工程力學(xué)第三章 靜力平衡問題

第三章靜力平衡問題3.1平面力系的平衡問題3.2含摩擦的平衡問題3.3平面桁架3.4空間力系的平衡問題13.1平面力系的平衡問題思路：研究對象受力分析平衡方程求解一、平面力系平衡問題的分析方法ABC靜力平衡問題，一般有二類：

對于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。

對于未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時外載荷所應(yīng)滿足的條件及約束力。60ABCDF2例3.1求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫整體受力圖。注意BC為二力桿。驗算，再寫一個不獨立平衡方程，看是否滿足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0結(jié)果正確。2）取坐標(biāo)，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30=0ABCF=2KNFq30q=0.5KN/mL=2m1.5mFq=2q=1KNFCFAyFAxxyFy=FAy+FCsin30-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN矩心取在二未知力交點A處，力矩方程中只有一個未知量FC，可直接求解。3例3.3夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸，求P力作用下工件所受到的夾緊力。研究整體，受力如圖。需要求的是FC。列平衡方程：

Fy=FB-F=0FB=F

解：逐一討論A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFayxOFBFCFAMA(F)=FB.ABcos-FC.ABsin=0

FC=Fctga。

越小，夾緊力越大。討論：若將矩心取在FA、FB二未知力交點O，則由力矩方程直接可得:MO(F)=FABcos-FCABsin=0

FC=Fctg

4例3.4梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B處的約束力。由(1)知，F(xiàn)Ax=0。剩余二個方程中含三個未知約束反力，不足以求解。

列平衡方程：Fx=FAx=0---(1)Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系統(tǒng)整體為研究對象，畫受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA5

2)小車為研究對象，列平衡方程：

MD(F)=2FE-W-5P=0

FE=(50+50)/2=50kN

Fy=FD+FE-W-P=0

FD=10kN3)取BC梁為研究對象，有：

MC(F)=8FBy-FE=0

FBy=FE/8=6.25kN將FBy代入(2)、(3)式，求得：

FAy=P+W-FBy=53.75kN

MA=4W+8P-12FBy=205kN.m有時需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBFEFCyFByFCx=06補充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A(chǔ)、B及D處的約束力。解：研究整體有：

Fy=FAy-F=0

FAy=F

MA(F)=FB2a-Fa=0

FB=F/2Fx=FAx+FB=0

FAx=-FB=-F/2

研究CD桿，有：MC(F)=FDya=0YD=0Fy=FACsin45-F=0FACFx=FDx-FACcos45=0FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC請驗算：AB桿(帶銷A)受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy7求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：弄清題意，標(biāo)出已知量整體受力圖，列平衡方程，解決問題否？選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和矩心，注意正負號。檢查結(jié)果，驗算補充選取適當(dāng)研究對象，畫受力圖，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一軸上的投影為零；力偶對任一點之矩即為M。8問題1：不計桿重，求連桿機構(gòu)在圖示平衡位置時F1、F2之關(guān)系。問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，求A、B處的約束力。bＣMABac4560ABCDF1F2問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束力。ABCFq2aaa459問題1.不計桿重，求連桿機構(gòu)在圖示平衡位置時F1、F2之關(guān)系。4560ABCDF1

F2FDFCME(F)=F2AE-F1sin60BE=0注意：BE=AB；AE=AB可解得：

F2=......F12E

10問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，求A、B處的約束力。解:BC為二力桿;外力只有力偶M,以AC為軸寫投影方程可知，A處反力為FAy=0,整體受力如圖所示。bＣMABacFBBＣFCFAxAMFAy=0FCFAFBABbＣMcdaBAFF=BdFM=×+-0有0(F)=?AM又由可解得BF11問題2再論:不計拱重，分析三鉸拱的約束力。FBABＣMdFAＣABFBABＣFFBABＣFFAFA三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。12問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對象，再處理其上的分布載荷。解：1）研究整體：

2）研究BC，受力如圖。求出FC即可。MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=02一般力系，3個方程，4個未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCFq2aaa45FCFAyFAxMA13討論：判斷下述分析的正誤。MA=

M+Fa-2Pa固定鉸的約束力作用于銷釘上。多桿用同一銷釘連接，討論某桿時，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;

FAy=P;MA=

M？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy14第一種情形ACBlllF問題討論：試求圖示A、B、C處的約束力。llFABDCFBFAydFAx第二種情形lllACBM=F

l

MA(F)=0FBd-F2l=0FB=22F

MB(F)=0FAyl+Fl=0FAy=-FFx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F15第二種情形lllACBM=F

lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD桿受力M=F

l考察BC桿的平衡:FCx=FBx;FCy=FByMB(F)=0:FCylBC+Fl=02=-—F2

FCy=FBy再考察AB桿，

由MA(F)=0可求得FBx16由ABD桿的平衡有：MA(F)=02

FBx=—Fˉ2MB(F)=0FAy=

0MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二種情形lllACBM=F

l更簡單方法以整體為研究對象如何？FAxlllABDCM=F

lFCxFAyFCy?BCM=F

lFCxFBxllABDFBxFAx?17二、靜不定問題的概念1)靜定問題完全約束住的n個物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個平衡方程。若反力未知量是3n個，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題--未知量數(shù)=獨立平衡方程數(shù)ABCF30如例1系統(tǒng)二根桿六個平衡方程；約束三處鉸鏈六個反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個，但B、C處約束力未知量也減少了二個。18本題作用于小車的是平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)三個物體8個平衡方程；約束固定端3；中間鉸2；活動鉸、車輪接觸處各1共8個反力，是靜定問題。如例3系統(tǒng)三個物體9個方程，反力只有8個。小車可能發(fā)生水平運動。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數(shù)少于獨立的平衡方程數(shù)，有運動的可能。CABWP192）靜不定問題或超靜定問題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)>獨立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數(shù)m系統(tǒng)中物體數(shù)n<3n未完全約束

m=3n靜定問題>3n靜不定問題靜不定