定積分課件梁淑蓮

定積分課件(梁淑蓮第一頁，共66頁。本章基本內(nèi)容1 定積分的概念與性質(zhì)2 定積分基本公式3 定積分的積分法4 廣義積分第二頁，共66頁。本章學(xué)習(xí)目的理解定積分的概念和意義，掌握定積分的運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì)熟練掌握和應(yīng)用牛頓---萊布尼茲公式熟練掌握定積分的計(jì)算方法了解無限區(qū)間上廣義積分的定義和計(jì)算第三頁，共66頁。一、定積分問題舉例例1.求曲邊梯形的面積boxya圖6－1y=f(x)注:設(shè)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負(fù)、連續(xù)。由直線x=a,x=b,y=0,及曲線y=f(x)所圍成的圖形,稱為曲邊梯形。其中曲線弧稱為曲邊.第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)曲邊第四頁，共66頁。(1)

分割：分析：（2）取近似：（3）求和：boxya圖6－1y=f(x)第五頁，共66頁。(1)

分割：boxya圖6－1y=f(x)分析：（2）取近似：（3）求和：（4）取極限：第六頁，共66頁。boxyay=f(x)(1)

分割：將[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,稱為子區(qū)間.過每個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線段,把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形，設(shè)其面積為?Ai(i=1，2,…,n).記分點(diǎn)為（2）取近似：在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)i，第七頁，共66頁。boxyay=f(x)（3）求和：

所有小矩形的面積和，即得曲邊梯形面積A的近似值第八頁，共66頁。boxyay=f(x)即:（4）取極限：使每個(gè)小區(qū)間的長度趨于零，第九頁，共66頁。例2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程.設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng).已知速度V=V(t)是時(shí)間間隔[a,b]上的連續(xù)函數(shù).計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S.分析：對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)，V=V(t)是常數(shù)，用勻速運(yùn)動(dòng)近似代替變速運(yùn)動(dòng)，求出路程的近似值，通過取極限，算出所求路程。具體過程如下：此時(shí)，路程=速度X時(shí)間。現(xiàn)在，速度不是常數(shù)而是隨時(shí)間變化的變量，因此，路程不能按上述公式來計(jì)算。然而，由于速度是連續(xù)變化的，在較短的時(shí)間內(nèi)速度變化不大，近似于勻速，可仿照上例，將時(shí)間間隔[a,b]分割，在每一小段內(nèi)，第十頁，共66頁。(1)分割：勻速直線運(yùn)動(dòng).路程＝速度×?xí)r間在[a,b]內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)[a,b]分成n個(gè)小段：[t0,t1],[t1,t2],…,[tn-1,tn]第十一頁，共66頁。（2）取近似：在每個(gè)子區(qū)間[ti-1,

ti]上任取一點(diǎn)i由時(shí)刻ti-1到時(shí)刻ti走過的路程為Si

（3）求和：將所有這些近似值求和，得到路程的近 似值，即將時(shí)間間隔[a,

b]分得越細(xì),近似公式越精確.第十二頁，共66頁。即:（4）取極限：的極限就是所求的路程。第十三頁，共66頁。例1與例2小結(jié)例1曲邊梯形面積為例2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為以直代曲以勻速代非勻速第十四頁，共66頁。求曲線弧的長度:第十五頁，共66頁。求變力作功：設(shè)質(zhì)點(diǎn)m受力變F的作用沿x軸由點(diǎn)a移至點(diǎn)b，并設(shè)力F平行于x軸。求變力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功W？oxabΔWiF(xi)m變力F(x)第十六頁，共66頁。二、定積分定義1.定義:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,將[a,b]任意分成n個(gè)子區(qū)間,分點(diǎn)為在每個(gè)子區(qū)間[xi-1,

xi]上任取一點(diǎn)i,i[xi-1,

xi],則稱這個(gè)極限值為函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分.記成第十七頁，共66頁。被積函數(shù)積分符號(hào)積分下限積分上限積分變量稱為積分區(qū)間Sf(x)dx叫做被積表達(dá)式.第十八頁，共66頁。根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個(gè)引例就可以用定積分概念來描述：

例1

曲線、x軸及兩條直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，即第十九頁，共66頁。例2 作變速直線運(yùn)動(dòng)的路程S是速度函數(shù)V=V(t)在時(shí)間間隔[a,b]上的定積分：第二十頁，共66頁。1.幾點(diǎn)說明：（1） 設(shè)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上

可積.設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),則f(x)在[a,b]上可積.第二十一頁，共66頁。(2)定積分?jǐn)?shù)值與積分變量記號(hào)無關(guān)：定積分的數(shù)值只與被積函數(shù)及積分區(qū) [a,b]有關(guān),與積分變量的記號(hào)無關(guān).(3)

規(guī)定當(dāng)a=b時(shí),

(4)

規(guī)定當(dāng)a>b時(shí),第二十二頁，共66頁。2.定積分的幾何意義.(1)若當(dāng)x[a,b]時(shí),連續(xù)函數(shù)f(x)0bAoxyay=f(x)A第二十三頁，共66頁。(2)

