平面問題有限單元法

平面問題有限單元法第1頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應用變分原理導出有限單元法的基本方程

第十節(jié)計算實例

第九節(jié)計算成果的整理

第八節(jié)解題的具體步驟單元的劃分第七節(jié)結構的整體分析結點平衡方程組習題的提示與答案教學參考資料第2頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

第六章用有限單元法解平面問題1.有限元法（FiniteElementMethod）

FEM2.FEM的特點

概述（1）具有通用性和靈活性。

首先將連續(xù)體變換為離散化結構，然后再利用分片插值技術與虛功原理或變分方法進行求解。簡稱FEM，是彈性力學的一種近似解法。第3頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

簡史3.FEM簡史

（2）對同一類問題，可以編制出通用程序，應用計算機進行計算。

（3）只要適當加密網格，就可以達到工程要求的精度。1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。FEM是上世紀中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應用的一種數值解法。第4頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

1970年后，F(xiàn)EM被引入我國，并很快地得到應用和發(fā)展。簡史1956年，特納等人提出了FEM。

20世紀50年代，平面問題的FEM建立，并應用于工程問題。1960年提出了FEM的名稱。20世紀60年代后，F(xiàn)EM應用于各種力學問題和非線性問題，并得到迅速發(fā)展。第5頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

導出方法5.本章介紹平面問題的FEM

4.FEM的主要導出方法

應用靜力方法或變分方法導出。僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應力問題來表示。第6頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

§6-1

基本量和基本方程的

矩陣表示

本章無特別指明，均表示為平面應力問題的公式。

采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。第7頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

基本物理量：

體力:基本物理量位移函數:應變:應力:結點位移列陣:結點力列陣:面力:第8頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

物理方程:

FEM中應用的方程：

幾何方程:應用的方程其中D為彈性矩陣，對于平面應力問題是:第9頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

--結點虛位移;--對應的虛應變。應用的方程ij虛功方程:其中:

在FEM中，用結點的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。第10頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

3.整體分析。

§6-2有限單元法的概念

FEM的概念，可以簡述為：采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實際具有無限自由度的考察體，是一種在力學模型上進行近似的數值計算方法。

其理論基礎是分片插值技術與變分原理。FEM的概念1.將連續(xù)體變換為離散化結構；

2.單元分析；

FEM的分析過程：第11頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

結構力學研究的對象是離散化結構。如桁架，各單元（桿件）之間除結點鉸結外，沒有其他聯(lián)系（圖（a））。彈力研究的對象，是連續(xù)體（圖（b）)。結構離散化1.

結構離散化－－將連續(xù)體變換為離散化結構第12頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

將連續(xù)體變換為離散化結構（圖（c））：即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結點處用絞連結起來，構成所謂‘離散化結構’。結構離散化第13頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

圖（c）與圖(a）相比，兩者都是離散化結構；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（c）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內部仍是連續(xù)體）。結構離散化例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用鉸連接起來。第14頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

2.單元分析

求解方法

每個三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內部仍是連續(xù)體，應按彈性力學方法進行分析。

取各結點位移為基本未知量。然后對每個單元,分別求出各物理量,并均用來表示。

第15頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（1）應用插值公式,由單元結點位移，求單元的位移函數求解方法這個插值公式稱為單元的位移模式，為：

單元分析的主要內容：

第16頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（4）應用虛功方程，由單元的應力，求出單元的結點力，表示為（3）應用物理方程，由單元的應變，求出單元的應力，表示為

（2）應用幾何方程，由單元的位移函數d，求出單元的應變，表示為求解方法第17頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

－－單元對結點的作用力，與數值相同,方向相反，作用于結點。

--結點對單元的作用力，作用于單元，稱為結點力，以正標向為正。求解方法第18頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（5）將每一單元中的各種外荷載，按虛功等效原則移置到結點上，化為結點荷載，表示為

求解方法第19頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

為已知值,是用結點位移表示的值。通過求解聯(lián)立方程，得出各結點位移值，從而求出各單元的應變和應力。

各單位移置到i結點上的結點荷載其中表示對圍繞i結點的單元求和；求解方法3.整體分析各單元對i結點的結點力作用于結點i上的力有：第20頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

求解方法

3.整體分析

2.對單元進行分析

1.將連續(xù)體變換為離散化結構

歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要步驟：

（1）單元的位移模式（2）單元的應變列陣（4）單元的結點力列陣（5）單元的等效結點荷載列陣建立結點平衡方程組，求解各結點的位移。（3）單元的應力列陣第21頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

