線代10年真題講解考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂電子系列

TOC\o"1-1"\h\z\u【題型一方陣的行列式 【題型二初等矩陣、初等變換 【題型三伴隨矩陣 【題型四逆矩陣 【題型五矩陣（向量組）的秩 【題型六向量相關(guān)無(wú)關(guān)性 【題型七向量的表出 【題型八方程組的解 【題型九特征值、特征向量 【題型十二次型 【題型十一兩個(gè)矩陣的關(guān)系（等價(jià)、相似、合同 【題型十二二次型的正定性 0ab0a00b0c0ab0a00b0cd0c00d

（（A）(ad （B）(ad （C）a2d2 （D）b2c2a2d00000000043220022002n階行列2020022002設(shè)A，B為3階矩陣，且A3，B2，A1B2。則AB1 （2008,數(shù)三13，4分）設(shè)3階矩陣A的特征值1，2，2，4A1E 設(shè)3A的特征值為2,2,1,BA2AEE為3B

0設(shè)A,P均為3階矩陣，PT為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且PTAP 0， 2 P(,,),Q(,,)，則QTAQ為 0A. 0 2

B

0 0 2 0C. 0 2

0D. 0 2 P

1 0 0

，P

1 0 0

,則A 1

0 (A)P

P1

(C)P

PP1 2 2 設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P1AP 0．若P,, 2300 0 000 2300 0 000

2

（A） 0 0 0 （D） 0 1 2 2 1 A,B2A*B*A,BA2,B3 A 3B* A B 2 O O 3A* C D O OA,,,4A*A的伴隨矩陣，若(1,0,1,0)TAx0 一個(gè)基礎(chǔ)解系，則A*x0的基礎(chǔ)解系可為 (A) (B) (C) (D)設(shè)A為3階矩陣，A3,A*為A的伴隨矩陣，若交換A的第1行與第2行得到矩陣B，則BA* 設(shè)A(aij)為3階非零矩陣，A為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)式，若aijAij0(i,j1,2,3)，則A 設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣.若A30，則 AEA不可逆，EA不可逆 BEA不可逆，EA可逆CEA可逆，EA可逆 DEA可逆，EA不可逆AA2A4E0,E為單位矩陣，則AE10ABE是三階單位矩陣.AB2ABB40,0(AE)1 01000010

A3的秩0001 0000 設(shè)A為mn型矩陣，B為nm型矩陣，E為m階單位矩陣，若ABE，則 (A)秩rAm,秩rB(C)秩rAn,秩rB

(B)秩rAm,秩rB(D)秩rAn,秩rB r可由向量組II:1, s線性表示，下列命題正確的是 (A)I線性無(wú)關(guān)，則r(C)II線性無(wú)關(guān)，則r

(B)I線性相關(guān)，則r(D)II線性相關(guān)，則r設(shè)1, ,s均為n維列向量，A是mn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是（（A）若1s線性相A1,,As線性相關(guān)（B）若1s線性相A1,,As線性無(wú)關(guān)（C）若1s線性無(wú)A1,,As線性相關(guān)（D）若1, ,s線性無(wú)關(guān)，則A1, ,As線性無(wú)關(guān)（2 設(shè)向量組1,2,3線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（A.12,23,3C.122,223,3

B.12,23,3D.122,223,3設(shè)1,2,3為3維向量，則對(duì)任意常數(shù)kl，向量組1k3,2l3線性無(wú)關(guān)是向1,2,3線性無(wú)關(guān)的（（A）必要非充分條 1 2 3 4 c c c c1 2 3 4

其中cccc1 向量組性相關(guān)的為（（A）1,2 （B） A3階矩陣，a1a2A的分別屬于特征值1,1特征向量，向量a3Aa3a2a3證明a1a2a3線性無(wú)關(guān) 1,2,3)T34,a)T線性 求a的值1,2,3用1,2,3線性表示設(shè)4維向量組1a,1,1,1T,2,2a,2,2T 3,3,3a,3T 4,4,4,4aTa為何值時(shí),,,線性相關(guān)?當(dāng),,,線性相關(guān)時(shí), 設(shè)A,B,C均為n階矩陣，若ABC，且B可逆，則 A為43矩陣，1,2,3Ax的3k1k2意常數(shù)，則Ax的通解為

22

k1(21

22

k2(21

23k()k

23k()k

1

,b

，若集合(1,2)Axb d d1 a2 充分必要條件為 )（A）a,d．（B）a,d．（C）a,d．（D）a,d 設(shè)A 1

11 2 A的.A2的所有向量 ②對(duì)①中的任意向量23證明123無(wú)關(guān)x1x2x3 x4xax x12x2x3a 有公共解，求a得值及所有公共解 aa

