2023屆河北省衡水市棗強(qiáng)縣棗強(qiáng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.6826 B．0.1587 C．0.1588 D．0.34132．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．3．一次考試中，某班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，若，則該班數(shù)學(xué)成績(jī)的及格（成績(jī)達(dá)到分為及格）率可估計(jì)為（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)滿足，則到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線：與雙曲線：，給出下列說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的是（）A．它們的焦距相等 B．它們的焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等6．“”是雙曲線的離心率為（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．即不充分也不必要條件 D．充分不必要條件7．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A．2 B．1 C．?1 D．?28．若a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分必要條件9．已知雙曲線的離心率為，則m=A．4 B．2 C． D．110．圓與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．相離．11．若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．12．已知，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“，”的否定是______.14．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，則的值為_(kāi)_________．15．某地環(huán)保部門(mén)召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況的總數(shù)為_(kāi)______．16．設(shè)集合,,則____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）有6本不同的書(shū):(1)全部借給5人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?(2)全部借給3人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?18．（12分）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為正方形，平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。?9．（12分）某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種，方案一：每滿200元減50元；方案二：每滿200元可抽獎(jiǎng)一次．具體規(guī)則是依次從裝有3個(gè)紅球、l個(gè)白球的甲箱，裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的乙箱，以及裝有1個(gè)紅球、3個(gè)白球的丙箱中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款半價(jià)7折8折原價(jià)（1）若兩個(gè)顧客都選擇方案二，各抽獎(jiǎng)一次，求至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購(gòu)物金額為320元，用所學(xué)概率知識(shí)比較哪一種方案更劃算？20．（12分）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==1．（1）求證：AC⊥平面BEF；（1）求二面角B?CD?C1的余弦值；（3）證明：直線FG與平面BCD相交．21．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求：①展開(kāi)式中的中間一項(xiàng)；②展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值；（2）若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大，求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù).22．（10分）完成下列證明：（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，知這組數(shù)據(jù)是以為對(duì)稱軸的，根據(jù)所給的區(qū)間的概率與要求的區(qū)間的概率之間的關(guān)系，單獨(dú)要求的概率的值．詳解：∵機(jī)變量服從正態(tài)分布，，

，

∴.故選：D．點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求某一個(gè)區(qū)間的概率，屬基礎(chǔ)題．2、A【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【詳解】，即，所以，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵．3、B【解析】

由題意得出正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得知所求概率為可得出結(jié)果.【詳解】由題意，得，又，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計(jì)算，解題時(shí)要充分利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的概率來(lái)計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.4、B【解析】

作出圖象，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點(diǎn)為中心的邊長(zhǎng)為正方形，到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P圍成的圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，由此利用幾何概型能求出到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P的概率．【詳解】點(diǎn)滿足，

當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，．

作出圖象，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點(diǎn)為中心的邊長(zhǎng)為正方形，

到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P圍成的圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，

到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P的概率為：

．

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．5、D【解析】由題知．則兩雙曲線的焦距相等且，焦點(diǎn)都在圓的圓上，其實(shí)為圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)．漸近線方程都為，由于實(shí)軸長(zhǎng)度不同故離心率不同．故本題答案選，6、D【解析】

將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)化為,由于離心率為可得,在根據(jù)充分、必要條件的判定方法,即可得到結(jié)論.【詳解】將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)化則根據(jù)離心率的定義可知本題中應(yīng)有,則可解得,因?yàn)榭梢酝瞥?反之成立不能得出.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲的離心率公式,考查充分不必要條件的判斷,雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)化后離心率公式的正確使用是解答本題的關(guān)鍵,難度一般.7、D【解析】

本題考察的是對(duì)投影的理解，一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影即一個(gè)投影在另一個(gè)投影方向上的長(zhǎng)度．【詳解】在上的投影方向相反，長(zhǎng)度為2，所以答案是.【點(diǎn)睛】本題可以通過(guò)作圖來(lái)得出答案．8、B【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的概念，即可判斷出結(jié)果.【詳解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的概念，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】

根據(jù)離心率公式計(jì)算．【詳解】由題意，∴，解得．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由方程確定．10、A【解析】

試題分析：由題是給兩圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)?，所以兩圓相離，故選D.考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．11、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可求得；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得到結(jié)果.【詳解】由題意得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布求對(duì)應(yīng)概率【詳解】，所以選C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

特稱命題的否定為全稱命題，即可求解.【詳解】解：由題意知，原命題的否定是：.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的否定.易錯(cuò)點(diǎn)是混淆了命題的否定和否命題的概念.這類問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤是沒(méi)有改變量詞，或者對(duì)于大于的否定變成了小于.14、【解析】

