尺規(guī)作圖三等分角

尺規(guī)作圖三等分角第1頁(yè)，共10頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這次我們組的數(shù)學(xué)課題是“如何用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)角”。這個(gè)問(wèn)題在世界上都很有知名度，據(jù)說(shuō)用了許多方法都沒(méi)能做出來(lái)。所以我們的目的自然不是做出答案，而是訓(xùn)練培養(yǎng)組員多方面多角度地考慮問(wèn)題，會(huì)用多種方法解決問(wèn)題。也培養(yǎng)了組員思考的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，提高畫(huà)圖能力，體會(huì)研究的樂(lè)趣。下面是我們組的研究成果。這里一定有仍需完善的地方，我們會(huì)根據(jù)大家的提議進(jìn)行修改。第2頁(yè)，共10頁(yè)，2023年，2月20日，星期一首先，我們把三等分角轉(zhuǎn)換成了三等分?。ㄈ鐖D）接著，從三等分弧想到了三等分線(xiàn)段。因?yàn)樵诙确种校『途€(xiàn)段的二等分的作圖方法是可以通用的（如圖）第3頁(yè)，共10頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以我們一共想了兩種三等分線(xiàn)段的方法：1.2.第4頁(yè)，共10頁(yè)，2023年，2月20日，星期一但是我們發(fā)現(xiàn)，二等分中，弧和線(xiàn)段之所以能用同一種方法分割，是因?yàn)樗麄兊姆指罹€(xiàn)是他們的對(duì)稱(chēng)軸。如果把線(xiàn)段的端點(diǎn)和弧的端點(diǎn)重合，那么它們的對(duì)稱(chēng)軸即分割線(xiàn)重合。換一種說(shuō)法，其實(shí)我們分的是弧對(duì)應(yīng)的弦。碰巧的是，在二等分中，它們正好重合，所以它們才能用同一種方法（如圖）而三等分則不然。弦的三等分并不是弧的三等分（如圖）第5頁(yè)，共10頁(yè)，2023年，2月20日，星期一弧的三等分與線(xiàn)段的三等分點(diǎn)的連線(xiàn)應(yīng)該不是平行的。于是我們又開(kāi)始研究弧、弦與圓心角的關(guān)系?？墒撬麄冎g并不存在，或者只有很復(fù)雜的關(guān)系，所以并不能通過(guò)弦與圓心角來(lái)畫(huà)出弧的三等分。但是我們又想到了π。π約等于三，所以在圓上，可以粗略地把圓周三等分（如圖）這樣，只要求出所求角度與360°的關(guān)系，再把圓規(guī)的半徑縮小到同一倍數(shù)，也能近似的三等分一個(gè)角。但是，這個(gè)方法受許多限制，比如在縮小倍數(shù)時(shí)不能保證完全精確，使本已近似的結(jié)果誤差更大。有時(shí)倍數(shù)也不能太復(fù)雜。所以，只有特殊角的三等分可以用這種辦法的。第6頁(yè)，共10頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

之后，我們又查了各種資料，又了解了一種三等分角的辦法。雖說(shuō)都不是標(biāo)準(zhǔn)的尺規(guī)作圖，但是仍然很精確：1、設(shè)所求角為角ACB，并延長(zhǎng)AC（如圖）第7頁(yè)，共10頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、以C為圓心，BC為半徑畫(huà)半圓（如圖）然后，在直尺上做刻度OP，長(zhǎng)度為AC。使O在射線(xiàn)AC上移動(dòng)，P在圓上移動(dòng)。當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，連接PC（如圖）第8頁(yè)，共10頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如此作圖，∠PCO=∠ACB/3（只需把∠PCO復(fù)制到∠ACB上即可）這個(gè)圖雖然精確，但在尺子上做了標(biāo)記，不是很標(biāo)準(zhǔn)。以上就是我們組的研究成果，其中有些不妥當(dāng)之處，望大家及時(shí)