大綱版數(shù)學(xué)高考名師一輪復(fù)習(xí)教案64不等式的證明IIdoc高中數(shù)學(xué)

9/92022屆大綱版數(shù)學(xué)高考名師一輪復(fù)習(xí)教案6.4不等式的證明II一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1.掌握反證法、數(shù)學(xué)歸納法和放縮法的一些策略技巧；2.了解換元法、判別式法、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造法，了解不等式證明方法的多樣性和靈活性.提高分析問題,解決問題的能力.二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1.反證法：正難那么反.否認(rèn)結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否認(rèn)是錯誤的，從而肯定原結(jié)論正確。2.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小,利用不等式的傳遞性證明不等式.常用的放縮手法有：①添加或舍去一些項，如：；；②將分子或分母放大（或縮?。劾酶静坏仁?，絕對值不等式,a2≥0等;④假設(shè)a>b>0,m>0,那么.3.換元法：換元的目的是減少不等式中的變量，或者化繁為簡.常用的換元有三角換元和代數(shù)換元.換元法必須注意新變元的取值范圍.4.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程或幾何圖形,利用相關(guān)知識來證明不等式；5.數(shù)學(xué)歸納法法:證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式6.利用函數(shù)的單調(diào)性.利用單調(diào)函數(shù)中自變量大小與函數(shù)值之間的聯(lián)系.要特別重視這種方法,因為高考中常把不等式綜合在函數(shù)、數(shù)列或其它數(shù)學(xué)問題之中。三、雙基題目練練手1.已知a、b是不相等的正數(shù)，x=，y=，那么x、y的關(guān)系是()A.x＞y B.y＞x C.x＞y D.不能確定2.設(shè)M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小關(guān)系是A.M＞N B.M=N C.M＜N D.不能確定3.（2022春北京）假設(shè)不等式（－1）na＜2+對任意n∈N*恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍是()A.［－2，） B.（－2，）C.［－3，） D.（－3，）4.在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），那么an+1與bn+1的大小關(guān)系是____________.5.假設(shè)a＞b＞c，那么+_______.（填“＞”“=”“＜”）6.記S=，那么S與1的大小關(guān)系是_________簡答:1-3.BAA;3.當(dāng)n為正偶數(shù)時，a＜2－，2－為增函數(shù)，∴a＜2－=.當(dāng)n為正奇數(shù)時，－a＜2+，a＞－2－.而－2－為增函數(shù)，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）答案：A4.an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+15.a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］≥4.∴+≥＞.答案：＞;6.S<1四、經(jīng)典例題做一做【例1】已知a，b∈R，且a+b=1求證：證法一：比較法，作差消b,化為a的二次函數(shù)。也可用分析法、綜合法，反證法，實質(zhì)與比較法相同。證法二：（放縮法）∵∴左邊＝＝右邊證法三：（均值換元法）∵，所以可設(shè)，，∴左邊＝＝右邊當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立點評：形如a+b=1構(gòu)造式的條件，一般可以采用均值換元證法四：（判別式法）設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因為，所以，即故◆溫馨提示:注意體驗不等式證明方法的靈活性和各種證明方法間的內(nèi)在聯(lián)系.【例2】（1）設(shè)，且，求證：；（2）設(shè)，且，求證：【證明】（1）設(shè)那么，=。（2）設(shè)，∵，∴。 于是?！纠?】已知a＞1，n≥2，n∈N*.求證：－1＜.證法一：要證－1＜，即證a＜（+1）n.令a－1=t＞0，那么a=t+1.也就是證t+1＜（1+）n.∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，即－1＜成立.證法二：設(shè)a=xn，x＞1.于是只要證＞x－1，即證＞n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項和=1+x+…+xn-1>n. ∴＞n.【例4】已知(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求證：x>y>0,有f(x+y)<f(x)+f(y);（3）假設(shè)求證：2）∵.【研討.欣賞】數(shù)列｛an｝滿足a1=1且an+1=（n≥1）（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an≥2（n≥2）；（2）已知不等式ln（1+x）＜x對x＞0成立，證明：an＜e2（n≥1），其中無理數(shù)e=2.71828…．