河北省高考數(shù)學第一輪總復習知識點檢測 10.3圓的方程課件 舊人教版 課件

第三節(jié)圓的方程基礎梳理1.圓的標準方程（1）方程表示圓心為(a,b),半徑為r的圓的標準方程;（2）特別地，以原點為圓心，半徑為r(r>0)的圓的標準方程為

.2.圓的一般方程方程+Dx+Ey+F=0可變形為（1）當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓;（2）當=0時，方程表示一個點;(3)當<0時，方程不表示任何圖形.3.與圓的位置關系（1）若，則點P在圓外；（2）若，則點P在圓上；（3）若，則點P在圓內.4.求圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：（1）根據題意，選擇標準方程或一般方程；（2）根據條件列出關于a,b,r或D，E，F(xiàn)的方程組；（3）解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標準方程或一般方程.典例分析題型一求圓的方程【例1】求過兩點A(1,4)、B（3，2）且圓心在直線y=0上的圓的標準方程并判斷點P(2,4)與圓的關系.分析欲求圓的標準方程，需求出圓心坐標和圓的半徑的大小，而要判斷點P與圓的位置關系，只需看點P與圓心的距離和圓的半徑的大小關系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內.解方法一:設圓的標準方程為.∵圓心在y=0上，∴b=0，∴圓的方程為又∵該圓過A(1,4)、B(3,2)兩點，∴解得故所求圓的方程為方法二：設圓的一般方程為+Dx+Ey+F=0,因為圓心在x軸上，則-=0,即E=0.又該圓過A（1,4）和B（3,2），所以D+17+F=0,D=2,

解得E=0,3D+13+F=0,F=-19.所以圓的方程為+2x-19=0.方法三:∵圓過A(1,4)、B(3,2)兩點，∴圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，又∵,∴的斜率為1.又AB的中點為（2，3），故AB的垂直平分線的方程為y-3=x-2,即x-y+1=0.又知圓心在直線y=0上，∴圓心坐標為C(-1,0).∴半徑r=｜AC｜=即所求圓的方程為又點P(2,4)到圓心C(-1,0)的距離為d=｜PC｜==5>r，所以點P在圓外.學后反思（1）本題方法一與方法二都使用了待定系數(shù)法，其中方法一設了圓的標準方程，方法二設了圓的一般方程，都是結合條件來求所設方程中的待定系數(shù)；方法三則應用了平面幾何知識：圓心與弦的中點的連線與弦垂直.一般而言，在解析幾何問題中，用上平面幾何知識，會使解題變得相對簡單.(2)無論哪種解法，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關鍵的量，然后根據圓心與定點之間的距離和半徑的大小關系來判定點與圓的位置關系.舉一反三1.求經過點A(5,2),B(3,2),圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程.解析

∵圓經過點A(5,2),B(3,2),∴圓心在x=4上，又圓心在2x-y-3=0上，∴圓心為（4，5），可設圓的方程為,又圓過B(3,2)，即,∴，∴圓的方程為題型二與圓有關的參數(shù)問題【例2】(2009·威海模擬）已知圓的方程為,要使過定點A（1，2）的圓的切線有兩條.求a的取值范圍.分析

(1)若方程表示圓，則>0,即(2)由定點A的切線有兩條，則點A一定在圓外.解若表示圓，則應滿足

,即4-3>0,①又點A應在圓外，則即+a+9>0,②由①②得故a的取值范圍是學后反思

(1)一般地，方程表示圓隱含著條件>0.此點易被忽視.(2)若點在圓+Dx+Ey+F=0外，則舉一反三2.已知圓的方程,要使圓的半徑不大于且過定點A（1，2）的圓的切線有兩條，求a的取值范圍.解析圓的方程可化為.由已知即解得<a≤-1或1≤a<,所以a的取值范圍為(,-1]∪[1,).題型三與圓有關的最值問題【例3】已知實數(shù)x、y滿足方程-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.分析根據代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結合求解.解原方程可化為,表示以（2，0）為圓心，為半徑的圓.(1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設=k,即y=kx.當直線y=kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時,解得k=±，如圖1，所以的最大值為,最小值為-.

