定積分的幾何應用面積和弧長

定積分的幾何應用面積和弧長第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一定積分的元素法

一、什么問題可以用定積分解決?二、如何應用定積分解決問題?第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一表示為一、什么問題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)

有關(guān)的2)U

對區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過“分割,近似代替,求和,取極限”定積分定義一個整體量;第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一二、如何應用定積分解決問題?第一步利用“分割,近似代替”求出局部量的微分表達式第二步利用“求和,取極限”求出整體量的積分表達式這種分析方法稱為元素法

(或微元分析法

)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第二節(jié)第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長定積分在幾何學上的應用第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一一、平面圖形的面積1.直角坐標情形設曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為OO第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一例1.計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:

由得交點O第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一例2.計算拋物線與直線的面積.解:

由得交點所圍圖形為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有O第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應用定積分換元法得當a=b

時得圓面積公式第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值則曲邊梯形面積O第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:O第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一2.極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為O第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一對應

從0變例5.計算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.O第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一心形線例6.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線O第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一心形線(外擺線的一種)即點擊圖中任意點動畫開始或暫停

尖點:

面積:

弧長:參數(shù)的幾何意義第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一例7.計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:利用對稱性,所求面積第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一例8.求雙紐線所圍圖形面積.解:利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.答案:O第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一二、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當折線段的最大邊長→0時,折線的長度之和趨向于一個確定的極限,則稱此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一(1)曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一(3)曲線弧由極坐標方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):(自己驗證)第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一例9.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長.解:下垂懸鏈線方程為第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一例10.

計算擺線一拱的弧長.解:第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一例11.

求阿基米德螺線相應于0≤≤2一段的弧長.解:第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標方程2.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標方程弧微分:直角坐標方程上下限按順時針方向確定直角坐標方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一思考與練習1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A

及邊界長s.提示:

交點為弧線段部分直線段部分以x

為積分變量,則要分兩段積分,故以

y為積分變量.第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期一解：2.

求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其他.