根據(jù)圖像分析，設(shè)，代入函數(shù)求值即可.【詳解】由圖像可知，設(shè)，，即.故填：1.【點(diǎn)睛】本題考查了的圖像，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖像，判斷和的正負(fù)，去絕對(duì)值.15、30種【解析】

對(duì)發(fā)言的3人進(jìn)行討論，一類是3個(gè)中有來(lái)自甲企業(yè)，一類是3人中沒(méi)有來(lái)自甲企業(yè).【詳解】（1）當(dāng)發(fā)言的3人有來(lái)自甲企業(yè)，則共有：；（2）當(dāng)發(fā)言的3人沒(méi)有來(lái)自甲企業(yè)，則共有：；所以可能情況的總數(shù)為種.【點(diǎn)睛】本題考查分類與分步計(jì)數(shù)原理，解題的關(guān)鍵在于對(duì)3個(gè)發(fā)言人來(lái)自企業(yè)的討論，即有來(lái)自甲和沒(méi)有來(lái)自甲.16、{2,4,6,8}【解析】分析：詳解：因?yàn)?,表示A集合和B集合“加”起來(lái)的元素，重復(fù)的元素只寫(xiě)一個(gè)，所以點(diǎn)睛：在求集合并集時(shí)要注意集合的互異性.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）1800；（2）540【解析】分析：（1）將6本書(shū)中某兩本書(shū)合在一起組成5份,借給5人,即可得到答案；（2）將6本書(shū)分成三份有3種分法，第一種是一人4本，一人1本，一人1本；第二種是一人3本，一人2本，一人1本；第三種是每人各2本；然后再將分好的三份借給3人即可.詳解：(1)將6本書(shū)中某兩本書(shū)合在一起組成5份,借給5人,共有=1800種借法.(2)將6本書(shū)分成三份有3種分法.第一種是一人4本,一人1本,一人1本;第二種是一人3本,一人2本,一人1本;第三種是每人各2本;然后再將分好的三份借給3人,有=540種借法.點(diǎn)睛：分組分配問(wèn)題是排列、組合問(wèn)題的綜合運(yùn)用，解決這類問(wèn)題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配．關(guān)于分組問(wèn)題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無(wú)論分成幾組，都應(yīng)注意只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．18、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）（2）以A為原點(diǎn)，如圖所示建立直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面FAE法向量為，則，，19、（1）（2）方案二更為劃算【解析】

（1）設(shè)事件為“顧客獲得半價(jià)”，可以求出，然后求出兩位顧客都沒(méi)有獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式，求出兩位顧客至少一人獲得半價(jià)的概率；（2）先計(jì)算出方案一，顧客付款金額，再求出方案二付款金額元的可能取值，求出，最后進(jìn)行比較得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)事件為“顧客獲得半價(jià)”，則，所以兩位顧客至少一人獲得半價(jià)的概率為：．（2）若選擇方案一，則付款金額為．若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為．，，，，∴．所以方案二更為劃算．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)立事件的概率公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望.考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題的能力.20、(2)見(jiàn)解析（2）；（3）見(jiàn)解析．【解析】

分析：（2）由等腰三角形性質(zhì)得，由線面垂直性質(zhì)得,由三棱柱性質(zhì)可得，因此，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面BCD一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求得兩法向量夾角，再根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果，（3）根據(jù)平面BCD一個(gè)法向量與直線FG方向向量數(shù)量積不為零，可得結(jié)論.詳解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A2B2C2中，∵CC2⊥平面ABC，∴四邊形A2ACC2為矩形．又E，F(xiàn)分別為AC，A2C2的中點(diǎn)，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC2．又CC2⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如圖建立空間直角坐稱系E-xyz．由題意得B（0，2，0），C（-2，0，0），D（2，0，2），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，2）．∴，設(shè)平面BCD的法向量為，∴，∴，令a=2，則b=-2，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC2的法向量為，∴．由圖可得二面角B-CD-C2為鈍角，所以二面角B-CD-C2的余弦值為．（Ⅲ）平面BCD的法向量為，∵G（0，2，2），F(xiàn)（0，0，2），∴，∴，∴與不垂直，∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，∴GF與平面BCD相交．點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型.(2)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.21、（1）①；②；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可求出特定的項(xiàng)以及常數(shù)項(xiàng)的值；（2）根據(jù)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大于求出的值，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，的展開(kāi)式共有項(xiàng)，展開(kāi)式中的中間一項(xiàng)為；②展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所求常數(shù)項(xiàng)的值為；（2）若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大于，而展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，即，解得.所以，展開(kāi)式通項(xiàng)為