2023屆河北省衡水市深州市長江中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則的解析式可能為A． B． C． D．2．如果函數(shù)的圖象如下圖，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖像可能為()A． B．C． D．4．如圖1為某省2019年1~4月快遞義務(wù)量統(tǒng)計圖，圖2是該省2019年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計圖，下列對統(tǒng)計圖理解錯誤的是()A．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬件B．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長率超過50%，在3月最高C．從兩圖來看2019年1~4月中的同一個月快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長率并不完全一致D．從1~4月來看，該省在2019年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長率逐月增長5．函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對于任意的實數(shù)，都有，且當(dāng)時，，則的值為()A．－1 B．－2 C．2 D．17．在《九章算術(shù)）方田章圓田術(shù)（劉徽注）中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至不能割，則與圓周合體而無所失矣．”注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值，這可以通過方程確定出來，類似地，可得的值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與的圖像的交點為，，…，，且，則（）A．1 B．2 C．3 D．49．在某次考試中，甲、乙通過的概率分別為0.7，0.4，若兩人考試相互獨立，則甲未通過而乙通過的概率為A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.1610．下列命題中正確的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．的最大值是D．的最小值是11．使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A． B． C． D．12．的展開式的中間項為（）A．24 B．-8 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)的虛部是______.14．觀察下列等式：請你歸納出一般性結(jié)論______.15．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點與拋物線的焦點相同．則雙曲線的方程為．16．設(shè)a、b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a、b中至少有一個數(shù)大于1”的條件是：_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在邊長為的正三角形中，、依次是、的中點，，，，、、為垂足，若將繞旋轉(zhuǎn)，求陰影部分形成的幾何體的表面積與體積.18．（12分）設(shè)橢圓經(jīng)過點，其離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于、兩點，且的面積為，求的值.19．（12分）已知拋物線：，點為直線上任一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，（1）證明，，三點的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；（2）已知當(dāng)點坐標(biāo)為時，，求此時拋物線的方程；（3）是否存在點，使得點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，其中點滿足，若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.20．（12分）已知復(fù)數(shù)，，其中，為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ex,g(x)＝lnx.(1)設(shè)f(x)在x1處的切線為l1,g(x)在x2處的切線為l2,若l1//l2,求x1＋g(x2)的值;(2)若方程af2(x)－f(x)－x＝0有兩個實根,求實數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)b的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求的值；（3）確定的所有可能取值，使得對任意的，恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

依次對選項求導(dǎo)，再判斷導(dǎo)數(shù)的奇偶性即可得到答案?！驹斀狻繉τ贏，由可得，則為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱；故A不滿足題意；對于B，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故B不滿足題意；對于C，由可得，則為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故C滿足題意，正確；對于D，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故D不滿足題意；故答案選C【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求法，奇偶函數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題。2、A【解析】試題分析：的單調(diào)變化情況為先增后減、再增再減因此的符號變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零，四個選項只有A符合，故選A.考點：1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2、函數(shù)圖象的應(yīng)用.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.3、D【解析】

通過原函數(shù)的單調(diào)性可確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合圖象即可選出答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以時，，符合條件的只有D選項，故選D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號之間的對應(yīng)關(guān)系，屬于中檔題.4、D【解析】

由題意結(jié)合所給的統(tǒng)計圖確定選項中的說法是否正確即可.【詳解】對于選項A：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值為，接近2000萬件，所以A是正確的；對于選項B：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量同比增長率分別為，均超過，在3月最高，所以B是正確的；對于選項C：2月份業(yè)務(wù)量同比增長率為53%，而收入的同比增長率為30%，所以C是正確的；對于選項D，1，2，3，4月收入的同比增長率分別為55%，30%，60%，42%，并不是逐月增長，D錯誤.本題選擇D選項.【點睛】本題主要考查統(tǒng)計圖及其應(yīng)用，新知識的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5、D【解析】分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解：觀察函數(shù)圖象，從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增.對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號為正，負(fù)，正.,選項D的圖象正確.故選D.點睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的對應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.6、A【解析】

利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】因為f（x）是奇函數(shù)，且周期為2，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）．當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1．故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性的應(yīng)用，考查計算能力．7、B【解析】

設(shè)，可得，求解即可.【詳解】設(shè)，則，即，解得，取.故選B.【點睛】本題考查了類比推理，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

求出f（x）的對稱軸，y=|x2-ax-5|的圖象的對稱軸，根據(jù)兩圖象的對稱關(guān)系，求和，解方程可得所求值．【詳解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，又y=|x2-ax-5|的圖象關(guān)于直線x=對稱，當(dāng)m為偶數(shù)時，兩圖象的交點兩兩關(guān)于直線x=對稱，∴x1+x2+x3+…+xm=?a=2m，解得a=1．當(dāng)m奇數(shù)時，兩圖象的交點有m-1個兩兩關(guān)于直線x=對稱，另一個交點在對稱軸x=上，∴x1+x2+x3+…+xm=a?+=2m．解得a=1．故選D．【點睛】本題考查了二次型函數(shù)圖象的對稱性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．9、B【解析】

兩人考試相互獨立，所以是相互獨立事件同時發(fā)生的概率，按照公式求即可.【詳解】甲未通過的概率為0.3，則甲未通過而乙通過的概率為．選B.【點睛】本題考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】因為A.的最小值是2，只有x>0成立。B.的最小值是2，取不到最小值。C.的最大值是，成立D.的最小值是，不成立。故選C11、B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數(shù)項，則，解得，當(dāng)r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用．12、C【解析】

