2022北京八一學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試題及答案解析

1/12022北京八一學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z＝－1＋2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A．-1 B．1 C．-2 D．22．等差數(shù)列滿足，則的公差為（

）A．－4 B．－1 C．1 D．43．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B．C． D．4．在的展開式中，下列說法正確的有（

）A．所有項的系數(shù)和為0 B．所有項的二項式系數(shù)和為64C．存在常數(shù)項 D．第4項和第5項的系數(shù)相等5．如圖所示，是函數(shù)的圖象與其在點P處的切線，則等于（

）A．－2 B．0 C．2 D．46．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．?dāng)?shù)列是等差等列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列7．已知函數(shù)是定義域為R上的可導(dǎo)函數(shù)，則“在處取得極值”是的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知數(shù)列的通項公式為．若數(shù)列的前n項和為，則取得最大值時n的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．59．函數(shù)的定義域為R，其導(dǎo)數(shù)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論不正確的是（

）A．在上函數(shù)為增函數(shù)B．在上函數(shù)為減函數(shù)C．在上函數(shù)有極小值D．在上函數(shù)必有最大值10．若數(shù)列滿足，為其前n項和，則下列命題正確的是（

）A． B．C．有最小值 D．無最大值二、填空題11．已知函數(shù)f(x)＝，則＝________.12．等比數(shù)列中，，，其前n項和為，若，則m＝______．13．已知函數(shù)，若過點存在2條直線與曲線相切，請寫出滿足條件的一個t值：______．14．2022年4月16日，搭載著翟志剛、王亞平、葉光富三名航天員的神舟十三號載人飛船返回艙，結(jié)束了長達半年的“太空出差”，在東風(fēng)著陸場預(yù)定區(qū)域成功著陸．為了宣傳航天員的精神品質(zhì)，某班班會安排4名同學(xué)講述這三位航天員的事跡，要求每位學(xué)生只講述一位航天員，每位航天員至少有1名學(xué)生講述，且同學(xué)甲講述王亞平事跡，則共有______種不同的安排方案．三、雙空題15．已知函數(shù)．若a<0時，函數(shù)在上有______個零點；若有且只有一個零點，且，則實數(shù)a的取值范圍是______．四、解答題16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最值．17．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證數(shù)列為等比數(shù)列；(3)記為數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的前n項和．（用n表示）18．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值點；(3)當(dāng)a>0時，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．19．對于數(shù)列，若存在正整數(shù)M，同時滿足如下兩個條件：①對任意，都有成立；②存在，使得．則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)若，，判斷數(shù)列和是否為數(shù)列，并說明理由；(2)若數(shù)列滿足，，求實數(shù)p的取值集合．

