a/c內圓半（1在Rt中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．（2在中，∠C=90°（3任△中r=（C為長

外心ABC角、B、C為a、b性（1銳三形外在角內（2直三形外在邊，斜中重；（3鈍三形外在角外.（4等三形心內為一。性，或性長AG與圓交與P（B、C∵A、C、B、P∠B

性點G平面上一，P是平面ABC上任意一，么G是⊿外的要件：（1向向量量向或2向PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向向量性三形條的直分交一，點為角外圓圓.外心三點距相。性點G平上一那點G是ABC外心充條(量GA+量向量(量量量BC=(向GC+量向量三角形接半徑：R=abc/（eq\o\ac(△,4S)ABC）

垂心1銳三形垂在角內直三形垂心直頂上鈍三形垂在角外2三形垂是垂三形內；者，三形內是旁三形垂；3垂心H于邊對點均△外圓上4，六四共，三(組個似直三形且AH·HD=BH·HE=CH·HF5H、A、B、C點任點其三為點三形垂(并稱這的點為—心6eq\o\ac(△,，)的接是圓7在直三形，直交AB、AC在線別P、Q則AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8三形一點垂的離等外到邊距的。9設O別△的心垂，，∠OBC，∠BCO=。10銳三形垂到頂?shù)碾x和于內圓外圓徑和2倍11銳角三形垂是足角的心銳三形內三形(頂點原三形邊，垂三形周最。

12西松理西松）從點三形三所垂的足線充條是點在角的接圓。13設角ABC有點那么P是垂心的充必條是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA