數(shù)學(xué)必修二第二章知識點(diǎn)和試題

精品文檔高中數(shù)學(xué)必修知識點(diǎn)總結(jié)第二章直線與平面的位關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、面之間的置關(guān)系1平面含義：平面是無限延展的2三個公理：（1）公理如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為ALBL=>LAα

α

Aα·

LBα公理1作：判直線是否平面內(nèi)（2）公理過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。符號表示為：AB、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個平面，

ABα·C··使α、BαCα。公理作用：確定一個平面的據(jù)。（3）公理如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號表示為：Pα∩β=>α∩β=L且PL公理作用：判定兩個平面是相交的依據(jù).

β2.1.2空間中直線與直線之間位置關(guān)系

α

P·

L1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2公4平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)、b、三條直線abcb

=>a∥c強(qiáng)調(diào)：公理質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理作用：判斷空間兩條直平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn)：①a'b'所成的角的大小只ab相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；⑤計(jì)算中，通把兩條異直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交線所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線與面、平面平面之間的位置關(guān)系1直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點(diǎn)（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點(diǎn)（3）直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用精品文檔

α來表示

精品文檔a

α

aα=Aaα.2.直線、平平行的判及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定1直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：abab

αβ

=>a∥α2.2.2平面與平面平行的判定1兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：ab

ββa∩=Pa∥b∥

β∥α2判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a∥αa

β

abα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：α∥βα∩γ=aa∥β∩γ=b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平垂直的判定精品文檔

．．精品文檔．．1、定義：果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時們唯一公共點(diǎn)做垂足。PaL2直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：

a)理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；定體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平與平面垂直的判定1二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭Bα

β2二面角的記法：二面角-l-β或α-AB-3兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2兩個平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。第二章、直線、平面之的位置關(guān)系一、選擇題1．設(shè)不同的平面l為兩條不同的直線，且l

m

，有如下的兩個命題：①∥lm；②若lm，則⊥么()A①是真命題，②是假命題

B．①是假命題，②是真命題

．①②都是真命題

D．①②都是假命題2．如圖，ABCDBCD為正方體，下面結(jié)論錯誤的是()A∥平面DB．AC⊥BD．⊥平面DD．異面直線AD與CB角為60°3．關(guān)于直線，n平面，下列四個命題：

(2題①∥n∥∥n；③⊥n∥⊥n；精品文檔

②⊥n⊥m⊥n④∥n⊥m∥n．

．．．．．精品文檔．．．．．其中真命題的序號是()

A①②

B．③④

．①④

D．②③4．給出下列四個命：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行②垂直于同一平面的兩個平面互相平行③若直線l，l與同一平面所成的角相等，則l，l互相平行④若直線l，l是異面直線，則與l，l都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個數(shù)是()．A15．下列命題中正確個數(shù)是()．①若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平

B．2C3D．4內(nèi)，則l②若直線l與平面

平行，則l與平面

內(nèi)的任意一條直線都平行③如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行④若直線l與平面

平行，則l與平面

內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)A0

B．個

．個

D．3個6．直線l與l異面，過l作平面與l平行，這樣的平面()A不存在

B．有唯一的一個

．有無數(shù)個

D．只有兩個7．把正方ABCD對角線起，當(dāng)以AB，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時，直線BD和平面所成的角的大小為()A90°

B．60°

．45°

D．°8．下列說法中不正的是()A空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形B．同一平面的兩條垂線一定共面．過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個平面內(nèi)D．過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直9．給出以下四個命：①如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行②如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么些兩個平面互相垂直其中真命題的個數(shù)是()

A4B．3C．2D．110．異面直線a，b所成的角60°，線⊥c，則直線b與所成的角的范圍為()A[30，]

B．[60，90]

．[30，60]

D．[，]二、填空題精品文檔

3精品文檔311已知三棱－ABC的三條側(cè)棱PA，兩相互垂直，且三個側(cè)面的面積分別S，，則這個三棱錐的體積為．12．Peq\o\ac(△,)所在平面外一點(diǎn)，過PO⊥平面垂足是，連，PC()若＝，則eq\o\ac(△,)的

心；()⊥PA，⊥，則O是△ABC的

心；()若點(diǎn)三邊AB，，CA的距離相等，則是△的

心；()若＝，∠C＝90，則是邊的()若＝，＝，則點(diǎn)在△的

點(diǎn)；線上．13如圖在正三角形中F別為各邊的中點(diǎn)G，AF，ADDE的中點(diǎn)，將△ABC沿DE，EF，DF成三棱錐以

IJ分別為后，GH與IJ所J成角的度數(shù)為．(13題)14．直線l與平面

所成角為，l∩＝，直線∈

，

則與l成角的取值范圍是．15．棱長為1正四面體內(nèi)有一點(diǎn)，由點(diǎn)各面引垂線，垂線段長度分別d，，d，d，則d＋d＋＋d的值為．16．直二面角－l棱上有一點(diǎn)，在平面，

