2021北京清華附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試題及答案解析

2/22021北京清華附中高二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（共10小題；共40分）1．（4分）已知集合，，則A． B． C．， D．，2．（4分）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則A． B．5 C．10 D．153．（4分）已知為偶函數(shù)，其局部圖象如圖所示，那么A．（2） B．（2） C．（2） D．（2）4．（4分）已知等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（4分）從1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的是奇數(shù)”，“第二次取到的是奇數(shù)”，則A． B． C． D．6．（4分）設(shè)變量與有如表五組數(shù)據(jù)：由散點(diǎn)圖可知，與之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，已知其線性回歸方程是，則123454.54232.5A．4.4 B．4.5 C．4.6 D．4.77．（4分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上一點(diǎn)．若，則A． B．5 C． D．

8．（4分）函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則A． B． C． D．9．（4分）某班上午有五節(jié)課，計(jì)劃安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)各一節(jié)，要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，且數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，則不同排法的種數(shù)為A．24 B．36 C．42 D．4810．（4分）斐波那契螺線又叫黃金螺線，廣泛應(yīng)用于繪畫(huà)、建筑等，這種螺線可以按下列方法畫(huà)出：如圖，在黃金矩形中作邊長(zhǎng)為1的正方形，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓弧；然后在矩形中作正方形，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓?。唬蝗绱死^續(xù)下去，這些圓弧就連成了斐波那契螺線．記圓弧，，的長(zhǎng)度分別為，，，則A． B． C． D．二、填空題（共5小題；共25分）11．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則．12．（5分）在展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)值表示）

13．（5分）某學(xué)生為了研究高二年級(jí)同學(xué)的體質(zhì)健康成績(jī)與學(xué)習(xí)成績(jī)的關(guān)系，從高二年級(jí)同學(xué)中隨機(jī)抽取30人，統(tǒng)計(jì)其體質(zhì)健康成績(jī)和學(xué)習(xí)成績(jī)，得到列聯(lián)表如表：體質(zhì)健康成績(jī)高體質(zhì)健康成績(jī)低總計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)高17219學(xué)習(xí)成績(jī)低3811總計(jì)201030有的把握認(rèn)為學(xué)生的體質(zhì)健康成績(jī)高低與學(xué)習(xí)成績(jī)高低有關(guān)．附：．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82814．（5分）如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．若，則線段長(zhǎng)度為．15．（5分）從到通信，網(wǎng)絡(luò)速度提升了40倍．其中香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．根據(jù)香農(nóng)公式，以下說(shuō)法正確的是．①若不改變信噪比，而將信道帶寬增加倍，則增加倍．②若不改變信道帶寬和信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，而將高斯噪聲功率降低為原來(lái)的一半，則增加一倍．③若不改變帶寬，而將信噪比從15提升至127，增加了．④若不改變帶寬，要使得增加一倍，則需要將信噪比從63提升至1023．三、解答題（共6小題；共85分）16．在中，，，且，再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，條件①：；條件②：．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的面積．17．為了解果園某種水果產(chǎn)量情況，隨機(jī)抽取100個(gè)水果測(cè)量質(zhì)量，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，，，，，，，（單位：克），其頻率分布直方圖如圖所示：（Ⅰ）用分層抽樣的方法從樣本里質(zhì)量在，，，的水果中抽取6個(gè)，求質(zhì)量在，的水果數(shù)量；（Ⅱ）從（Ⅰ）中得到的6個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，記為質(zhì)量在，的水果數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）果園現(xiàn)有該種水果約20000個(gè)，其等級(jí)規(guī)格及銷售價(jià)格如表所示，質(zhì)量（單位：克）等級(jí)規(guī)格二等一等特等價(jià)格（元個(gè)）4710試估計(jì)果園該種水果的銷售收入．18．在等差數(shù)列中，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和．

19．已知：函數(shù)．（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）在區(qū)間，上的滿足，求的取值范圍．20．已知橢圓．（Ⅰ）求橢圓的離心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)．（Ⅱ）已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，為軸上一點(diǎn)．是否存在實(shí)數(shù)，使得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．21．定義數(shù)列如下：，對(duì)任意的正整數(shù)，有．（Ⅰ）寫(xiě)出，，，的值；（Ⅱ）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有；（Ⅲ）是否每一個(gè)非負(fù)整數(shù)都在數(shù)列出現(xiàn)？證明你的結(jié)論．

