彈性力學第二章平面問題的基本理論

彈性力學第二章平面問題的基本理論第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一平面應力問題平面應力問題：設有很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面且不沿厚度變化的面力或約束，同時體力也平行于板面且不沿厚度變化。xyzh第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一平面應變

問題平面應變問題：設有很長的柱形體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力或約束，同時體力也平行于橫截面且不沿長度變化。xyz第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一物理方程這里，E為彈性模量，G為剪切模量，μ泊松系數(shù)，且有如下關系：第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一平面應力問題的物理方程注：平面應力狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應變不為零。第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一平面應變問題的物理方程注：平面應變狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應力不為零。第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一平衡微分方程(1)oxyc第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一平衡微分方程(2)X方向力平衡：c第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一再證剪應力互等對c點力矩平衡：c第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一幾何方程PABP’A’B’oxy第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一剛體位移Poxy第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一平面問題小結平面問題的基本方程：三個物理方程三個幾何方程兩個平衡方程平面問題中的未知函數(shù)：三個應力分量三個應變分量兩個位移分量第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一平面問題中一點的應力狀態(tài)PABoxyx方向力平衡：y方向力平衡：求得：同理：第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一主應力及其方向PABoxy在應力主面上，全應力等于主應力，因此：第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一最大正應力與最大剪應力第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一莫爾圓推導應力狀態(tài)公式2ατσO.Mohr,德國人，1835-1918。第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一邊界條件位移邊界條件：應力邊界條件：混合條件：在位移約束面上：在應力約束面上：位移約束與應力約束的組合。設面法線與x軸正向夾角的余玄為l，與y軸正向夾角的余玄為m。第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一邊界條件舉例xyxyqp第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一圣維南原理及其應用圣維南（AdhémarJeanClaudeBarrédeSaint-Venant，1797～1886）原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應力分布將有顯著改變，但是遠處所受的影響可以忽略不計。FFFFF/2FF/2F/AFF/AF/AF第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一圣維南原理推廣如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處發(fā)生顯著的應力，而遠處可以不計。第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一圣維南原理應用xyh/2h/2嚴格邊界條件運用圣維南原理的邊界條件ll第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一用位移法與應力法求解平面問題位移法：以位移為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應力分量和形變分量，導出只含位移分量的方程和相應的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和應力分量。應力法：以應力分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量，導出只含應力分量的方程和相應的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和位移分量。注：課堂上只推導平面應力問題的求解方法，至于平面應變問題，只需要在推導結果上稍作改變，即將結果中：換為換為第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解平面應力問題(1)

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用應變表達應力（物理方程）第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解平面應力問題(2)

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用位移表達應變（幾何方程）第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解平面應力問題(3)

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平衡方程第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解平面應力問題(4)

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邊界條件第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解平面應力問題(5)

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小結按位移求解平面問題需要：1.位移分量滿足微分方程：2.邊界條件：第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解平面問題(5)

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舉例y=hρgxy第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解平面問題(6)

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舉例y=hρgxy第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按應力求解平面應力問題(1)

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用位移表達應變（幾何方程）形變協(xié)調方程或相容方程連續(xù)體的形變分量不是相互獨立的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證真實的位移分量存在。第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按應力求解平面應力問題(2)

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相容方程的運用設有應變分量：顯然其不滿足協(xié)調方程。第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按應力求解平面應力問題(3)

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用應力表達應變（物理方程）用應力表達應變并代入形變協(xié)調方程：得到：第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按應力求解平面應力問題(4)

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平衡方程代入下式消去剪應力：得到：第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按應力求解平面應力問題(5)

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小結按應力求解平面問題需要：3.應力分量滿足邊界條件和或位移單值條件：2.應力分量滿足形變協(xié)調方程：1.應力分量滿足平衡微分方程：第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一按應力求解平面應力問題(6)

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例題y=hρgxy第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一常體力情況下的簡化（1）

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應力調和方程常體力拉普拉斯（Laplace，Pierre-Simon，1749～1827）方程，即調和方程。當體力為常量時，在單連體的應力邊界問題中，如果兩個彈性體的邊界形狀以及受力分布相同，那么它們平面內的應力分布相同。第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一常體力情況下的簡化（2）

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求解平衡方程平衡方程應力調和方程所求的應力函數(shù)必須滿足以下方程：其中式的解為式的通解加上式的特解：第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一常體力情況下的簡化（3）

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平衡方程的特解特解一：特解二：特解三：第38頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一常體力情況下的簡化（4）

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平衡方程的通解因此，由中第一式：由中第二式：剪應力相等：則有：最后得到：艾里GeorgeAiry(1801-1892)應力函數(shù)第39頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一常體力情況下的簡化（5）

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平衡方程的解通解特解第40頁，共42頁，2023年，