內(nèi)各有一條射線AB與l成°

，

，則∠BAC．三、解答17．在四面體，△與△DBC都邊長為正三角形．()求證：⊥AD；()若點(diǎn)到平面ABC的距離等于，求二面角－BC－

的正弦值；()設(shè)二面角－BC－的大小為

，猜想

為何值時，

四面體－BCD的體積最大．(要求證明)(17題)精品文檔

精品文檔18．圖，在長方體ABCD—ABCD中，＝2，＝BC1E為的中點(diǎn)，連結(jié)ED，，EB和DB．()求證：平面EDB⊥面；()求二面角－DB－的正切值.(18題)19*．圖，在底面是直角梯形的四棱錐－ABCD，AD∥BC∠ABC＝90SA面SAAB＝＝１，AD＝

．()求四棱錐S—ABCD的體積；()求面SCD與所成的二面角的正切值．(示：延長BA，CD相交于點(diǎn)則直線SE是所求二面角的棱)20*．三棱柱的一個側(cè)面的面積為，這個側(cè)面與它所對棱的距離等于求這個棱柱的體積．(示：在AA上取一點(diǎn)P，過P作棱柱的截面，使垂直于這個截面.)(20題)精品文檔

精品文檔第二章

點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系參考答案一、選擇題1．D2D解析：異面直線AD與角為°．3．解析：在①、④的條件下，，n位置關(guān)系不確定．4．解析：利用特殊圖形正方體我們不難發(fā)現(xiàn)①②③④均不正確，故選擇答案D5．解析：學(xué)會用長方體模型分析問題，A有無數(shù)點(diǎn)在平面平面交，①不正確AB∥平面ABCD，顯B不平行于

外，但與BD，不確；AB∥AB，AB∥平面ABCD，但

平面內(nèi)，③不正

確平面α平行則l與

無公共點(diǎn)l與平面

內(nèi)的所有直線都沒有公

共點(diǎn)正確，應(yīng)選．第題6．解析：設(shè)平面

過l，且l，則l上一定點(diǎn)與l確定一平面，

與

的交線l∥l，且l過點(diǎn).又過點(diǎn)與l平行的直線只有一條，即l有唯一性，所以經(jīng)過l和l的平面是唯一的，即過l且平行于l的平面是唯一的7．C解析：當(dāng)三棱錐D－ABC體積最大時，平面DAC⊥，取AC的點(diǎn)，則△是等腰直角三角形，即∠＝458．解析：A．一組邊平行就決定了共面B．同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面．這些直線都在同一個平面內(nèi)即直線的垂面；D．把書本的書脊垂直放在桌上就明確了．9．解析：因?yàn)棰佗冖苷_，故選B10．A解析：異面直b所成的角為，直c⊥a，過空間任一點(diǎn)P作直線∥ab∥，c∥c若a，’，c共面則與’成30°角否則

b

’

與

c

’

所成的角的范圍為30°]所以直線與所成角的范圍為30°]．二、填空11

S

．解析：設(shè)三條側(cè)棱長為b．則

1abS，bc＝，ca＝S三式相乘：2精品文檔

精品文檔∴

a

b

＝S，∴＝22S

．∵三側(cè)棱兩兩垂直，∴V

abc·＝2

S

．12．外，垂，內(nèi)，，邊的垂直平分．解析：(三角形全等可證得為△的外心；()由直線和平面垂直的判定定理可證得，O為△的垂心；()由直線和平面垂直的判定定理可證得，O為△的內(nèi)心；()由三角形全等可證得，為AB邊的中點(diǎn)；()由1)，在BC邊的垂直平分線上，或說O在∠的平分線上．13．60°．解析：將△沿，，DF成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為．14．30°，90°解析：直線l與平面所成的的角為m與l所成角的最小值，當(dāng)在內(nèi)適當(dāng)旋轉(zhuǎn)就可以得到l，即與l成角的的最大值為．15．

．解析：作等積變換：

16×(d＋d＋d＋d)＝·h而h．3416．60或．解析：不妨固定則AC有兩種可能．三、解答題17．證明：(1取BC中點(diǎn)O連結(jié)AO，DO．∵△，△BCD都是邊長為的正三角形，∴AO，⊥，且AO＝∴⊥平面．又AD

平面，∴⊥AD．(第題解：(由(1∠為二面角－BC－的平面角，設(shè)∠AOD＝過點(diǎn)D作DE⊥，垂足為E∵⊥平面，且BC

平面ABC，∴平面⊥平面ABC．平面面ABC＝，精品文檔

23精品文檔23∴DE平面ABC∴線段DE的長為點(diǎn)到平面的距離，即DE＝又DO＝

BD2

，在△中，

DE3＝，故二面角－BC－的正弦值為

．()當(dāng)時，四面體的積最大．18．證明1長方體－BCD中AB2＝DC的中點(diǎn)．∴eq\o\ac(△,)等腰直角三角形，∠DED＝45．同理∠EC＝45．∴

DEC

，即⊥EC．在長方體ABCD－

AC

中，⊥平面

DDCC

，又DE

平面

D

，∴⊥DE．又

ECBC

，∴DE平面∵平面過DE，∴平面DEB平面()解如圖過