(2)y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時,解得b=-2±.如圖2，所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-.(3)表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心的連線和圓的兩個交點處取得最大值和最小值，如圖3.又圓心到的原點的距離為所以，的最大值為的最小值為學后反思（1）本例中利用圖形的直觀性，使代數(shù)問題得到非常簡捷的解決，這是數(shù)形巧妙結合的好處.（2）本例的解題關鍵在于抓住“數(shù)”中的某些結構特征，從而聯(lián)想到解析幾何中的某些公式或方程，從而挖掘出“數(shù)”的幾何意義，實現(xiàn)由“數(shù)”到“形”的轉化.（3）與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ=形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；③形如形式的最值問題，可轉化為動點到定點距離的平方的最值問題.舉一反三3.已知圓C：,點A(-1,0),B(1,0),點P為圓上的動點，求d=的最大值、最小值及對應的P點坐標.解析設則欲求d的最值，只需求ω=的最值，即求圓C上的點到原點距離平方的最值，故過原點O與圓心C的直線與圓的兩個交點即為所求.設過O,C兩點的直線交圓C于兩點，則此時此時題型四與圓有關的簡單的軌跡問題【例4】已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.分析動點M的軌跡與點A的位置變化有關，因此可以把點A的坐標用點M的坐標表示出來，再代入點A所滿足的方程求得點M的軌跡方程.解設點M的坐標為(x,y),點因為M是線段AB的中點，且B（4，3），所以所以①又點A在圓上運動，所以.②把①代入②，得整理得.所以點M的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓.學后反思（1）本例中M、A是相關動點，M、A、B三者存在著不變的關系，抓住該關系可以實現(xiàn)動點M、A的坐標間的轉化.（2）一般地，設點時，動點設為（x,y），相關點設為，并將(x,y)用表示出來，代入滿足的關系式.舉一反三4.已知圓上一定點A(2,0),P為圓上的動點.求線段AP中點的軌跡方程.解析設AP中點為M(x,y),由中點坐標公式可知，P點坐標為（2x-2,2y）.∵P點在圓上，∴故線段AP中點的軌跡方程為題型五圓的方程的實際應用【例5】(12分)在氣象臺A正西方向300千米處有一臺風中心B，它以每小時40千米的速度向東北方向移動，距臺風中心250千米以內的地方都要受其影響，問：從現(xiàn)在起，大約多長時間后，氣象臺A所在地將受臺風影響？持續(xù)多長時間？分析幾小時后氣象臺所在地受到臺風影響，就是指以臺風中心為圓心的圓何時開始經過該城市，持續(xù)多長時間即為臺風圓何時離開.可建立直角坐標系，用變量t表示出B點坐標，進而求解.解以氣象臺為坐標原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立直角坐標系，如圖，則現(xiàn)在臺風中心B的坐標為（-300，0）.根據題意可知,t小時后B的坐標為（-300+40tcos45°,40tsin45°）,即（-300+20t,20t）…………….3′因為以臺風中心為圓心，以250千米為半徑長的圓上和圓內的區(qū)域將遭受臺風影響，所以氣象臺A在圓上或圓內時，將受臺風影響，所以令｜AB｜≤250,即……….6′整理得16-120t+275≤0,………………..8′解得……10′故大約2小時后，氣象臺A所在地將遭受臺風影響，大約持續(xù)6個半小時………………12′學后反思在解決有關的實際問題時，關鍵要明確題意，根據所給條件建立直角坐標系，建立數(shù)學基本模型，將實際問題轉化為數(shù)學問題解決.舉一反三5.有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：A地每公里的運費是B地每公里運費的3倍.已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標準是：運費和價格的總費用較低.求P地居民選擇A地或B地購貨總費用相等時，點P所在的曲線方程，并指出曲線上、曲線內、曲線外的居民應如何選擇購物地點.解析如圖，以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系，∵｜AB｜=10,∴A(-5,0),B(5,0).設P(x,y),P到A、B兩地購物的運費分別是3a、a(元/公里).當由P地到A、B兩地購物費用相等時，即價格+A地運費=價格+B地運費，∴，化簡整理，得

(1)當P點在以為圓心，為半徑的圓上時，居民到A地或B地購貨總費用相等，故此時到A地或B地購物均可.（2）當P點在上述圓內時，

故此時到A地購物合算.（3）當P點在上述圓外時，故此時到B地購物合算.易錯警示【例1】已知直線l：y=x+b與曲線C：有兩個公共點，求實數(shù)b的取值范圍.正解方法一：曲線C中，y≥0，由消去x得.曲線C和直線l有兩個公共點等價于此方程有兩個不等的非負實根，所以

解得1≤b＜.易錯分析常見錯誤是將直線方程和圓的方程聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，有兩個解用Δ＞0，忽視了方程中要求y≥0，-1≤x≤1這一限制條件，導致了錯誤結論.另外，若采用數(shù)形結合方法解答，易誤將化為，而不考慮y的取值范圍，將圖形由半圓擴大為整圓.方法二：方程y=x+b表示斜率為1的平行直線系，方程表示單位圓位于x軸及其上方的半圓，如下圖所示.【例2】已知圓的方程是，點P（x,y）在圓上運動，求的最值.錯解因為,所以，所以，所以有最小值-1，但沒有最大值.當l通過點A（-1，0），B（0，1）兩點時，l與C交于兩點，此時b=1，直線記為，當l和半圓相切時，切線記為，此時b=2，那么l夾在與之間時，直線l與曲線C有兩個不同的公共點，因此1≤b＜.錯解分析本題在解答過程中，把未知數(shù)y替換為x這一步是正確的；配方后，由于把未知數(shù)x的取值范圍默認為全體實數(shù)，而導致結果錯誤.事實上，在已知的方程中，配方得，圓心為（1，0），半徑為1，所以0≤x≤2，而不是x∈R.正解

由得，所以，又因為x∈［0,2］，所以∈［0，8］，所以最小值是0，最大值是8.10.（2010·福州模擬）圓-4x+2y+c=0與y軸交于A、B兩點，其圓心為P，若∠APB=90°，則實數(shù)c=

.答案:-3解析:由題意知，圓=5-c,5-c＞0，P(2,-1).∵∠APB=90°，PA=PB，∴2=PB·sin45°PB=5-c=8，∴c=