控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模例題精解

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模例題精解第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例題精解例2.1彈簧阻尼器串并聯(lián)系統(tǒng)如圖2.2所示，系統(tǒng)為無質(zhì)量模型，試建立系統(tǒng)的運(yùn)動方程。解：（1）設(shè)輸入為，輸出為，彈簧與阻尼器并聯(lián)平行移動。（2）列寫原始方程式。由于無質(zhì)量，按受力平衡方程，各受力點(diǎn)任何時刻均滿足ΣF=0，則對于A點(diǎn)有

yry0其中，F(xiàn)?阻尼摩擦力；FK1，F(xiàn)K2為彈性恢復(fù)力。（3）寫中間變量關(guān)系式?圖2.1機(jī)械位移系統(tǒng)K1K2Ayry0·第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一（4）消中間變量得（5）化標(biāo)準(zhǔn)型式中，為時間常數(shù)，單位（秒）；為傳遞系數(shù)，無量綱。第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例2.2已知單擺系統(tǒng)的運(yùn)動如圖2.2所示。（1）寫出運(yùn)動方程式；（2）求取線性化方程。解：（1）設(shè)輸入外作用力為零，輸出為擺角θ，擺球質(zhì)量為m。

（2）由牛頓定律寫原始方程式中，l為擺長；lθ運(yùn)動弧長；h為空氣阻力。（3）寫中間變量關(guān)系式式中，α為空氣阻力系數(shù)；ldθdt為運(yùn)動線速度。mgθlh圖2.2單擺運(yùn)動l第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一（4）消中間變量得運(yùn)動方程式此方程為二階非線性齊次方程。（5）線性化。在θ=0附近，非線性函數(shù)sinθ≈θ，故代入上式可得線性化方程為第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例2.3已知機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖2.3所示，試列出系統(tǒng)運(yùn)動方程。ωfJM?圖2.3機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)解：（1）設(shè)輸入量為作用力矩M?，輸出為旋轉(zhuǎn)角速度ω。（2）列寫運(yùn)動方程式式中，fω為阻尼力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比。（3）整理成標(biāo)準(zhǔn)形為此為一階線性微分方程，若輸出變量改為θ，則由于ω=dθdt，代入方程得二階線性微分方程式第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例2.4設(shè)有一個倒立擺安裝在馬達(dá)傳動車上，如圖2.4所示。倒立擺不是穩(wěn)定的，如果沒有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔迷谒厦妫鼘㈦S時可能向任何方向傾倒。這里只考慮二維問題，即認(rèn)為倒立擺只在圖2.5所示平面內(nèi)運(yùn)動?？刂屏作用于小車上。假設(shè)擺桿的重心位于其幾何中心A。試求該系統(tǒng)的運(yùn)動方程式。

解：（1）設(shè)輸入作用力為u，輸出為擺角θ。（2）寫原始方程式。設(shè)擺桿中心A的坐標(biāo)為，于是

畫出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖2.5所示。第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一ou圖2.5隔離體受力圖yMxllθAmgVVHHlcosθo圖2.4倒立擺系統(tǒng)yuxθmgllPMA第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一式中，J為擺桿圍繞重心A的轉(zhuǎn)動慣量。擺桿重心A沿x軸方向運(yùn)動方程為擺桿重心A沿y軸方向運(yùn)動方程為即（2.1）（2.2）即擺桿圍繞中心A點(diǎn)轉(zhuǎn)動方程為第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一小車沿x軸方向運(yùn)動方程式為（2.3）（2.4）方程（2.1）~（2.4）為車載倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動方程組。因?yàn)檫€有sinθ和cosθ項(xiàng)，所以為非線性微分方程組。中間變量不易相消。（3）當(dāng)θ很小時，可對方程組線性化，由例2.2可知sinθ≈θ，同理可得到cosθ≈1。則方程式（2.1）~（2.4）可用線性化方程表示為第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一用的算子符號將以上方程組寫成代數(shù)形式，消掉中間變量V、H、x得將微分算子還原后得此為二階線性化偏量微分方程。第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例2.5RC無源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖2.6所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)Uc2（s）/Ur（s）。uruc2R1R2i1i2C1C2圖2.6RC無源網(wǎng)絡(luò)解：在線性電路的計(jì)算中，引入了復(fù)阻抗的概念，則電壓、電流、復(fù)阻抗之間的關(guān)系滿足廣義的歐姆定律。即如果二端元件是電阻R、電容C或電感L，則復(fù)阻抗Z（s）分別是R、1/Cs或Ls。（1）用復(fù)阻抗寫電路方程式：第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一（2）將以上4式用方框圖表示，并相互連接即得RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，見圖2.7（a）、（b）。（3）用結(jié)構(gòu)圖化簡法求傳遞函數(shù)的過程見圖2.7（c）、（d）、（e）。（4）用梅遜公式直接由圖2.7（b）寫出傳遞函數(shù)Uc2（s）/Ur（s）。獨(dú)立回路有三個：第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一回路相互不接觸的情況只有L1和L2兩個回路。則由上可寫出特征式為第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一前向通路只有一條由于P1與所有回路L1，L2，L3都有公共支路，屬于相互有接觸，則余子式為代入梅遜公式得傳遞函數(shù)第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一圖2.7（a）+－+－+－第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一+－+－+－圖2.7（c）+－+－+－圖2.7（b）第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一+－圖2.7（d）圖2.7（e）第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例2.6有源網(wǎng)絡(luò)如圖2.8所示，試用復(fù)阻抗法求網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)，并根據(jù)求得的結(jié)果，直接用于圖2.9所示PI調(diào)節(jié)器，寫出傳遞函數(shù)。