2021北京清華附中高二（下）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題；共40分）1．【分析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的描述法和區(qū)間的定義，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】由題意利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得解．【解答】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象可得，又由函數(shù)為偶函數(shù)，則（2）；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)應(yīng)用，涉及函數(shù)的圖象分析，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：在等差數(shù)列中，若，則，即數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，成立，即“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，等差數(shù)列的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5．【分析】事件“第一次取到的是奇數(shù)”，“第二次取到的是奇數(shù)”，求出（A）和，再由，求出．【解答】解：從1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的是奇數(shù)”，“第二次取到的是奇數(shù)”，則（A），，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．【分析】求出樣本中心坐標(biāo)，代入回歸直線方程，推出結(jié)果．【解答】解：，，線性回歸方程是，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸直線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)拋物線方程求得拋物線的準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求解距離即可．【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為：，焦點(diǎn)，又為上一點(diǎn)，，，代入拋物線方程得：，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，熟練掌握拋物線上的點(diǎn)所迷住的條件是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．8．【分析】直接根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的關(guān)系式中的三個(gè)變量，進(jìn)一步求出函數(shù)的解析式，最后求出的值．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象可知，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，由于，解得．所以，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】由排列組合中的捆綁問(wèn)題得：不同排法的種數(shù)為，得解．【解答】解：先將語(yǔ)文與化學(xué)捆綁在一起，作為一個(gè)元素，再將四個(gè)元素全排，再減去數(shù)學(xué)排第一節(jié)的排法即可即不同排法的種數(shù)為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合中的捆綁問(wèn)題，屬中檔題．10．【分析】由題意先求出圓弧的半徑，進(jìn)而根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可計(jì)算得解．【解答】解：由題意可得，因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，所以，同理，可得，可得，可得，所以，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問(wèn)題，“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解．二、填空題（共5小題；共25分）11．【分析】把給出的等式的兩邊同時(shí)乘以，然后運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)運(yùn)算．【解答】解：由，得：．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法采用分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，此題是基礎(chǔ)題．12．【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，求出的值，再求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：二項(xiàng)式，其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．13．【分析】由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算，對(duì)照附表得出結(jié)論．【解答】解：由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生的體質(zhì)健康成績(jī)高低與學(xué)習(xí)成績(jī)高低有關(guān)．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．14．【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，求出，，點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，求出的坐標(biāo)，然后由兩點(diǎn)間距離公式求解即可．【解答】解：在直三棱柱中，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，，，0，，，2，，，0，，所以，又，所以，解得，則，，，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中距離問(wèn)題的求解，空間向量垂直的坐標(biāo)表示，兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．【分析】根據(jù)已知公式對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)求解即可判斷正誤．【解答】解：對(duì)于①：若不改變信噪比，而將信道帶寬增加倍，即，則增加倍，①正確，對(duì)于②：若不改變信道帶寬和信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，而將高斯噪聲功率降低為原來(lái)的一半，即，②錯(cuò)誤，對(duì)于③：若不改變帶寬，而將信噪比從15提升至127，則，所以增加了，故③錯(cuò)誤，對(duì)于④：若不改變帶寬，若將信噪比從63提升至1023，則，即增加了約，沒(méi)有增加1倍，故④錯(cuò)誤，故答案為：①．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及到對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題（共6小題；共85分）16．【分析】若選①，（Ⅰ）在三角形中利用正弦定理、余弦定理可得，的值，再由，關(guān)系可得的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）即三角形的面積公式求出三角形的面積；若選②，（Ⅰ）由正弦定理可得，，的關(guān)系，再由余弦定理可得，，的關(guān)系，再由角的余弦值可得的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）即三角形的面積公式求出三角形的面積．【解答】解：選條件①：．（Ⅰ）在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，，，所以，化?jiǎn)得，解得，或4．當(dāng)時(shí)，，與題意矛盾，所以，所以．（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以，所以．選條件②：．（Ⅰ）在中，因?yàn)?，，所以由，得，因?yàn)?，且，，，所以，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，因?yàn)椋?，所以．所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，余弦定理和三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖得到質(zhì)量在，，，的該水果的頻率，按照比例抽取即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到的所有可能取值，再分別求得其相應(yīng)的概率，列出分布列，再求期望即可；（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，得到該水果的頻率，然后估計(jì)20000個(gè)水果中各等級(jí)的個(gè)數(shù)，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）質(zhì)量在，，，的該種水果的頻率分別為，，其比為，所以按分層抽樣從質(zhì)量在，，，的這種水果中隨機(jī)抽取6個(gè)，質(zhì)量在，的該種水果有4個(gè)；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6個(gè)水果中有2個(gè)質(zhì)量在，，所以的所有可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為：所以；（Ⅲ）二等品的頻率為，一等品的頻率為，特等品的頻率為，則20000個(gè)水果中共有二等品4000個(gè)，一等品11000個(gè)，特等品有5000個(gè)，則銷售收入約為元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列、頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，也考查了學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力．解題的關(guān)鍵是正確讀取頻率分布直方圖中的信息．18．【分析】（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，由已知列方程組求得首項(xiàng)與公差，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；（Ⅱ）寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得的通項(xiàng)公式，對(duì)分類，再由數(shù)列的分組求和及等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，，得，解得，；（Ⅱ）數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，，則，．若，則；若，則．又．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，考查分類討論思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．【分析】（Ⅰ）時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率及的值，由直線方程的點(diǎn)斜式可得答案；（Ⅱ）令，可得其遞增區(qū)間，，可得其遞減區(qū)間；（Ⅲ），，恒成立恒成立，法一：分、及三類討論，可求得的取值范圍；法二：若，則存在，，使得，，故必有，，不存在，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）若，則，，所以，又，所以曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，即；（Ⅱ），當(dāng)或時(shí)，，在和單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；所以的遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為；（Ⅲ），，恒成立恒成立，法一：由題設(shè)知，，①當(dāng)時(shí)，，由，得，令，則，故在區(qū)間，上單調(diào)遞增，，所以，即，于是，；②當(dāng)時(shí)，，由得，即，與矛盾；③當(dāng)時(shí)，恒成立，符號(hào)不確定，故不符合題意；綜上所述，，．法二：若，則存在，，使得，，若，不存在，故必有．當(dāng)時(shí)，，由，得，令，則，故在區(qū)間，上單調(diào)遞增，，所以，即，于是，；綜上所述，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于難題．20．【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)橢圓方程得答案；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程，消后由韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而得到，，再求得直線的垂直平分線，由此可求得點(diǎn)，再根據(jù)，建立關(guān)于的方程，解該方程即可作出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）橢圓可得，，故離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；（Ⅱ）設(shè)，