參考答案1．D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實部、虛部的概念直接得出結(jié)果.【詳解】由z=-1+2i知，復(fù)數(shù)z的虛部為2.故選：D.2．B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，即等差數(shù)列的公差為.故選：B.3．B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算法則和常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)即可.【詳解】因為常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.4．A【解析】【分析】結(jié)合二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)的性質(zhì)，以及展開式的通項公式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，令，可得，即展開式中所有項的系數(shù)和為，所以A正確；對于B中，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得展開式中二項式系數(shù)之和為，所以B錯誤；對于C中，由二項展開式的通項為，其中，令，解得，因為，所以展開式中不存在常數(shù)項，所以C錯誤；對于D中，展開式的第4項的系數(shù)為，第5項的系數(shù)為，所以第4項和第5項的系數(shù)不相等，所以D錯誤.故選：A.5．B【解析】【分析】求得切線的斜率，得到，再有切線方程求得，即可求解.【詳解】由題意，切線經(jīng)過點，可得切線的斜率為，即，又由切線方程為，令，可得，即，所以.故選：B.6．B【解析】【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義求解判斷.【詳解】解：因為等比數(shù)列滿足，，則，故數(shù)列是以1為首項，以2為公比的等比等列，故A錯誤；則，故數(shù)列是以0為首項，以-1為公差的等差數(shù)列，故B正確；由A知：。故數(shù)列是遞增數(shù)列，故C錯誤；由B知：，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故D錯誤；故選：B7．A【解析】【分析】由在處取得極值，推不出在處取得極值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：在處取得極值，但是推不出在處取得極值，“在處取得極值”是“”的充分而不必要條件．故選：A．【點睛】本題以簡易邏輯為載體考查了極值取得的條件，屬于基礎(chǔ)題．8．C【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性分析出數(shù)列的正數(shù)項有哪些即可求解.【詳解】由條件有，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.即，所以取得最大值時n的值為.故選：C9．D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，可判斷出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值【詳解】由的部分圖象可知，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以為極大值點，為極小值點，所以ABC正確，若是圖象的最高點，則在上無最大值，所以D錯誤，故選：D10．C【解析】【分析】分奇偶利用裂項相消法求出即可判斷.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，，此時當(dāng)時，取得最大值為，當(dāng)為偶數(shù)時，此時當(dāng)時，取得最小值為，綜上，最大值為，最小值為.故選：C.11．【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】.故答案為：.12．6【解析】【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的定義求得公比，結(jié)合等比數(shù)列前n項求和公式即可求出m.【詳解】由題意得，，所以等比數(shù)列的公比，故等比數(shù)列的前n項和，由，得，解得.故答案為：6.13．##0.5（不唯一）【解析】【分析】先求得切線方程，根據(jù)切線過點（t，0），得到，令，根據(jù)過點存在2條直線與曲線相切，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)切點坐標(biāo)為，因為，所以，則，所以切線方程為：，因為切線過點（t，0）,所以，即，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，因為過點存在2條直線與曲線相切，所以，故答案為：（不唯一）14．12【解析】【分析】分兩種情況，另外3人分別講述三名航天員的事跡和另外3人講述翟志剛和葉光富的事跡.【詳解】第一種情況，另外3人分別講述三名航天員的事跡，有種方法，第二種情況，另外3人講述翟志剛和葉光富的事跡，有種方法，綜上，共有種不同的安排方案.故答案為：12.15．

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【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得出；（2）討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，再結(jié)合題意即可求解.【詳解】（1），若時，在恒成立，所以在單調(diào)遞減，因為，所以在上有1個零點；（2）若，，由可解得，此時有兩個零點，不滿足；若，由（1）可得存在正零點，不滿足；若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因為，所以存在，使得，又因為有且只有一個零點，且，則，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：1；.16．(1)；(2)最小值為-18，最大值為2.【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用直線的點斜式方程即可得出結(jié)果；(2)分別令，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出、，即可得出函數(shù)的最值.(1)由題意得，函數(shù)的定義域為R，，則，所以，切點為，故函數(shù)在切點的切線方程為；(2),令，令或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以.17．(1)(2)證明見解析(3)【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，可得答案；（2）求出，再根據(jù)等比數(shù)列的定義可得答案；（3）利用等比數(shù)列的定義證得為等比數(shù)列，再利用前n項和公式可得答案．(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.(2)由（1）得，，所以，且，所以數(shù)列為公比為2，首項為的等比數(shù)列.(3)由（2），所以，，所以的是首項為1公比為2的等比數(shù)列，所以.18．(1)；(2)當(dāng)時，函數(shù)無極值點；當(dāng)時，函數(shù)的極小值點為，無極大值點；(3)當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；當(dāng)時，函數(shù)有1個零點；當(dāng)時，函數(shù)有2個零點.理由見解析.【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，直接令即可得出結(jié)果；(2)利用導(dǎo)數(shù)分類討論當(dāng)、時函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的定義即可得出結(jié)論；(3)結(jié)合(2)可得函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最小值，根據(jù)函數(shù)零點的概念和分類討論的數(shù)學(xué)思想即可得出結(jié)果.(1)當(dāng)時，，則，令，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；(2)函數(shù)的定義域為R，，若，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，無極值點；若，令，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，函數(shù)無極大值點；(3)由(2)知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)沒有零點；當(dāng)即時，，函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)有1個零點；當(dāng)即時，，又，由零點存在性定理，存在，使得令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以所以，由零點存在性定理，存在，使得所以函數(shù)有2個零點.19．(1)數(shù)列不是數(shù)列，是數(shù)列，理由見解析；(2)或.【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的定義依次判定數(shù)列、即可；(2)根據(jù)數(shù)列的定義，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)列的增減性依次討論當(dāng)、、、