解：圖2.8中Zi和Zf表示運(yùn)算放大器外部電路中輸入支路和反饋支路復(fù)阻抗，A點(diǎn)為虛地，即UA≈0，運(yùn)算放大器輸入阻抗很大，可略去輸入電流，于是I1=I2則有故傳遞函數(shù)為對于由運(yùn)算放大器構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，上式可看作計(jì)算傳遞函數(shù)的一般公式。對于圖2.9所示PI調(diào)節(jié)器，有第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一故+ZfZii1i2uiuc圖2.8有源網(wǎng)絡(luò)uc+uiR1R2C圖2.9PI調(diào)節(jié)器第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例2.7求下列微分方程的時域解x（t）。已知χ（0）=0，χ（0）=3。.解：對方程兩端取拉氏變換為代入初始條件得到解出X（s）為第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一反變換得時域解為例2.8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2.10所示，試用化簡法求傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。

解：（1）首先將含有G2的前向通路上的分支前移，移到下面的回環(huán)之外。如圖2.11（a）所示。（2）將反饋環(huán)和并聯(lián)部分用代數(shù)法則化簡，得圖2.11（b）。（3）最后將兩個方框串聯(lián)想乘得圖2.11（c）。第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一G1G2H++++C（s）R（s）圖2.10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖G1H–+++G2G1R（s）C（s）(a)第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一G11+G1H1+G2G1R（s）C（s）(b)G1+G21+G1HR（s）C（s）(c)圖2.11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化例2.9已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2.12所示，試用化簡法求傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。G1G2++++R（s）C（s）圖2.12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一解：（1）將兩條前饋通路分開，改畫成圖2.13（a）的形式。（2）將小前饋并聯(lián)支路相加，得圖2.13（b）。（3）先用串聯(lián)公式，再用并聯(lián)公式將支路化簡為圖2.13（c）。++++G1G2（a）++G2G1+1R（s）R（s）C（s）C（s）G1G2+G2+1R（s）C（s）（b）（c）圖2.13系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化簡第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例2.10已知機(jī)械系統(tǒng)如圖2.14（a）所示，電氣系統(tǒng)如圖2.14（b）所示，試畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。χiy0χF1FF2?1?2k1k2（a）????????R1R2ii1i2eie0（b）C1C2圖2.14系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（a）機(jī)械系統(tǒng)（b）電氣系統(tǒng)解：（1）列寫圖2.14（a）所示機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動方程，遵循以下原則：并聯(lián)元件的合力等于兩元件上的力相加，平行移動，位移相同。串聯(lián)元件各元件受力相同，總位移等于各元件相對位移之和。微分方程組為：第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一取拉氏變換，并整理成因果關(guān)系有：畫結(jié)構(gòu)圖如圖2.15。第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一++++–+?s11?s2k11k2χiχ0χ0FY圖2.15機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)為：第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一(2)列寫圖2.14（b）所示電氣系統(tǒng)的運(yùn)動方程，按電路理論，所遵循的定律與機(jī)械系統(tǒng)相似，即并聯(lián)元件總電流等于兩元件電流之和，電壓相等。串聯(lián)元件電流相等，總電壓等于各元件分電壓之和?？梢?，電壓與位移互為相似量，電流與力互為相似量。運(yùn)動方程可直接用復(fù)阻抗寫出：第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一整理成因果關(guān)系：第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一畫結(jié)構(gòu)圖如圖2.16所示。–+++++Cs1R21R2C

s21EiE0IE0EC2圖2.16電氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)為第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一對上述兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行比較后可以看出，兩個系統(tǒng)是相似的。機(jī)—電系統(tǒng)之間相似量的對應(yīng)關(guān)系見下表。機(jī)械系統(tǒng)電氣系統(tǒng)χieiχ0e0yeC2FiF1i1F2i2k11/R11/k2R2?1?2C1C2第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例2.11RC網(wǎng)絡(luò)如圖2.17所示，其中u1為網(wǎng)絡(luò)輸入量，u2為網(wǎng)絡(luò)輸出量。（1）畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖；（2）求傳遞函數(shù)U2（s）/U1（s）。

解：（1）用復(fù)阻抗寫出原始方程組。輸入回路輸出回路中間回路（2）整理成因果關(guān)系式。第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一由輸入回路得由中間回路得由輸出回路得即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖2.18所示。u1u2i2i1C1C2R1R2圖2.17RC網(wǎng)絡(luò)第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一–+++++R2u1u2I1I2C

s1RCs+121R11Cs21圖2.18網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖（3）用梅遜公式求出第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期一例2.12已知系統(tǒng)的信號流圖如圖2