華中科技大學研究生矩陣論Matrix演示文稿

華中科技大學研究生矩陣論Matrix演示文稿目前一頁\總數(shù)二十五頁\編于四點優(yōu)選華中科技大學研究生矩陣論Matrix目前二頁\總數(shù)二十五頁\編于四點概述：主要內容：介紹Kronecker積和Hadamard積討論K-積，H-積的運算性質、之間的關系K-積與矩陣乘積的關系K-積，H-積的矩陣性質K-積的矩陣等價與相似關系應用：求解矩陣方程向量化算子重點：K-積及其應用目前三頁\總數(shù)二十五頁\編于四點6.1

Kronecker積和Hadamard積的定義定義6.1（P.136）

設矩陣A=[aij]mn和B=[bij]st，則A和B的Kronecker被定義為AB：

AB=[aijB]msnt設A=[aij]mn和B=[bij]mn為同階矩陣，則A和B的Hadamard被定義為AB：AB=[aijbij]mn目前四頁\總數(shù)二十五頁\編于四點

6.1

K-積和H-積的定義例題1設，計算

AB，BA，I2B，AB，I2A目前五頁\總數(shù)二十五頁\編于四點例題1設，計算

AB，BA，I2B，AB，I2A分塊對角矩陣對角矩陣

6.1

K-積和H-積的定義目前六頁\總數(shù)二十五頁\編于四點例題2

設分塊矩陣A=(Ast)，則

AB=(Ast

B)特別地，若A=(A1,A2,…,An)，則

AB=(A1B,A2B,…,AnB)例題3

快速Walsh(Hadamard)變換yN=HNxN，其中于是有

6.1

K-積和H-積的定義目前七頁\總數(shù)二十五頁\編于四點例題2

設分塊矩陣A=(Ast)，則

AB=(Ast

B)特別地，若A=(A1,A2,…,An)，則

AB=(A1B,A2B,…,AnB)例題3

快速Walsh(Hadamard)變換yN=HNxN，其中于是有

6.1

K-積和H-積的定義目前八頁\總數(shù)二十五頁\編于四點K-積，H-積的基本結果：A和B中有一個為零矩陣，則AB=0，AB=0II=I，II=I若A為對角矩陣，則AB為分塊對角矩陣，AB為對角矩陣。K-積的基本性質定理6.1（P.138）設以下矩陣使計算有意義，則(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(AB)C=A(BC)(AB)H=AHBHABBA目前九頁\總數(shù)二十五頁\編于四點H-積的基本性質：設A，B為同階矩陣，則AB=BA(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(AB)C=A(BC)(AB)H=AHBHKronecker和Hadamard的關系：定理6.3（P.139）AB可由AB的元素構成。目前十頁\總數(shù)二十五頁\編于四點K-積與矩陣乘法

定理6.2（P.138）設矩陣A，B，C，D使得下列運算有意義，則有(AB)(CD)=(AC)(BD)

意義：建立Kronecker積和矩陣乘法的相互轉換。特別情形：設AFmm，BFnn，則

AB=(ImA)(BIn)=(AIm)(InB)=(ImB)(AIn)=(AIn)(ImB)

(AB)k=Ak

Bk(A1B1C1)(A2B2C2)

=(A1A2)(B1B2)(C1C2)(A1B1)(A2B2)(A3B3)

=(A1A2A3)(B1B2B3)目前十一頁\總數(shù)二十五頁\編于四點6.2Kronecker積和Hadamard積的性質Kronecker積的矩陣性質定理6.4

