專訓(xùn)利用三角函數(shù)解判斷說理問題

階段方法技巧訓(xùn)練（二）專訓(xùn)5利用三角函數(shù)解判斷說理問題習(xí)題課

利用三角函數(shù)解答實際中的“判斷說理”問題：關(guān)鍵是將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型，運用解直角三角形的知識來解決實際問題．1類型航行路線問題1．如圖，某貨船以24nmile/h的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏

東60°的方向上．該貨船航行30min后到達B處，此

時再測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周

圍9nmile的區(qū)域內(nèi)有暗礁．

若繼續(xù)向正東方向航行，該

貨船有無觸礁危險？試說明

理由．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．理由如下：如圖，過點C作CD⊥AM于點D.依題意，知AB＝24×＝12(nmile)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝

，∴BD＝

CD.解：在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝

，∴AD＝

CD.又∵AD＝AB＋BD，∴CD＝12＋

CD，

解得CD＝6nmile．∵6＞9，∴若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．將這道航海問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型．該貨船有無觸礁危險取決于島C到航線AM的距離與9nmile的大小關(guān)系，因此解決本題的關(guān)鍵在于求島C到航線AM的距離．2．A，B兩市相距150km，分別從A，B處測得國家級風(fēng)

景區(qū)中心C處的方位角如圖所示，風(fēng)景區(qū)區(qū)域是以C為

圓心、45km為半徑的圓，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.

為了開發(fā)旅游，有關(guān)部門設(shè)計修建連接A，B兩市的筆

直高速公路．問連接A，B兩市的筆直高速公路會穿過

風(fēng)景區(qū)嗎？請說明理由．2類型工程規(guī)劃問題不會穿過風(fēng)景區(qū)．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)題意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，則在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∴CD＝

＝50(千米)．∵50＞45，∴連接A，B兩市的筆直高速公路不會穿過風(fēng)景區(qū)．解：3攔截問題類型3．【中考·荊門】如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍方在一

條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方

在公路上的B處沿南偏西60°方向前進實施攔截，

紅方行駛1000米到達C處后，因前方無法通行，紅

方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進了相同

的距離，剛好在D處成功

攔截藍方，求攔截點D處

到公路的距離．(結(jié)果不

取近似值)如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E＝∠F＝90°，攔截點D處到公路的距離DA＝BE＋CF.在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝

BC＝×1000＝500(m)；解：在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1000m，∴CF＝CDcos∠DCF＝500m．∴DA＝BE＋CF＝(500＋500)m，答：攔截點D處到公路的距離是(500＋500)m．4臺風(fēng)影響問題類型4．如圖所示，在某海濱城市O附近海面有

一股強臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當前臺風(fēng)中心

位于該城市的南偏東20°方向200km的

海面P處，并以20km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移動，臺風(fēng)侵襲的范圍是

一個圓形區(qū)域，當前半徑為60km，且圓的半徑以10km/h

的速度不斷擴大．(1)當臺風(fēng)中心移動4h時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大

到________km；當臺風(fēng)中心移動t

h時，受臺風(fēng)侵襲的圓

形區(qū)域半徑增大到___________km.100(60＋10t)(2)當臺風(fēng)中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風(fēng)

是否會侵襲這座海濱城市？請說明理由．(參考數(shù)

據(jù)：≈1.41，≈1.73)不會，理由如下：如圖，過點O作OH⊥PQ于點H，在Rt△POH中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－20°＝45°，OP＝200km，∴OH＝PH＝OP·sin∠OPH＝200×sin45°

＝100≈141(km)．解：設(shè)經(jīng)過xh時，臺風(fēng)中心從P移動到H.臺風(fēng)中心移動速度為20km/h，∴20x＝100，∴x＝5.此時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑應(yīng)為60＋10×5≈1