1

，現(xiàn)矩陣A滿足方程Ax，其中x ,0TAn1an當(dāng)a為何值，方程組有唯一解，求x1a為何值，方程組有無(wú)窮多解，求通解 A01，b

1 1 （1）求a 0 1 設(shè)A 0, a 0 （1）A；（2）當(dāng)實(shí)數(shù)aAx 1a

，

Axa a

2a 求a的值設(shè)A a，B 1，當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C，使得ACCAB，并 0 b 所有矩陣C 設(shè)A 1,E為3階單位矩陣1 1A

0

O0 a求a的值XXXA2AXAXA2EE為3X 2設(shè)矩形A ，B a

.aAXBa 設(shè)A為2階矩陣，1,2為線性無(wú)關(guān)的2維列向量，A10,A2212，則A的非 若三維列向量,滿足T2，其中T為的轉(zhuǎn)置，則矩陣T的非零特征值 設(shè)x為三維單位列向量，E為三階單位矩陣，則矩陣ExxT的 1 11A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的秩為2，且A 0 0 11 設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2A0，若A的秩為3，則A相似

(B) 0

0

(D) 0

0 4 16T設(shè) a正交矩陣Q使得16T 0

AQ為對(duì)角矩陣若Q的第1列 (1,2,1)aA的特征值1,2,2,1,1,1)TA的屬于 一個(gè)特征向量,BA54A3EE3階單位矩陣A

1

0 3B,,B2BAB100 表示為1,2,3的線性組合 設(shè)二次型fx1,x2,x3xTAx的秩為1，A中各行 和為3，則f在正交變換x 設(shè)二f(xx,x在正交變換xPy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y2y2y2其中Pe,e,e 若Q(e1,e3,e2)，則f(x1,x2,x3)在正交變換xQy下的標(biāo)準(zhǔn)形為 )（A）2y2y2y2．（B）2y2y2y2．（C）2y2y2y2．（D）2y2y2y2 二次型f(xx,x)2x32 2x xx2，則f的正慣性指1, 1 1 設(shè)二次型f(xxxx2x22axx4xx的負(fù)慣性指數(shù)為1a 1 2設(shè)二次型f(xxxa(x2x2x22xx2xx2xx的正負(fù)慣性指數(shù)分別 1 2 1則（（A）a （B）a （C）2a （D）a1a

xA3階實(shí)對(duì)稱矩陣，如果二次曲面方程(xyzAy1在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)z A B C D x23y2z22axy2xz2yz4y24z24 則a 設(shè)二f(xxxx2x2x24xx4xx4xxf(x,x,x)2在空 1 1 2角坐標(biāo)下表示的二次曲面為（

1 fxxxax2ax2a1x22xx2x 1 2f fy2y2，求a 1 已知A 1，二次型fx,x,xxTATAx的秩為 a 求實(shí)數(shù)a

求正交變換xQy將f化 設(shè)二f(xxx2(axaxax)2bxbxbx)2 1 2 3 1 2 3a記a

，

2 2a b3 3f對(duì)應(yīng)的矩陣為2TT 若f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y2y2 已知二次型f(x,x,x)xTAx在正交變換xQy下的為y2y2，且Q的第三 2為 ,

2)Tb， b， 設(shè)矩陣 1與 1等價(jià)，則a 1 a A

，B

AB（ 1 2 0 B.合同，但不相C.不合同，但相 D.既不合同，也不相 1矩陣 a

相似的充分必要條件為 1 (A)a0,b(C)a2,b

(Ba0,b(D)a2,b（A）AT與BT相似 （B）A1與B1相似（C）AAT與BBT相似 （D）AA1與BB1相似

0設(shè)(1,1,1)T,(1,0,k)T，若矩陣T相似于 0，則k 0

0設(shè)，為3維列向量，T為的轉(zhuǎn)置，若矩陣T相似于 0，則T 0 11 0 111

證明n

1與0 2相 11 0 nA

B

0 a 求ab 2 設(shè)A C 1 D 2 1 若二f(xxx2x2x2x22xxtxx是正定的，則t的取值范 1 2 設(shè)矩陣A 0,矩陣B(kEA)2,其中k為實(shí)數(shù)，E為單位 1 求對(duì)角矩陣B與相似，并求kB為正定矩陣A為mnE為n階單位矩陣.BEATA，試證：當(dāng)0時(shí)，矩陣B為正定矩陣.設(shè)1,2,1,0T,1,1,0,2T,2,1,1,T若由,