思考題

1.桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內仍是作為連續(xù)體來分析的。前者可用結構力學方法求解，后者只能用彈性力學方法求解，為什么？2.在平面問題中，是否也可以考慮其它的單元形狀，如四邊形單元？第22頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

應用插值公式，可由求出位移。

首先必須解決：由單元的結點位移來求出單元的位移函數

FEM是取結點位移為基本未知數的。問題是如何求應變、應力。

這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式。§6-3單元的位移模式與

解答的收斂性

位移模式第23頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

插值公式（a）在結點應等于結點位移值。由此可求出

泰勒級數展開式中，低次冪項是最重要的。所以三角形單元的位移模式，可取為：

三角形單元（a）第24頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

將式（a）按未知數歸納為:

其中包含三角形單元或用矩陣表示為:（b）第25頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

N－－

稱為形（態(tài)）函數矩陣。三角形單元（c）第26頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

A為三角形的面積（圖示坐標系中，按逆時針編號），有：其中:三角形單元第27頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

三結點三角形單元的位移模式，略去了2次以上的項，因而其誤差量級是且其中只包含了的1次項，所以在單元中的分布如圖（a）所示，的分布如圖（b）、（c）所示。三角形單元(a)(b)(c)1第28頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

所以當單元趨于很小時，即時，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應滿足下列條件：

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎的。

收斂性條件第29頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

因為當單元時，單元中的位移和應變都趨近于基本量－－剛體位移和常量位移。（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。

收斂性條件（2）位移模式必須能反映單元的常量應變。第30頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

收斂性條件可見剛體位移項在式（a）中均已反映。與剛體位移相比，將式（a）寫成第31頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（3）位移模式應盡可能反映位移的連續(xù)性。即應盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)性。在三角形單元內部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界ij

上，之間均為線性變化，也為連續(xù)。對式（a）求應變，得：收斂性條件可見常量應變也已反映。第32頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。收斂性條件

為了保證FEM的收斂性：第33頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

思考題1.應用泰勒級數公式來選取位移模式，為什么必須從低次項開始選取？2.試考慮：將結構力學解法引入到求解連續(xù)體的問題時，位移模式的建立是一個關鍵性工作，它使得單元(連續(xù)體)內部的分析工作都有可能進行了。

第34頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

§6-4單元的應變列陣和應力列陣位移函數其中，

單元中的位移函數用位移模式表示為

第35頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

應用幾何方程，求出單元的應變列陣：

應變第36頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

應變S——稱為應力轉換矩陣，寫成分塊形式為再應用物理方程，求出單元的應力列陣：B——稱為應變矩陣，用分塊矩陣表示，

第37頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

對于線性位移模式，求導后得到的應變和應力，均成為常量，因此，稱為常應變（應力）單元。應變和應力的誤差量級是其精度比位移低一階，且相鄰單元的應力是跳躍式的。應力第38頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

思考題1.如果在位移模式中取到泰勒級數中的二次冪項，略去高階小量，試考慮位移、應變和應力的誤差量級。第39頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

§6-5單元的結點力列陣與勁度矩陣

現(xiàn)在來考慮其中一個單元：模型

在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結構的模型。第40頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系，只在結點互相聯(lián)系。（1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜力等效原則移置到結點上去，化為等效結點荷載。故單元內已沒有外荷載。第41頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

假想將單元與結點i切開，則：

其數值與相同，而方向相反。結點力以沿正坐標向為正。對單元而言，這是作用于單元上的“外力”。

結點作用于單元上的力，稱為結點力，單元作用于結點的力，為：第42頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于應力的虛功。結點力而其內部有應力作用，

考察已與結點切開后的單元，則此單元上作用有外力－－結點力，應用虛功方程，求單元的結點力：第43頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

假設發(fā)生一組結點虛位移則單元內任一點（x,y）的虛位移為單元內任一點（x,y）的虛應變?yōu)榇胩摴Ψ匠蹋涸趩卧?，外力（結點力）在虛位移（結點虛位移）上的虛功，等于應力在虛應變上的虛功，即：虛功方程第44頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

