2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：6-4第四節(jié)　數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

第四節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用必備知識(shí)—基礎(chǔ)落實(shí)關(guān)鍵能力—考點(diǎn)突破微專題·最新考綱·1．掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．2．能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決與前n項(xiàng)和相關(guān)的問(wèn)題．·考向預(yù)測(cè)·考情分析：數(shù)列分組求和、錯(cuò)位相減求和、裂項(xiàng)相消求和仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是以解答題為主．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)非等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．必備知識(shí)—基礎(chǔ)落實(shí)

2．裂項(xiàng)相消法求和把數(shù)列的通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之差，使之在求和時(shí)產(chǎn)生前后相互抵消的項(xiàng)的求和方法．3．錯(cuò)位相減法求和(1)適用的數(shù)列：{anbn}，其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q≠1的等比數(shù)列．(2)方法：設(shè)Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，則qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)，(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就轉(zhuǎn)化為根據(jù)公式可求的和．4．倒序相加法求和如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)之和，可把正著寫與倒著寫的兩個(gè)式子相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，例如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．5．分組求和法求和若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化求和法，分別求和而后相加減．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.6．并項(xiàng)求和法求和把數(shù)列中的若干項(xiàng)結(jié)合到一起，形成一個(gè)新的可求和的數(shù)列，此時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)可能正、負(fù)相間出現(xiàn)或呈現(xiàn)周期性．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩個(gè)項(xiàng)合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.

√√×√

答案：B

3．[必修5·P61T4(1)改編]若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為_____________．2n＋1－2＋n2

(三)易錯(cuò)易混4．(不能準(zhǔn)確分組)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(2n－2)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________________．

答案：C

關(guān)鍵能力—考點(diǎn)突破考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法或并項(xiàng)法求和[綜合性][例1]

(1)[2022·湖北大冶六中月考]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，則S21＝(

)A．30

B．31C．－30

D．－31答案：(1)B解析：(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，所以S21＝1－4＋7－10＋…－58＋61＝1＋10×(－4＋7)＝31.故選B項(xiàng)．

答案：C

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·四川省成都市檢測(cè)]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a8＝1，S16＝24，數(shù)列{bn}是遞增的等比數(shù)列且b1＋b4＝9，b2b3＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)求(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1)．

2．[2022·江蘇省揚(yáng)州市高三模擬]已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足：a1＝b1＝2，且a2－1，a3，a6－1是等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)cn＝(－1)nlog2(anan＋1)＋log2bn，求數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和T10.

考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和[綜合性][例2]

[2022·湖南省永州市測(cè)試]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4，(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解析：(1)∵Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＝2(Sn－Sn－1)(n≥2)，∴an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝4＝2a1，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.(2)求數(shù)列{(2n－1)·an}的前n項(xiàng)和Tn.

反思感悟1．掌握解題“3步驟”2．注意解題“3關(guān)鍵”(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3．謹(jǐn)防解題“2失誤”(1)兩式相減時(shí)最后一項(xiàng)因?yàn)闆](méi)有對(duì)應(yīng)項(xiàng)而忘記變號(hào)．(2)對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊，錯(cuò)把中間的n－1項(xiàng)和當(dāng)作n項(xiàng)和.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】[2022·河南高三月考]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＋2＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解析：(2)由(1)知an＝2－2n－1，可得bn＝nan＝2n－n·2n－1，則

Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2×1－1×20)＋(2×2－2×21)＋(2×3－3×22)＋…＋(2n－n·2n－1)＝(2×1＋2×2＋2×3＋…＋2n)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＝n(n＋1)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1)．令t＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，則2t＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，所以－t＝1×20＋1×21＋1×22＋…＋1×2n－1－n×2n，所以t＝1－2n＋n×2n.所以Sn＝n2＋n－1＋2n－n×2n.

答案：C

答案：C

反思感悟在涉及函數(shù)與數(shù)列的綜合題時(shí)，不僅要正確審題深摳函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義，還要明確等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式的特征．

答案：A

反思感悟在涉及數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題時(shí)，一般采取化歸的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的問(wèn)題來(lái)解決，如基本不等式法、裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和等.角度3數(shù)列與數(shù)學(xué)文化[例7]

[2022·江蘇南通市高三月考]有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五兩，今三十日屠訖，問(wèn)共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問(wèn)一共屠了多少兩肉？”在這個(gè)問(wèn)題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為(

)A．35B．75C．155D．315答案：C

反思感悟解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問(wèn)題的關(guān)鍵：一是讀懂題意，即會(huì)“脫去”數(shù)學(xué)文化的背景，提取關(guān)鍵信息；二是構(gòu)造模型，即由題意構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型；三是“解?！?，即把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的相關(guān)信息，如求指定項(xiàng)、公差(或公比)、項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和等．

答案：A

2．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，則a1＋a2＋…＋a7＝(

)A．0B．7C．14D．21答案：D

答案：A

微專題25數(shù)列中的新定義問(wèn)題

[變式訓(xùn)練]

[2022·江西上高模擬]定義：若數(shù)列{