2022-2023學年天津市紅橋區(qū)數(shù)學高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．62．已知點在拋物線的準線上，為的焦點，過點的直線與相切于點，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．43．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積為，則的值為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的離心率為，焦點是，，則雙曲線方程為（）A． B．C． D．5．若雙曲線x2a2-yA．52 B．5 C．626．利用數(shù)學歸納法證明不等式的過程，由到時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項7．如圖，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．8．一個圓柱形的罐子半徑是4米，高是9米，將其平放，并在其中注入深2米的水，截面如圖所示，水的體積是（）平方米A． B．C． D．9．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．二項式展開式中常數(shù)項等于（）A．60 B．﹣60 C．15 D．﹣1511．曲線和直線所圍成圖形的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．1012．若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖1，在棱長為的正方體中，P、Q是對角線上的點，若，則三棱錐的體積為________14．如圖，已知正三棱錐，，，點，分別在核，上（不包含端點），則直線，所成的角的取值范圍是_________.15．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)__________．16．已知函數(shù)，若，則m的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在某?？破罩R競賽前的模擬測試中，得到甲、乙兩名學生的6次模擬測試成績(百分制)的莖葉圖.(I)若從甲、乙兩名學生中選擇一人參加該知識競賽，你會選哪位？請運用統(tǒng)計學的知識說明理由；(II)若從甲的6次模擬測試成績中隨機選擇2個，記選出的成績中超過87分的個數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列和均值.18．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線與橢圓相交于，兩點，求的面積的最大值.19．（12分）已知等比數(shù)列的前項和，其中為常數(shù).（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知函數(shù)，且函數(shù)在和處都取得極值．（1）求，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，且對任意,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，求證：．22．（10分）如圖，平面，在中，，，交于點，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

令,可得,解方程,結(jié)合函數(shù)的圖象,可求出答案.【詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時,;時,;時,.結(jié)合圖象,若,有3個解;若,無解;若,有1個解.所以函數(shù)的零點個數(shù)為4個.故選:C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的零點,考查了學生的推理能力,屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)題中條件可得到拋物線方程，由直線和拋物線相切得到切點N的坐標，進而求得面積.【詳解】點在拋物線的準線上,可得到p=2,方程為：，切點N（x,y）,滿足，過點的直線設(shè)為和拋物線聯(lián)立得到，，取k=1,此時方程為的面積為:故答案為：B.【點睛】這個題目考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，當直線和拋物線相切時，可以聯(lián)立直線和拋物線，使得判別式等于0，也可以設(shè)出切點坐標求導得到該點處的斜率.3、A【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．【詳解】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖：是一個三棱錐和一個三棱柱的組合體，底面都是的等腰直角三角形，高為，所以體積為：，解得．故選A．【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題．4、A【解析】由題意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以雙曲線的方程為．故答案為．故答案選A.5、A【解析】

由垂直關(guān)系得出漸近線的斜率，再轉(zhuǎn)化為離心率e的方程即可．【詳解】∵雙曲線的一條漸近線與直線y=2x垂直，∴-bb2a2=c2故選A．【點睛】本題考查雙曲線的漸近線，掌握兩直線垂直的充要條件是解題基礎(chǔ)．6、D【解析】

分別計算和時不等式左邊的項數(shù)，相減得到答案.【詳解】時，不等式左邊：共有時，：共有增加了故答案選D【點睛】本題考查了數(shù)學歸納法的項數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題型.7、B【解析】

由已知求得，代入，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】解：由圖可知，，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是．故選：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】分析：由已知可得水對應(yīng)的幾何體是一個以截面中陰影部分為底，以9為高的柱體，求出底面面積，代入柱體體積公式，可得答案．詳解：由已知中罐子半徑是4米，水深2米，故截面中陰影部分的面積S=平方米，又由圓柱形的罐子的高h=9米，故水的體積V=Sh=48立方米，故選D．點睛：本題考查的知識點是柱體的體積公式，扇形面積公式，弓形面積公式，難度中檔．9、D【解析】由題意，令，所以，所以，因為，所以所以所以，故選D.10、A【解析】

化簡二項式展開式的通項公式，由此計算的系數(shù)，從而得出正確選項.【詳解】當時，即，故常數(shù)項為，選A.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】分析：先根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形得到積分下限為0，積分上限為2，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可.詳解：曲線和直線的交點坐標為（0,0）,(2,2),(-2,-2),根據(jù)題意畫出圖形，曲線和直線所圍成圖形的面積是.故選C.點睛：該題所考查的是求曲線圍成圖形的面積問題，在解題的過程中，首先正確的將對應(yīng)的圖形表示出來，之后應(yīng)用定積分求得結(jié)果，正確求解積分區(qū)間是解題的關(guān)鍵.12、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可求得；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得到結(jié)果.【詳解】由題意得：本題正確選項：【點睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠利用復(fù)數(shù)的除法運算求得，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