證明:（1）①當(dāng)n=2時，a2=2≥2，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時不等式成立，即ak≥2（k≥2），那么ak+1=≥2．這就是說，當(dāng)n=k+1時不等式成立．根據(jù)①、②可知：ak≥2對所有n≥2成立．（2）由遞推公式及（1）的結(jié)論有an+1=≤，（n≥1）兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得lnan+1≤ln+lnan≤lnan+．故lnan+1－lnan≤，（n≥1）．上式從1到n－1求和可得lnan－lna1≤++…++++…+=1－++…=1－+1＜2，即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．五．提煉總結(jié)以為師1．高考中一般不出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，所以，除掌握常用的三種方法外，還需了解其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等.2．總結(jié)所學(xué)不等式證明的方法：同步練習(xí)6.4不等式的證明II【選擇題】1.假設(shè)＜＜0，那么以下結(jié)論不正確的選項是()A.a2＜b2 B.ab＜b2C.+＞2 D.|a|+|b|＞|a+b|2.已知a＞b＞c＞0，假設(shè)P=，Q=，那么()A.P≥Q B.P≤Q C.P＞Q D.P＜Q3.（2022天津）已知＜＜，那么()A．2b＞2a＞2cB．2a＞2b＞2cC．2c＞2b＞2aD．4.(2022江西）已知實數(shù)a、b滿足等式以下五個關(guān)系式：①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b其中不可能成立的關(guān)系式有 （）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【填空題】5.設(shè)實數(shù)x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.那么P=loga（ax＋ay）與Q=loga2＋的大小關(guān)系是___________（填“＞”“=”“＜”）.6.已知不等式對n∈N+都成立，那么實數(shù)M的取值范圍是__________。簡答.提示：1-4.ADAB;5.ax＋ay≥2＝2.∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.∴l(xiāng)oga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.即P<Q;6.記,那么,最大.M>1【解答題】7．已知，求證：都屬于。【證明】由已知得：，代入中得：∵，∴△≥0，即解得，即y∈。同理可證x∈，z∈。8.設(shè)，且，求證：因為，而所以，所以a，b為方程（1）的二實根而，故方程（1）有均大于c的二不等實根。記，那么解得。法2:由已知得c<0,

否那么,由(a+b+c)2=1得A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)<1,與已知矛盾.又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-1<0,9.假設(shè)a>0,b>0，且=1,求證：(I)a＋b≥4;(II)對于一切n∈N*,(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立證明：(I)=1,a＋b=()(a＋b)=1＋＋＋1≥4,(II)當(dāng)n=1時,左式＝0，右式＝0，∴n=1時成立.假設(shè)n=k時成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1,.那么當(dāng)n=k＋1時，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1=(a＋b)(a＋b)k－ak＋1－bk＋1≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1)－ak＋1－bk＋1=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)≥2·2k＋1＋4·22k－4·2k＋1=22k＋2－2k＋2,∴n=k＋1時命題成立.歸納原理知,不等式對一切n∈N*都成立10.已知a、b為正數(shù)，求證：（1）假設(shè)+1＞，那么對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立；（2）假設(shè)對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立，那么+1＞.分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.證明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.∵+1＞（b＞0），∴（+1）2＞b.從而ax+＞b（2）∵ax+＞b對于大于1的實數(shù)x恒成立，即x＞1時，［ax+］min＞b，而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，當(dāng)且僅當(dāng)a（x－1）=，即x=1+＞1時取等號.故［ax+］min=（+1）2.那么（+1）2＞b，即+1＞.評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【探索題】（2022湖北）已知不等式,其中n為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足（Ⅰ）證明（Ⅱ）試確定一個正整數(shù)N，使得當(dāng)時