大綱版數(shù)學高考名師一輪復習教案平面向量109離散型隨機變量的期望與方差microsoftword文檔doc高中數(shù)學

15/1510.9離散型隨機變量的期望與方差一、明確復習目標了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差.二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡1.平均數(shù)及計算方法(1)對于n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，=（x1+x2+…+xn）叫做這n個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，(2)當數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的數(shù)值較大時，可將各數(shù)據(jù)同時減去一個適當?shù)某?shù)a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，=+a.(3)如果在n個數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk次（f1+f2+…+fk=n），那么=,叫加權(quán)平均數(shù).2.方差及計算方法(1)對于一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2］叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標準差(2)方差公式:s2=［（x12+x22+…+xn2）－n2］(3)當數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中各值較大時，可將各數(shù)據(jù)減去一個適當?shù)某?shù)a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a那么s2=［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－n］.隨機變量的數(shù)學期望:ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…那么稱Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn…為期望的一個性質(zhì):E(aξ+b)=aEξ+b（3）求期望的方法步驟：①確定隨機變量的所有取值;②計算第個取值的概率并列表;③由期望公式計算期望值。4.方差:Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+…(1)標準差:Dξ的算術(shù)平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作(2)方差的性質(zhì)：D(aξ+b)=a2Dξ;Dξ=E(ξ2)-(Eξ)2(3)方差的求法步驟：①求分布列;②求期望;③由公式計算方差。隨機變量的方差與標準差都反映了:隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。5.會用求和符號Σ:如Eξ=xipi，Dξ=（xi－Eξ）2pi，6.二項分布的期望和方差：假設ξ～B(n，p)，那么Eξ=np,np(1-p)7.幾何分布的期望和方差：假設ξ服從幾何分布g(k，p)=，那么，證明:令，三、雙基題目練練手1.（2022江蘇）在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（）A.9.4,0.484B．9.4,0.016C．9.5,0.04D．9.5,0.0162.設導彈發(fā)射的事故率為0.01，假設發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為ξ，那么以下結(jié)論正確的選項是()A.Eξ=0.001 B.Dξ=0.099C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－k D.P（ξ=k）=C·0.99k·0.0110－k3.一射手對靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目ξ的期望為A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.44.(2022福建)一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標以數(shù)0，兩個面上標以數(shù)1，一個面上標以數(shù)2.將這個小正方體拋擲2次，那么向上的數(shù)之積的數(shù)學期望是＿＿＿。5.(2022四川)設離散型隨機變量ξ可能取的值為1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的數(shù)學期望Eξ＝3，那么ａ＋ｂ＝__________6.ξ2，那么自動包裝機________的質(zhì)量較好.7.假設隨機變量A在一次試驗中發(fā)生的概率為p（0<p<1），用隨機變量ξ表示A在1次試驗中發(fā)生的次數(shù)，那么的最大值為.解：隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1－p，從而Eξ=0×（1－p）+1×p=p，Dξ=（0－p）2×（1－p）+（1－p）2×p=p－p2.==2－（2p+）≤2－2當且僅當2p=，即p=時，取得最大值2－2.◆答案:1-3.DBC;3.P（ξ=0）=0.43，P（ξ=1）=0.6×0.42，P（ξ=2）=0.6×0.4，P（ξ=3）=0.6，Eξ=2.376;4.;5.得,∴.6.包裝的重量的平均水平一樣,甲機包裝重量的差異大，不穩(wěn)定,答案：乙四、經(jīng)典例題做一做【例1】(1)一枚骰子的六個面上標有1、2、3、4、5、6，投擲一次，向上面的點數(shù)為ξ,求Eξ、E(2ξ+3)和Dξ。(2)假設隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=(k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。(3)一次英語測驗由50道選擇題構(gòu)成，每道有4個選項，其中有且僅有一個是正確的，每個選對得3分，選錯或不選均不得分，總分值150分，某學生選對每一道題的概率為0.7，求該生在這次測驗中的成績的期望與方差。解：(1)Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x6P6=1×+2×+3×+…+6×=3.5E(2ξ+3)=2Eξ+3=10Dξ=(x1-Eξ)2P1+(x2-Eξ)2P2+…+(x6-Eξ)2P6=[(1-3.5)2+(2-3.5)2+…(6-3.5)2]=17.5×=2.92(2)Eξ=(1+2+…+n)=Dξ=Eξ2-(Eξ)2=(n2-1)(3)設ξ為該生選對試題個數(shù)，η為成績。那么ξ～B(50，0.7)，η=3ξ∴Eξ=50×0.7=35；Dξ=50×0.7×0.3=10.5故Eη=E(3ξ)=3Eξ=105Dη=D(3ξ)=9Dξ=94.5【例2】(2022年安徽)在添加劑的搭配使用中，為了找到最正確的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗設計學原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進展搭配試驗。用ξ表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和，（Ⅰ）寫出ξ的分布列；（以列表的形式給出結(jié)論，不必寫計算過程）.（Ⅱ）求ξ的數(shù)學期望Eξ.（要求寫出計算過程或說明道理）.解：（=1\*ROMANI）ξ的分布列為ξ123456789P（=2\*ROMANII）由ξ的定義得.【例3】(2022山東)袋中裝著標有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：（1）取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；（2）隨機變量ξ的概率分布和數(shù)學期望；（3）計分介于20分到40分之間的概率。解：（=1\*ROMANI）解法一：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為，那么解法二：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為B，那么事件A和事件B是互斥事件，因為,所以.（=2\*ROMANII）由題意ξ有可能的取值為：2，3，4，5.