（P.140）設矩陣使下列運算有意義，則當A，B分別為可逆矩陣時，AB和BA均為可逆矩陣，而且有(AB)–1=A–1B–1當方陣AFmm，BFnn時，方陣ABFmnmn的行列式為|AB|=|BA|=|A|n|B|m若A，B是Hermite矩陣，則AB和BA均是Hermite矩陣若A，B是酉矩陣，則AB和BA均是酉矩陣。目前十二頁\總數(shù)二十五頁\編于四點Kronecker與矩陣等價、相似關系定理6.5（P.141）設矩陣A，B，為等價矩陣，則(AI)等價于(BI)設方陣A相似與JA，方陣B相似于JB，則(AB)相似于(JAJB)K-積特征值和特征向量定理6.6（P.142）設AFmm的特征值、特征向量分別是i，xi，BFnn的特征值、特征向量分別是

j，yj，則(AB)的特征值是ij

。特征向量是(xiyj)。(AIn)+(ImB)的特征值是i

+

j

，特征向量是(xiyj)Kronecker和，記為AB

目前十三頁\總數(shù)二十五頁\編于四點Kronecker與矩陣等價、相似關系推論若A，B正定（半正定），則AB和AB均正定（半正定）；

若A相似于JA，B相似于JB，則AB

相似于

JAJB，AB相似于JAJB。更一般的結果：定理6.7（P.142）

的特征值為目前十四頁\總數(shù)二十五頁\編于四點Kronecker積的矩陣函數(shù)性質定理6.8（P.143）設是f(z)解析函數(shù)，f(A)有意義，則

f(IA)=If(A)

f(AI)=f(A)I特例：

定理的證明思路：利用定理5.12，矩陣函數(shù)可由多項式表示。也可以直接用極限性質證明。SN(IA)=ISN(A)SN(AI)=SN(A)I目前十五頁\總數(shù)二十五頁\編于四點例題1設AFmn，BFst，證明rank(AB)=rank(A)rank(B)例題2（P.144），設，求(AB)的特征值和特征向量求[(AI)+(IB)]的特征值和特征向量

例題3：證明對任何方陣A,B,有目前十六頁\總數(shù)二十五頁\編于四點Hadamard積的性質定理6.9（Schur積定理）設A、B為同階方陣。若A和B半正定（正定），則AB亦半正定（正定）。證明思路：利用定理3.6，有推出AB可表示為目前十七頁\總數(shù)二十五頁\編于四點6.3矩陣的向量化算子和K-積向量化算子Vec:Fm×n

Fmn定義（P.143）設

A=[aij]mn,則Vec(A)=(a11a21…

am1；

a12a22…

am2；…；

a1na2n…

amn)T

性質：（P.146）Vec是線性算子，并保持線性關系不變：

Vec(k1A+k2B)=k1Vec(A)+k2Vec(B)2.

定理6.10（P.146）Vec(ABC)=(CTA)VecB

3.

Vec(AX)=(I

A)VecX4.Vec(XC)=(CTI)VecX令B=X,C=I令B=X,A=I目前十八頁\總數(shù)二十五頁\編于四點用向量化算子求解矩陣方程思想：用Vec算子，結合Kronecker積將矩陣方程化為線性方程組求解。1、AFmm，BFnn，DFmn，AX+XB=D分析：

AX+XB=D(IA+BTI)VecX=VecDG=(IA+BTI)，方程有惟一解的充要條件是G為可逆矩陣，即A和-B沒有共同的特征值。例題1（P.147）目前十九頁\總數(shù)二十五頁\編于四點用向量化算子求解矩陣方程2、A，XFnn，AX–XA=kX分析：

AX–XA=kX

(I

A–ATI)VecX=kVecXH=(IA–ATI)，方程(kI–

H)y=0有非零解的充要條件是k為H的特征值，k=ij。例題2求解矩陣方程AX–XA=–2X

目前二十頁\總數(shù)二十五頁\編于四點用向量化算子求解矩陣方程3A，B，D，XFnn，AXB=D分析：AXB=D(BTA)VecX=VecDL

=

BT

A，方程有惟一解的充要條件是L為可逆矩陣.例題3求解方程A1XB1+A2XB2=D目前二十一頁\總數(shù)二十五頁\編于四點例題4

設ACmm，BCnn，DFmn，證明譜半徑(A)

·(B)1時方程：X=AXB+D的解為證目前二十二頁\總數(shù)二十五頁\編于四點用向量化算子求解矩陣微分方程