棱錐的體積轉(zhuǎn)化為的體積，求出底面積與高，從而可得結(jié)果.【詳解】到平面的距離是面對角線的一半，即，到直線的距離即到直線的距離，，，棱錐的體積等于的體積，【點睛】本題主要考查錐體體積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用等積變換，將棱錐的底面積與高確定，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

考查臨界位置，先考查位于棱的端點時，直線與平面內(nèi)的直線所成的最小的角，即直線與平面所成的角，以及與所成角的最大值，即，于此得出直線、所成角的取值范圍．【詳解】如下圖所示：過點作平面，垂足為點，則點為等邊的中心，由正弦定理得，平面，易得，當點在線段上運動時，直線與平面內(nèi)的直線所成角的最小值，即為直線與平面所成的角，設(shè)這個角為，則，顯然，當點位于棱的端點時，取最小值，此時，，則；當點位于棱的中點時，則點位于線段上，且，過點作交于點，平面，平面，則，又，，平面，平面，，此時，直線與所成的角取得最大值．由于點不與棱的端點重合，所以，直線與所成角的取值范圍是．故答案為．【點睛】本題考查異面直線所成角的取值范圍，解這類問題可以利用臨界位置法進行處理，同時注意異面直線所成角與直線與平面所成角定義的區(qū)別，并熟悉異面直線所成角的求解步驟，考查空間想象能力，屬于難題．15、【解析】

先由復(fù)數(shù)的除法運算，求出復(fù)數(shù)，進而可得出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為，所以，因此其共軛復(fù)數(shù)為故答案為【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，以及共軛復(fù)數(shù)，熟記運算法則與共軛復(fù)數(shù)的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】

求導得到，利用均值不等式判斷，得到函數(shù)單調(diào)遞增，故，解得答案.【詳解】，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，，可得，解得或.故答案為：.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，均值不等式，意在考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.【解析】

(1)由題意考查兩人的平均值均為82，方差甲乙分別為，結(jié)合方差可知乙的方差小，即乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故可選擇學生乙參加知識競賽.(2)由題意可知：ξ的所有可能取值為0，1，2，結(jié)合超幾何分布概率公式求得概率值，得到分布列，然后計算可得均值為.【詳解】(I)學生甲的平均成績x甲＝＝82，學生乙的平均成績x乙＝＝82，又s＝×[(68-82)2＋(76-82)2＋(79-82)2＋(86-82)2＋(88-82)2＋(95-82)2]＝77，s＝×[(71-82)2＋(75-82)2＋(82-82)2＋(84-82)2＋(86-82)2＋(94-82)2]＝，則x甲＝x乙，s>s，說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，即乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故可選擇學生乙參加知識競賽.(II)隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，則ξ的分布列為ξ012P所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.18、(1)；(2).【解析】

（1）根據(jù)焦點坐標可得，根據(jù)離心率求得，結(jié)合，求得，則問題得解；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達定理，即可容易求得結(jié)果.【詳解】（1）由題可知，，又因為，故可得；由，可得.故橢圓方程為.（2）容易知直線的斜率不為零，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，設(shè)兩點坐標為，故可得則，故的面積令，，故，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，當且僅當，即時取得最大值.故面積的最大值為.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，涉及橢圓中三角形面積的最值問題，屬綜合中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用求出當時的通項，根據(jù)為等比數(shù)列得到的值后可得.（2）利用分組求和法可求的前項和.【詳解】（1）因為，當時，，當時，，所以，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以對也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因為，所以，所以，即.【點睛】（1）數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系是，我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.（2）數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.20、(1),；(2).【解析】

(1)易得和為導函數(shù)的兩個零點,代入計算即可求得.(2)求導分析的解集即可.【詳解】(1)∵.∴,∵函數(shù)在和處都取得極值,故和為的兩根.故.即,(2)由(1)得故當,即時,即,解得或.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點睛】本題主要考查了根據(jù)極值點求解參數(shù)的問題以及求導分析函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的問題.需要根據(jù)題意求導,根據(jù)極值點為導函數(shù)的零點以及導函數(shù)大于等于0則原函數(shù)單調(diào)遞增求解集即可.屬于中檔題.21、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由題意可得，分類討論有：當時，函數(shù)沒有極值點，當時，函數(shù)有一個極值點．（2）由題意可得，原問題等價于恒成立，討論函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)的取值范圍是；（3）原問題等價于，繼而證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增即可.試題解析：（1），當時，在上恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點．（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴，∴，令，，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又∵，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴，即，∴在上單調(diào)遞增，即，∴當時，有．點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22、（1）證明見解析；（2）.【解析】

過D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺溯S建立空間直角