2023年高考數(shù)學押題及答案

2023年高考數(shù)學考前押題如圖，己知三棱柱ABC-A\B\C\中，四邊形AAiCiC為正方形，AB=AC=2,AM丄AiBi,M、N分別是CCi、BC的中點，點P是線段A出1上的動點.（1） 證明：AM1PN；（2） 己知BC=2V2,求平面P"V與平面ABC所成銳二面角的余弦值的取值范圍.【分析】（1）取AC中點連接￡W,A\D,證明AMLMD,結(jié)合AMLA\B\,推出AM丄平而A\B\ND,然后證明AM丄PN.（2）以A8,AC,編1為x,y,z建系，求出平面MNP的法向量平面ABC的法向量，設(shè)面PA/N與面A8C所成角為。，求tH|cos0|=|cos<n,益>|的表達式，利用換元法化簡表達式轉(zhuǎn)化求解cos。的范圍.【解答】（1）證明：取AC中點。，連接DMAiD,'：AA\=AC.AD=CM,ZA\AC=ZACM,「.△AiAOMZXACM,（1分）?.?ZAA\D=ZCAM,又?「￡MiD+NAiDA=3，:.ZCAM+ZA\DA=^,:.AM.LA1D,（2分）又\'AMLA\B\,AiDHAifii=A\,:.AM丄平面AiBiND,（4分）又?:NPu面AiBiN。，

:.AMLPN.(5分):.AMLPN.(2)解：'：AB=AC,BC=2a/2,:.ab2+ac2=bc2,「?AB丄AC,:.AMLAB,又'：AMnAC=A,:.AB丄面ACCiAi,:.AB±AA\,以AB,AC.AAi為x,y,z建系,N(1,1,0),M(0,2,I),設(shè)P(.t,0.2),佐[0,2],設(shè)面MNP的法向量？J=(x,y,z),'{.T—x+y+zW,令I(lǐng)得尸孚三二穿，(8分)ji-MP=tx-2y+z=0又面ABC的法向量血=(0,0,I),設(shè)而PMN與面ABC所成角為0,則|cos0|=|cos<h,m>\=—>T(2-tf則|cos0|=|cos<h,m>\=—>T(2-tf9+(吋+(2-滬(9分)令令w=2-t,gO,2],r.MG(O.2],|cos0|=u2|cos0|=u2_-6C+18'當“=0時cos9=0,.?.8=g,不符合舍去,當奸0時|cos0|=令q驀,國兩1=J]8屋6汨2V（p（m）=18尿-6〃什2在[j,+8）遞增，???甲s）次弓）=；，???。寸矗<孱=孚"I分）所以o<lcosei<^5.V14又?..0為銳角，...|*。|的范圍為（0,—].（12分）【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.如圖，三棱柱ABC-A\B\C\所有的棱長為2,A1B=A1C=^2,材是棱8C的中點.（I）求證：A1M丄平面ABC；（II）在線段B1C是否存在一點P,使直線BP與平面A\BC所成角的正弦值為碧？若存在，求出CP的值：若不存在，請說明理由.【分析】（1）推導(dǎo)出AiM丄8C,A\M±AM,由此能證明A1A丄平面A8C.（2）由A/A,MB,MAi兩兩垂直，以8為原點，MA為x軸，MB為y軸，材Ai為z軸,建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果.【解答】解：（1）證明：連接AM'：A^B=AiC=V2,BC=2,M是BC中點，:.AxMLBC,A\M=\乂ZMi=2,AM=43,:.AM2+ArM2=AA^,:.A\MLAM,'：AMC\BC=M,AM,8Cu平面ABC,:-A\A丄平面ABC.（2）由（1）知MA,MB,MAi兩兩垂直，以M為原點，的為x軸，MB為y軸，MA1為z軸，建立空間直角坐標系，則B(0,1,0),C(0,?],0),Ai(0,0.1),B\(-V3,1,1),CBi=(-V3,2,I),假設(shè)CP= =(一叱P,24,A),AG(0,1),RP=RC+CP=(-V3A.21-2.A).取平面AiBC的法向量;1=(1,0,0),直線BP與平面AiBC所成角為0,..?直線BP與平面A\BC所成角的正弦值為暮，Asine=項烏=| ㈣ =疇，\BP\\n\j3A2+(2A-2)2+A2整理得8入2-18入+9=0,【點評】本題考查線面垂直的證明和直線與平血所成的角，考查空間中線線、線曲、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考査運算求解能力、推理論證能力，是中檔題.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，平面丄平面ABCD,PA=PD,E為棱A8的中點.證明；AC丄PE；若PA=AD,ZBAD=60°,求二面角E-PC-B的余弦值.【分析】（1）取A。的中點F,連結(jié)PF,EF,BD,利用面面垂直的性質(zhì)定理證明PF丄平而ABCD,可得PFLAC,又ACLEF,即可證明AC丄平而PEF,從而證明ACLPEx(2)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面PEC和平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可.【解答】(1)證明：如圖，取AO的中點F,連結(jié)PF,EF,BD,因為B4=P￡>,則PFLAD,又因為平面以D丄平面ABCD,平面PADC\平面ABCD=AD,PRz平面PAD,所以PP丄平面ABCD,又ACu平面ABCD,所以PF丄AC,因為底面ABCD為菱形，所以AC丄BC,因為〃，尸分別為AB,AO的中點，則EF//BD,所以ACA-EF,又EFCPF=E,EF,PFu平面P/F,所以AC丄平面PEF,又PEu平而PEF,所以AC1PE；(2)解：由(1)可知，PP丄平面ABCD,連結(jié)8F,因為匕BAO=60°.AB=AD,點F為A。的中點，所以AF丄BF,則FB,FP兩兩垂直，以點F為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，不妨設(shè)AD=2a,則AF=a,FB=廊,FP=V3a,所以F(0,0,0),A(a,0,0).8(0,V5a,0),P(0,0,V5a), C(-2a,扼a,0),E(^a>孚a,0),—? [py — —所以PE=(2?z,芬a,-Via),PC=(-2a,43a,一歸a),BC={-2a,0,0),設(shè)平面PEC的法向量為n=(x,y,z),則EE=。，即尸匸屈-嚴八。，令l；hPE=0(X+V3y-2V3z=0x=V3,則y=5,z=3,故〃=(V5,5,3),設(shè)平面P8C的法向量為m=(p,q,r),

則何.竺=0,Ui?BC=0令q=l,則r=L故則何.竺=0,Ui?BC=0令q=l,則r=L故m=(0,1,1),所以\cos<n,m>\=|R?澗 8