彈塑性力學(xué)講義變分法

彈塑性力學(xué)講義變分法第1頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

靜力可能狀態(tài)物體Q，在內(nèi)部受體力(X，Y，Z)作用，在靜力邊界S上受面力(，，)作用

外力與內(nèi)力(應(yīng)力）處處（物體內(nèi)和邊界上）滿足平衡。第2頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在物體內(nèi)滿足平衡微分方程在靜力邊界上滿足靜力邊界條件在位移邊界上，其反力由上式給出第3頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在物體內(nèi)位移與應(yīng)變滿足幾何方程ud=vd=wd=在位移邊界Su上，滿足位移邊界條件變形協(xié)調(diào)變形可能狀態(tài)第4頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力可能狀態(tài)（s）和變形可能狀態(tài)（d）是同一物體的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，兩者可以彼此完全獨(dú)立而沒(méi)有任何關(guān)系靜力可能狀態(tài)的應(yīng)力所給出的變形一般不滿足變形協(xié)調(diào)變形可能狀態(tài)給出的應(yīng)力一般不滿足平衡微分方程第5頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

可能功原理外力（體力和面力，包括反力）在變形可能的位移上所做功

＝內(nèi)力（應(yīng)力）在變形可能的應(yīng)變上所做功第6頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明:第7頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一散度定理第8頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一真實(shí)狀態(tài)（靜力可能狀態(tài)）虛位移狀態(tài)（變形可能狀態(tài)）虛位移（功）原理第9頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一外力虛功＝內(nèi)力虛功（1）虛功原理沒(méi)有涉及到物理方程，即沒(méi)有規(guī)定應(yīng)力與應(yīng)變之間的具體關(guān)系，因此，對(duì)彈性、塑性情況均適用。（2）虛位移原理完全等價(jià)于平衡微分方程和力邊界條件。使用可能功原理，并考慮到位移邊界上反力功為零第10頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一使用位移法求解，應(yīng)力、應(yīng)變等都通過(guò)幾何方程和物理方程看作是位移的函數(shù)。若位移及與之相應(yīng)的應(yīng)力與應(yīng)變滿足：（1）單值連續(xù)（由它給出的應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)條件），（2）位移邊界條件，（3）平衡微分方程，（4）靜力邊界條件，則該位移就是問(wèn)題的解，即為真實(shí)位移。

第11頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一僅滿足前兩個(gè)條件的位移場(chǎng)是變形可能的位移場(chǎng)，而后兩個(gè)條件等價(jià)于虛位移原理。求解彈性力學(xué)問(wèn)題又可敘述為：在所有變形可能的位移場(chǎng)中，尋找所給出的應(yīng)力能滿足虛位移原理的位移場(chǎng)。或者，真實(shí)的位移場(chǎng)除必須是變形可能的位移外，它所給出的應(yīng)力還應(yīng)滿足虛位移原理。第12頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一最小勢(shì)能原理

內(nèi)力虛功物體是彈性的，則單位體積內(nèi)的內(nèi)力虛功對(duì)于整個(gè)彈性體內(nèi)力虛功＝應(yīng)變能因虛位移而引起的改變第13頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

外力虛功

如果作用的外力是保守力，大小和方向都不變，只是作用點(diǎn)的位置改變外力虛功＝外力勢(shì)能因虛位移而引起的改變第14頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

稱為彈性體的總勢(shì)能，它是應(yīng)變能與外力勢(shì)能之和從彈性體的真實(shí)狀態(tài)出發(fā)產(chǎn)生虛位移，所引起的總勢(shì)能變分應(yīng)為零，即在真實(shí)狀態(tài)總勢(shì)能取極值。對(duì)于處于穩(wěn)定平衡的真實(shí)狀態(tài)，應(yīng)是取最小值，最小勢(shì)能原理：在所有變形可能的位移中，使總勢(shì)能達(dá)到最小值的位移，就是真實(shí)的位移。將上述結(jié)果代入虛功原理，得位移變分原理第15頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）虛位移原理無(wú)論是彈性、還是塑性情況下都成立，但位移變分方程式僅對(duì)彈性保守系統(tǒng)有效。（2）變分與微分在數(shù)學(xué)上的意義等同都是指微小的變化，因此運(yùn)算方法相同，但它們的運(yùn)算對(duì)象不同：微分運(yùn)算中，自變量一般是坐標(biāo)等變量，因變量是函數(shù)。變分運(yùn)算中，自變量是函數(shù)，因變量是函數(shù)的函數(shù)，即數(shù)學(xué)上所謂的泛函。總勢(shì)能是位移函數(shù)的泛函。對(duì)泛函求極值的問(wèn)題，數(shù)學(xué)上稱之為變分法將求解彈性力學(xué)中偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解勢(shì)能變分問(wèn)題第16頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例6-1簡(jiǎn)支梁受分布荷載作用，不計(jì)自重時(shí)，導(dǎo)出以軸線撓度表示的平衡微分方程和兩端的靜力邊界條件。解：用w表示軸線撓度，不考慮剪切作用，則梁的應(yīng)變能可近似地表示為而外荷載q形成的外力勢(shì)為

第17頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一使用分部原理使用變分原理第18頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由于在支承點(diǎn)x=0，x=l上的虛位移為零，即w=0，任意，則第19頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）設(shè)滿足位移邊界的近似位移函數(shù)為 使用位移變分原理近似求解 ，

，

=U＋V＝

(ak，bk，ck)

（2）求彈性體的總勢(shì)能 第20頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

=ak＋bk＋＝0（3）總勢(shì)能變分為零，求待定系數(shù)第21頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題6-3用變分方法求簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的撓度解：（1）設(shè)位移函數(shù)為

w(x)=c1x(l