由二項式展開式通項公式，再由展開式的中間項為展開式的第3項，代入求解即可.【詳解】解：的展開式的中間項為展開式的第3項，即，故選：C.【點睛】本題考查了二項式展開式的通項公式，重點考查了展開式的中間項，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用錯位相消法可以化簡式子,最后求出它的虛部.【詳解】令,,得,,.故答案為：【點睛】本題考查了錯位相消法,考查了等比數(shù)列的前項和公式,考查了乘方運算的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運算能力.14、【解析】分析：根據(jù)題意，觀察各式可得其規(guī)律，用將規(guī)律表示出來即可．（，且為正整數(shù)）詳解：根據(jù)題意，觀察各式可得：

第①式中，；②式中，

第③式中，；…規(guī)律可表示為：即答案為.點睛：本題要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．15、【解析】解：由已知得，16、③【解析】試題分析：若a＝，b＝，則a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個大于1．[來源:Z§考點：不等式性質(zhì)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、表面積為，體積為.【解析】

旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個圓錐，從上面挖去一個圓柱，根據(jù)數(shù)據(jù)利用面積和體積公式，可求其表面積與體積．【詳解】由題意知，旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個圓錐，從上面挖去一個圓柱，且圓錐的底面半徑為4，高為，圓柱的底面半徑為2，高為，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成：圓錐的底面、側(cè)面，圓柱的側(cè)面．圓錐的底面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，故所求幾何體的表面積為.陰影部分形成的幾何體的體積為.【點睛】本題考查組合體的表面積和體積的計算，考查空間想象能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．18、(1);(2).【解析】分析：（1）由經(jīng)過點P，得，由離心率為得=，再根據(jù)a2=b2+c2聯(lián)立解方程組即可；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y，得，易知判別式△＞1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦長公式及點到直線的距離公式可表示出△PAB的面積，令其為，即可解出m值，驗證是否滿足△＞1．詳解：（1）解：由已知解得，，∴橢圓的方程為.（2）解：由得：由得：設(shè)，，則，∴又到的距離為，∴即，解得：.符合，故.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．19、(1)證明見解析；(2)；(3)存在一點滿足題意.【解析】

(1)設(shè),對求導(dǎo),則可求出在,處的切線方程,再聯(lián)立切線方程分析即可.

(2)根據(jù)(1)中的切線方程,代入則可得到直線的方程,再聯(lián)立拋物線求弦長列式求解即可.(3)分情況,當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)與兩種情況,求出點的坐標(biāo)表達(dá)式,再利用與垂直進(jìn)行求解分析是否存在即可.【詳解】(1)設(shè),對求導(dǎo)有,故在處的切線方程為,即,又,故同理在處的切線方程為,聯(lián)立切線方程有,化簡得,即的縱坐標(biāo)為,因為，故,,三點的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列.

(2)同(1)有在處的切線方程為,因為,所以,即,又切線過,則,同理,故均滿足直線方程,即故直線,聯(lián)立,則,即,解得,故拋物線：.(3)設(shè),由題意得,則中點,又直線斜率,故設(shè).又的中點在直線上,且中點也在直線上,代入得.又在拋物線上,則.所以或.即點或(1)當(dāng)時,則,此時點滿足(2)當(dāng)時,對,此時,則.又.,所以,不成立,對,因為,此時直線平行于軸,又因為,故直線與直線不垂直,與題設(shè)矛盾,故時,不存在符合題意的點.綜上所述,僅存在一點滿足題意.【點睛】本題考查了拋物線的雙切線問題,需要求出在拋物線上的點的切線方程,再根據(jù)拋物線雙切線的性質(zhì)進(jìn)行計算,同時要靈活運用拋物線的方程,屬于難題.20、（1）.（2）【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再由實部為0且虛部不為0求解；

求出，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運算化簡，由實部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【詳解】（1）由，得，又為純虛數(shù)，所以，且，所以.（2），又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限，所以，且，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于中檔題．21、(1)0.(2)0<a<1.(3)b≥ln2＋.【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用l1//l2時k值相等，即可求出答案；（2）參變分離，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合即可得到答案；（3）由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),求導(dǎo)，因為h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以在[ln2,ln3]上恒成立，再參變分離，分析討論即可.詳解：(1)f′(x)＝ex,g′(x)＝由題意知：＝故x1＋g(x2)＝x1－ln＝0.(2)方程af2(x)－f(x)－x＝0，ae2x－ex－x＝0，a＝令φ(x)＝,則φ′(x)＝－當(dāng)x<0時，ex<1,ex－1<0,所以ex＋2x－1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)單調(diào)增；當(dāng)x>0時，ex>1,ex－1>0,所以ex＋2x－1>0，所以φ′(x)<0，故φ(x)單調(diào)減.從而φ(x)max＝φ(0)＝1又，當(dāng)x>0時，φ(x)＝>0原方程有兩個實根等價于直線y＝a與φ(x)的圖像有兩個交點，故0<a<1.(3)由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),得h′(x)＝ex(lnx＋－b)因為h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以h′(x)＝ex(lnx＋－b)≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立由于ex>0，故只需lnx＋－b≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立即b≥lnx＋在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立令t(x)＝lnx＋,t′(x)＝－＝當(dāng)ln2≤x<1時，t′(x)<0，故t(x)單調(diào)減；當(dāng)1≤x≤ln3時，t′(x)>0，故t(x)單調(diào)增.