其中與無關，故式(a)成為式(b)是由應力求結點力的一般公式。

因為是獨立的任意的虛位移，虛功方程對任意的均應滿足，可得出代入

(b)第45頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

式（c）是由結點位移求結點力的一般公式，－－稱為單元的勁度矩陣K其中：

再將應力公式代入上式，得單元勁度矩陣（c）（d）第46頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

對于三角形單元，B矩陣內均為常數，有

代入B，D，得出k如書中（6-37）及（6-38）所示。第47頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（1）是6×6的方陣，中每一個元素都表示單元各結點沿坐標方向發(fā)生單位位移時所引起的結點力。（2）由反力互等定理，所以是對稱矩陣，以對角線為對稱軸。單元勁度矩陣k的性質：（3）當單元作剛體平移時，如三角形內不產生應力和應變，結點力也為0。第48頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（4）由（3）可導出行列式。（5）的元素與單元的形狀和方位等有關，但與單元的大小和剛體的平動以及作度轉動無關。即有：中每一行（或列）的元素之和為零（其中第1、3、5元素之和或2、4、6元素之和也為0）。第49頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（書中P.117頁），以直角三角形單元為例，計算了應力轉換矩陣S和單元勁度矩陣。

從例題中可以看出，將單元邊界上的應力向結點移置，化為作用于結點上的力，正好就是結點力。在FEM中，單元邊界之間的聯(lián)系和相互作用力，都向結點簡化，歸結成為結點的鉸結和結點力。

思考題

例題試求出書中例題的位移模式。第50頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

§6－6荷載向結點移置

單元的結點荷載列陣

在FEM中，須將作用于單元中的外荷載向結點移置，化為等效結點荷載，第51頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（2）變形體靜力等效原則－－在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。

1、等效原則（1）剛體靜力等效原則－－使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點的主矩也相同。

移置原則

剛體靜力等效原則只從運動效應來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應，在一定的位移模式下，其結果是唯一的，且也滿足了前者條件的。所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。第52頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

假設發(fā)生一組結點虛位移，則點的虛位移為。使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：

2、集中力的移置公式

原荷載作用于單元中任一點為單位厚度上的作用力；移置荷載作用于結點集中力第53頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

3、單元邊界上面力的移置公式

應用式，將代之為并在邊界上積分，得:對于任意的虛位移，虛功方程都必須滿足，得：

面力第54頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

應用式，將代之為并對單元域A積分，得

4、單元內體力的移置公式

體力

當位移模式為線性函數時，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結點荷載相同。第55頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

思考題1.試導出書中例題的荷載移置公式。

第56頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

在單元分析中，從單元的結點位移→求位移分布→求應變→求應力→求結點力，為單元的內力分析；外荷載移置到結點荷載，為單元的外力分析。§6－7結構的整體分析

結點平衡方程組

假設將結點i與周圍的單元切開，則圍繞i結點的每個單元對i結點有結點力(）的作用,也有外荷載移置的結點荷載（）的作用。下面考慮整體分析。第57頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

對某一個單元，其中是對圍繞i結點的單元求和。

i結點的平衡條件為

結點平衡條件第58頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

是單元結點的局部編號；

是整體結點的整體編號。

代入式

，可表示為

將式按整體結點編號排列，得整個結構的平衡方程組。第59頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

考慮結構的約束條件后，從式求出，就可以求出各單元的位移和應力。

－－整體結點位移列陣，－－整體結點荷載列陣，－－整體勁度矩陣。結點平衡方程組第60頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

例2例1列出圖示結構i結點的平衡條件。（見書中P.121）②①③④第61頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

有限單元法的具體計算步驟：

§6－8解題的具體步驟

單元的劃分1、劃分單元網格，對單元和結點編號。

2、選定直角坐標系，按程序要求填寫和輸入有關信息。單元內的ijm的局部編號應按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號。否則會使三角形的面積出現(xiàn)負號等問題。第62頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

3、使用已編好的程序進行上機計算。事先須將有限單元法的公式，計算方法和步驟都編入程序。4、對成果進行整理、分析。

對第1和第4步的工作，也盡可能讓計算機執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動劃分網格，整理成果等。第63頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

關于單元的劃分，注意幾點：（8）結構具有凹槽或孔洞等應力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問題；（3）三角形三個內角最好較接近；（4）利用對稱性和反對稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題；第64頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級是，即與單元尺度的二次冪成正比。應力的誤差量級是，即與單元的大小成正比。

