定積分的概念與性質(zhì)

定積分的概念與性質(zhì)1第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一第五章定積分基本要求理解定積分的定義和性質(zhì),微積分基本定理,了解反常積分的概念,掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長(zhǎng)、功、引力等）的方法.2第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分問題舉例定積分的定義關(guān)于函數(shù)的可積性定積分的幾何意義和物理意義小結(jié)思考題作業(yè)定積分定積分的性質(zhì)***definiteintegral3第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一1.曲邊梯形的面積定積分概念也是由大量的實(shí)際問題求由連續(xù)曲線一、定積分問題舉例抽象出來的,現(xiàn)舉兩例.定積分的概念與性質(zhì)4第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一用矩形面積梯形面積．（五個(gè)小矩形）（十個(gè)小矩形）思想以直代曲顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊定積分的概念與性質(zhì)近似取代曲邊梯形面積5第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一采取下列四個(gè)步驟來求面積A.(1)分割(2)取近似定積分的概念與性質(zhì)長(zhǎng)度為為高的小矩形,面積近似代替6第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一(3)求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值.(4)求極限為了得到A的精確值,取極限,形的面積:分割無限加細(xì),定積分的概念與性質(zhì)極限值就是曲邊梯7第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一2.求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程思想以不變代變?cè)O(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度是時(shí)間間隔的一個(gè)連續(xù)函數(shù),求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思路把整段時(shí)間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．定積分的概念與性質(zhì)8第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一(1)分割(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)取近似定積分的概念與性質(zhì)表示在時(shí)間區(qū)間內(nèi)走過的路程.某時(shí)刻的速度9第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一二、定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入定義若干個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,各小區(qū)間長(zhǎng)度依次為在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積并作和記如果不論對(duì)(1)(2)(3)(4)上兩例共同點(diǎn):2)方法一樣;1)量具有可加性,3)結(jié)果形式一樣.定積分的概念與性質(zhì)10第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.定積分的概念與性質(zhì)積分下限積分上限積分變量[a,b]積分區(qū)間11第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一(2)的結(jié)構(gòu)和上、下限,今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號(hào)無關(guān)性進(jìn)行推理.定積分是一個(gè)數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分的概念與性質(zhì)有關(guān);注無關(guān).而與積分變量的記號(hào)無關(guān).12第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值1.幾何意義定積分的概念與性質(zhì)三、定積分的幾何意義和物理意義13第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一幾何意義定積分的概念與性質(zhì)各部分面積的代數(shù)和.取負(fù)號(hào).它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a,x=b之間的在x軸上方的面積取正號(hào);在x軸下方的面積14第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例解2.物理意義t=b所經(jīng)過的路程s.oxy作直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻t=a到時(shí)刻定積分的概念與性質(zhì)定積分表示以變速15第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一定理1定理2或記為黎曼德國數(shù)學(xué)家(1826–1866)四、關(guān)于函數(shù)的可積性可積.且只有有限個(gè)可積.當(dāng)函數(shù)的定積分存在時(shí),可積.黎曼可積,第一類間斷點(diǎn),充分條件定積分的概念與性質(zhì)16第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例1下面舉例按定義計(jì)算定積分.求函數(shù)上的定積分.定積分的概念與性質(zhì)17第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一定積分的概念與性質(zhì)討論定積分的近似計(jì)算問題.存在.n等分,用分點(diǎn)分成n個(gè)長(zhǎng)度相等的小區(qū)間,長(zhǎng)度取有每個(gè)小區(qū)間對(duì)任一確定的自然數(shù)18第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一定積分的概念與性質(zhì)取如取矩形法公式矩形法的幾何意義19第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定說明定積分的概念與性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在,

且不考慮積分上下限的大?。?0第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1定積分的概念與性質(zhì)21第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一證性質(zhì)2性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為定積分的概念與性質(zhì)線性性質(zhì).22第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一

補(bǔ)充例

(定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性)則性質(zhì)3定積分的概念與性質(zhì)假設(shè)的相對(duì)位置如何,上式總成立.不論23第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一證性質(zhì)4性質(zhì)5定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則24第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一解令于是比較積分值和的大小.例2定積分的概念與性質(zhì)25第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)5的推論1證定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則于是性質(zhì)5如果在區(qū)間則26第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一思考比較下列積分的大小.(1)(2)(3)(4)(5)定積分的概念與性質(zhì)27第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一證說明性質(zhì)5的推論2定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間則可積性是顯然的.由推論128第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一證(此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍)性質(zhì)6分別是函數(shù)最大值及最小值.則定積分的概念與性質(zhì)29第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一定積分的概念與性質(zhì)例3.

試證:證:設(shè)則在上,有即故即30第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)7(定積分中值定理）定積分的概念與性質(zhì)如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn)使下式成立:積分中值公式至少存在一點(diǎn)使即31第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一定理用途

注定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)7(定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn)使下式成立:1.無論從幾何上,還是從物理上,都容易理解平均值公式求連續(xù)變量的平均值要用到.如何去掉積分號(hào)來表示積分值.2.事實(shí)上32第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一積分中值公式的幾何解釋至少存在一點(diǎn)在區(qū)間使得以區(qū)間為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個(gè)矩形的面積.定積分的概念與性質(zhì)33第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例5若函數(shù)上連續(xù),且證明:定積分的概念與性質(zhì)34第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例6.用定積分表示下列極限:解:定積分的概念與性質(zhì)35第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一3.定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)4.

典型問題(1)估計(jì)積分值;(2)不計(jì)算定積分比較積分大小.六、小結(jié)1.定積分的實(shí)質(zhì):特殊和式的極限.2.定積分的思想和方法:以直代曲、以勻代變.四步曲:分割、取近似、求和、取極限.思想方法定積分的概念與性質(zhì)36第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一思考與練習(xí)1.用定積分表示下述極限:解:或定積分