若當(dāng)x[a,b]時(shí),連續(xù)函數(shù)f(x)0,

oxyaby=f(x)A第二十四頁，共66頁。若當(dāng)x[a,b]時(shí),連續(xù)函數(shù)f(x)既取得正值,又取得負(fù)值時(shí)，y=f(x)oxyabA1A2A3（3）第二十五頁，共66頁。性質(zhì)1

兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù) 和，即：6.1.4定積分的基本性質(zhì)

設(shè)下面函數(shù)f(x)，fi(x)，g(x)在[a,b]上可積.例：第二十六頁，共66頁。推論

有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各 函數(shù)的定積 分的代數(shù)和，即例：第二十七頁，共66頁。性質(zhì)2

被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外.例：第二十八頁，共66頁。綜合性質(zhì)1和性質(zhì)2得：例：第二十九頁，共66頁。性質(zhì)3如果積分區(qū)間[a,b]被分點(diǎn)c分成區(qū)間[a,c]和 [c,b],則oxyabc第三十頁，共66頁。移項(xiàng)：當(dāng)c在區(qū)間[a,b]之外時(shí)：性質(zhì)3表明定積分對(duì)積分區(qū)間具有可加性，這個(gè)性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分oxyacb第三十一頁，共66頁。例1解OXY121第三十二頁，共66頁。利用定積分的幾何意義，可分別求出OXY121第三十三頁，共66頁。性質(zhì)4oxyab1第三十四頁，共66頁。性質(zhì)5推論第三十五頁，共66頁。性質(zhì)6（定積分估值定理）設(shè)M和m分別是?(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值與最小值，則第三十六頁，共66頁。證明：第三十七頁，共66頁。例2解第三十八頁，共66頁。性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn) 證明

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定積分的性質(zhì)6，有 ,使下式成立第三十九頁，共66頁。即 數(shù)值介于f(x)在[a,b]上的最大值 M和最小值m之間.根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定 理,至少存在一點(diǎn),使得即:第四十頁，共66頁。性質(zhì)7的幾何意義：在上至少存在一點(diǎn),使得曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的矩形的面積.OXYab第四十一頁，共66頁。習(xí)題六1、一曲邊梯形由曲線軸及圍成，試列出用定積分表示該曲邊梯形的面積的表達(dá)式。解：第四十二頁，共66頁。作直線運(yùn)動(dòng)，2、一物體以速度試列出時(shí)間間隔內(nèi)該物體所走過的路程S的定積分表達(dá)式。解：第四十三頁，共66頁。3、利用定積分的幾何意義，計(jì)算下列各題（1）OXY112第四十四頁，共66頁。OXY第四十五頁，共66頁。OXYKab第四十六頁，共66頁。OXY2-2第四十七頁，共66頁。4、設(shè)是上的單調(diào)增加的有界函數(shù)，證明證明：由性質(zhì)6，得單調(diào)增加第四十八頁，共66頁。6、估計(jì)下列積分值解：在上單調(diào)遞增，第四十九頁，共66頁。解：第五十頁，共66頁。練習(xí)：習(xí)題6.1第5題第五十一頁，共66頁。第六章

定積分10xyy=x2第五十二頁，共66頁。第六章

定積分10xyy=x2第五十三頁，共66頁。0xy=x2y解:因?yàn)閥=x2在[0,1]上連續(xù),定積分存在,將區(qū)間[0,1]等分成n等份,分點(diǎn)為第五十四頁，共66頁。于是0xy=x2y第五十五頁，共66頁。(1)

分割：boxya圖6－1y=f(x)分析：（2）取近似：（3）求和：第五十六頁，共66頁。(1)

分割：boxya圖6－1y=f(x)分析：（2）取近似：（3）求和：（4）取極限：第五十七頁，共66頁。(1)

分割：（2）取近似：（3）求和：（4）取極限：boxya圖6－1y=f(x)分析：第五十八頁，共66頁。例1與例2小結(jié)例1曲邊梯形面積為以直代曲例2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為以勻速代非勻速第五十九頁，共66頁。在科學(xué)技術(shù)上，還有許多問題如曲線弧的長度、旋轉(zhuǎn)體的體積、變力作功等雖然實(shí)際背景不同也都?xì)w結(jié)為這種特定和式的極限！為此拋開問題的實(shí)際意義，將這種解決問題的想法抽象出來，從數(shù)學(xué)的角度，用純數(shù)學(xué)語言加以描述，就得到定積分的概念。第六十頁，共66頁。若當(dāng)x[a,b]時(shí),連續(xù)函數(shù)f(x)既取得正值,又取得負(fù)值時(shí)，y=f(x)oxyabA1A2A3（3）第六十一頁，共66頁。曲線弧的長度:第六十二頁，共66頁。其中:f(x)叫做被積函數(shù).f(x)dx叫做被積表達(dá)式.x叫做積分變量,a叫做積分下限.b叫做積分上限,[a,b]叫做積分區(qū)間.第六十三頁，共66頁。二、定積分定義1.定義:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,將[a,b]任意分成n個(gè)子區(qū)間,分點(diǎn)為在每個(gè)子區(qū)間[xi-1,

xi]上任取一點(diǎn)i,i[xi-1,

xi],則稱這個(gè)極限值為函數(shù)f