§6－9計算成果的整理第65頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

三結點三角形單元的應力的成果，不但應力的精度較低，而且還產生了所謂應力的波動性。

對于結點位移的成果，可以直接采用。第66頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

應力的波動性在三結點三角形單元中較為顯著。由于計算出的應力的精度較低。假設Ⅰ單元的應力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在結點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應力趨近于。這就產生了應力的波動性。

原因是，第67頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

為了提高應力的精度，解決應力波動性問題，可以采用兩種應力成果的整理方法：

一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區(qū)域范圍較小。

（1）兩相鄰單元平均法。

（2）繞結點平均法。第68頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

在受面力邊界線附近，求得的應力誤差較大。可采用向外插值的方法（例拋物線插值）來解決。

第69頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

為了提高應力的精度，可以采用兩種方法。是加密網格，減少單元的尺寸，以提高應力的精度。是可以采用較多結點的單元，并使

位移模式中包含一些高冪次的項，從而提

高位移和應力的精度。二一第70頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

書中應用三結點三角形單元，計算了下列例題：§6－10

計算實例1.楔形體受自重及齊頂水壓力。

2.簡支梁受均布荷載。

3.圓孔附近的應力集中。第71頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

在整理應力成果時，讀者應注意，應用三角形單元時，（1）采用兩單元平均法和繞結點平均法的應力成果比較接近，但前者的精度略好于后者。

（2）邊界面的應力，宜采用向外插值的方法求出。

第72頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

在FEM中，將連續(xù)體變換為離散化結構之后，有兩種導出FEM公式的主要方法：

§6－11應用變分原理導出

有限單元法基本方程第73頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（2）建立單元的位移模式，求出單元中的位移分布，1.按靜力方法導出FEM公式

（1）取結點位移為基本未知數；（3）由幾何方程求出單元的應變，（4）由物理方程求出單元的應力，按結構力學方法導出FEM公式第74頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（5）由虛功方程求出單元的結點力，（6）由虛功方程求出單元的結點荷載

，

（7）建立結點平衡方程組，

按結構力學方法導出FEM公式第75頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

（1）變分原理中的極小勢能原理是2.按變分方法導出FEM公式

保留上述（1）-（4）步驟，然后應用極小勢能原理導出FEM基本方程。按變分法導出FEM公式對于平面問題，第76頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

對于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數變分方程可表示為總勢能對的導數等于0，即

第77頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

變分宗量由變換成（2）將經典變分原理應用到離散化結構，則

總勢能、形變勢能和外力勢能，可以用單元的勢能之和來表示第78頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

其中為三角形單元的面積。應用前面記號,內力勢能為第79頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

其中為三角形單元的受面力邊界。引用前面記號

外力勢能為總勢能為

第80頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

故總勢能極小值條件變換為

（3）對于離散化結構，泛函數的宗量變換為則式(n)成為引用矩陣運算公式，第81頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

其中第82頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

代入式(o)，得出與結構力學方法導出的相同方程，

從物理意義上講，將連續(xù)體的經典變分原理(g)或(i)應用到離散化結構，成為式(p)。

第83頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

代入式(o)，得出與結構力學方法導出的相同方程，

從物理意義上講，將連續(xù)體的經典變分原理(g)或(i)應用到離散化結構，成為式(p)。

第84頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

第六章例題例題1例題2例題3例題4例題第85頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

例題1平面問題中采用的四結點矩陣單元，如圖所示。該單元的結點位移列陣是

第六章例題ba第86頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

采用的位移模式是

其中的系數,由四個結點處的位移值,應等于結點位移值的條件求出。

ab第87頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

讀者試檢查其收斂性條件是否滿足？并估計位移和應力的誤差量級。第六章例題第88頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

例題2平面問題中采用的六結點三角形單

元，如圖所示。

該單元的結點位移列陣為

其位移模式取為

第六章例題第89頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

可以相似地表示。然后由六個結點處的條件求出讀者試檢查其位移模式的收斂性，并估計其位移和應力的誤差量級。第90頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

在空間問題中，采用的最簡單的單元，是如圖所示的4結點四面體單元，

其位移模式是例題3第六章例題第91頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

試考慮如何求出其系數并檢查位移模式的收斂性條件,并估計其位移和應力的誤差量級。第92頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

例題4

圖（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，若取

試用有限單元法求解跨中的位移。第六章例題第93頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題

第六章例題第94頁，共109頁，2023年，2月20日，星期一第六章用有限單元法解平面問題