所以隨機變量的概率分布為2345因此的數(shù)學期望為（Ⅲ）“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為，那么【例4】（2022全國Ⅱ）某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件。一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進展檢驗。設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。（Ⅰ）用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學期望；（Ⅱ）假設抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購置這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品給用戶拒絕購置的概率。解：（=1\*ROMANI）ξ可能的取值為0，1，2，3.，，，.ξ的分布列為ξ0123數(shù)學期望為Eξ=1.2.（=2\*ROMANII）所求的概率為【研討.欣賞】（2022遼寧）現(xiàn)有甲、乙兩個工程，對甲工程每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙工程的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價格下降的概率都是,設乙工程產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進展2次獨立的調(diào)整,記乙工程產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為ξ,對乙工程每投資十萬元,ξ取0、1、2時,一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量ξ1、ξ2分別表示對甲、乙兩工程各投資十萬元一年后的利潤.（=1\*ROMANI）求ξ1、ξ2的概率分布和數(shù)學期望Eξ1、Eξ2;（=2\*ROMANII）當Eξ1<Eξ2時,求的取值范圍.解（I）法一：ξ1的概率分布為ξ11.21.181.17P由題設的ξ－B(2,p)，即ξ的概率分布為ξ012P故ξ2的概率分布為ξ21.31.250.2P所以ξ2的數(shù)學期望為解法二：ξ1的概率分布為ξ11.21.181.17P設表示事件“第i次調(diào)整，價格下降”（i=1,2），那么故ξ2的概率分布為ξ21.31.250.2P(1-p)22p(1-p)P2所以ξ2的數(shù)學（II）解：由，得，整理得，解得。因為，所以，當時，得取值范圍是。五．提煉總結(jié)以為師1.離散型隨機變量的期望和方差的意義.2.求期望與方差.首先應先求出分布列，再代公式求期望與方差.3.離散型隨機變量的期望和方差的計算公式與運算性質(zhì)：4.二項分布的期望與方差：假設ξ～B（n，p），那么Eξ=np，Dξ=np（1－p）.同步練習10.9離散型隨機變量的期望與方差【選擇題】1.下面說法中正確的選項是（）A.離散型隨機變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。B.離散型隨機變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。C.離散型隨機變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。D.離散型隨機變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。2.是x1，x2，…，x100的平均數(shù)，a是x1，x2，…，x40的平均數(shù)，b是x41，x42，…，x100的平均數(shù)，那么以下各式正確的選項是()A.= B.=C.=a+b D=3.設ξ是隨機變量,a、b是非零常數(shù),那么以下等式中正確的選項是()A.D(aξ+b)=a2Dξ+bB.E(aξ)=a2EξC.D(aξ)=a2DξD.E(aξ+b)=aξ【填空題】4.設一次試驗成功的概率為p，進展100次獨立重復試驗，當p=________時，成功次數(shù)的標準差的值最大，其最大值為________.5.一次單元測試由50個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中恰有1個是正確答案.每題選擇正確得2分，不選或錯選得0分，總分值是100分.學生甲選對任一題的概率為0.8，求他在這次測試中成績的期望和標準差.6.袋中有4個紅球，3個黑球，今從袋中隨機取出4個球.設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，那么得分ξ的取值為_____________,ξ數(shù)學期望等于__________.◆練習簡答：1-3.CAC;4.Dξ=npq≤n（）2=，當p=q=時等號成立，Dξ=25，σξ=5.答案：,5.5.設甲答對題數(shù)為ξ，成績?yōu)棣?，那么ξ～B（50，0.8），η=2ξ，成績的期望為Eη=E（2ξ）=2Eξ=2×50×0.8=80（分）；成績的標準差為ση====2=4≈5.7（分）6.得分情況：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分.故P（ξ=5）==，P（ξ=6）==，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，Eξ=5×+6×+7×+8×==.【解答題】7.甲、乙乙兩名射手在一次射擊中，得分為兩個獨立的隨機變量ξ和η，其分布列為ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3求（1）a,b的值；（2）計算ξ、η的期望與方差，并據(jù)此分析甲、乙的技術(shù)狀況。解：(1)由a+0.1+0.6=1得a=0.7.同理b=0.1(2)Eξ=2.3,Eη=2.0,Eξ>EηDξ=0.81,Dη=0.6.Dξ>Dη說明射擊中甲的平均得分高于乙，但穩(wěn)定性不如乙。8．(2022江西)某商場舉行抽獎促銷活動,抽獎規(guī)那么是:從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客,規(guī)定:甲摸一次,乙摸兩次.令ξ表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額,求(1)ξ的分布列; (2)ξ的數(shù)學期望..解:(1)ζ的所有可能的取值為0,10,20,50,60.(元)9．(2022全國Ⅰ)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用假設干試驗組進展比照試驗每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效假設在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為.（Ⅰ）求一個試驗組為甲類組的概率；（Ⅱ）觀察3個試驗組，用ξ表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望.解：（Ⅰ）設Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2，Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2，依題意有所求的概率為(Ⅱ)ξ的可能值為0,1,2,3且ξ~B(3,eq\f(4,9))P(ξ=0)=(eq\f(5,9))3=eq\f(125,729),P(ξ=1)=C31×eq\f(4,9)×(eq\f(5,9))2=eq\f(100,243),P(ξ=2)=C32×(eq\f(4,9))2×eq\f(5,9)=eq\f(80,243),P(ξ=3)=(eq\f(4,9))3=eq\f(64,729)ξ的分布列為:ξ0123Peq\f(125,729)eq\f(100,243)eq\f(80,243)eq\f(64,729)數(shù)學期望:Eξ=3×eq\f(4,9)=eq\f(4,3)10.（2022湖北）某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的時機，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否那么就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.解：ξ的取值分別為1，2，3，4.ξ=1，說明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P（ξ=1）=0.6.ξ=2，說明李明在第一