工程力學之動量原理

動量原理動量原理動量定理動量矩定理剛體基本運動形式動量和動量矩定理則是描述這兩種運動形式的動力學基本物理量。平動轉(zhuǎn)動

動量定理：闡述的是質(zhì)點系動量的變化與外力系沖量之間的關(guān)系，它的另一種重要形式——質(zhì)心運動定理則是用來描述質(zhì)點系質(zhì)心的運動與外力系主矢之間的關(guān)系。

動量矩定理：建立起質(zhì)點系對某點動量矩的變化與外力系對該點主矩之間的關(guān)系，用它可方便的研究質(zhì)點系中各質(zhì)點相對于空間固定點或質(zhì)心的運動。

※22.1動量※22.2沖量※22.3動量定理※22.4質(zhì)心運動定理例題1

第二十二章達朗伯原理※22.8剛體一般運動方程※22.6動量矩定理※22.5動量矩例題2例題3、4、5、

6、7、81質(zhì)點的動量:質(zhì)點的質(zhì)量與其速度的乘積，用表示，即22.1動量它用來表示質(zhì)點機械運動強弱的一種物理量，矢量，其方向與速度方向一致。當質(zhì)點之間存在力的相互作用時.動量可用來描述質(zhì)點之間機械運動的傳遞關(guān)系2質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系的動量:質(zhì)點系中各質(zhì)點的動量的矢量和將質(zhì)點系質(zhì)心的矢徑公式若質(zhì)點系中質(zhì)點相對于空間某一固定點o的矢徑為它的質(zhì)量為,速度為,則其動量為質(zhì)點系的動量等于想象地將質(zhì)點系的質(zhì)量都集中于質(zhì)心時質(zhì)心的動量。質(zhì)點系的動量是表示其質(zhì)心運動的一個特征量。表明兩邊對時間求一階導數(shù)可得將它代入得質(zhì)點系動量的簡潔表達式

由質(zhì)點系的動量定理的定義知，質(zhì)點系的動量符合疊加原理.因此，當一個質(zhì)點系由個剛體組成時，其動量可寫成式中分別為第個剛體的質(zhì)量和質(zhì)心的速度。

例22.1圖示各均質(zhì)物體重量為Q,物體尺寸與質(zhì)心速度或繞軸轉(zhuǎn)動的角速度如圖所示.試計算各物體對O點的動量矩.解:由于桿繞O軸轉(zhuǎn)動,根據(jù)轉(zhuǎn)動剛體對于轉(zhuǎn)軸的動量矩公式,有而L故2，由于圓盤繞O軸轉(zhuǎn)動,仿上可有而

所以

R３，由于圓盤繞O軸轉(zhuǎn)動,故有將之值代入(1)式中（１）則C4.由于圓盤繞瞬時中心O轉(zhuǎn)動,其對轉(zhuǎn)軸O之動量矩為根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理,得所以

（2）但因O軸瞬時中心,故

（3）RC將(3)式代入(2)中,得力的沖量:用來度量在一段時間內(nèi)的積累的效果通常定義為任意力在微小時間間隔內(nèi)的元沖量22.2沖量將定義為力在時間間隔內(nèi)的沖量，并用表示，力系的沖量：將作用于質(zhì)點上各力的沖量的矢量和定義為力系的沖量。即力系的沖量為交換求和與積分的順序，并將力系的主矢代入得表明力系的沖量等于力系的主矢在同一個時間間隔內(nèi)的沖量。由于內(nèi)力系和力偶系的主矢都為零，故這兩種力系的沖量也都為零。22.3動量定理1) 質(zhì)點的動量定理的微分形式：當質(zhì)點的質(zhì)量不變時，牛頓第二定律可寫為22.3.1動量定理它又可以寫為即質(zhì)點的動量的微分等于作用于其上的合力的元沖量，稱為質(zhì)點動量定理的微分形式。2)質(zhì)點的動量定理的積分形式：

將式在時間至積分并將代入可得即質(zhì)點在至時間間隔內(nèi)動量等于作用于其上的合力在同一時間間隔內(nèi)的沖量，稱為質(zhì)點動量定理的積分形式。22.3.2質(zhì)點系的動量定理1)質(zhì)點系動量定理的微分形式設(shè)作用于質(zhì)點系中質(zhì)點上質(zhì)點系的內(nèi)力和外力的合力分別為質(zhì)點系的動量的微分等于作用于其上的外力系的主矢的元沖量，稱為質(zhì)點系動量定理的微分形式表明根據(jù)將它們求矢量和，再交換求和與求微分的次序，并將式和代入得表明2）質(zhì)點系動量定理的積分形式將上式在時間至內(nèi)積分得質(zhì)點系在至時間間隔內(nèi)動量的改變量等于作用于其上的外力系的主矢在同一時間間隔內(nèi)的沖量，稱為質(zhì)點系動量定理的積分形式。PS盡管質(zhì)點畝系的內(nèi)力愛不會改變瓣質(zhì)點系的卡動量，但屈是它能夠長引起質(zhì)點估系內(nèi)各質(zhì)投點的動量巷的相互改節(jié)變.動能定剛理的表項達式都乒是矢量油式.它們可辨以向固腥連于慣謠性參考然系的直踢角坐標父軸投影楊,得到挽相應(yīng)的遙投影式領(lǐng).22.劉3.3帳質(zhì)點惰系的動挎能守恒沿定律若質(zhì)點南系的外撒力系的盼主矢蠢則釘由式饞可得，蓄質(zhì)點系歇的動量K=常矢睜量;若質(zhì)點系釘?shù)耐饬ο敌５闹魇冈诔幽骋粋€固誘連于慣性剛參考空間蔑的直角坐提標軸，如蘆軸上的禿投影刪,則由遙得握質(zhì)點系的菠動量在該扇軸上的投欠影=才常數(shù)這就稱車為質(zhì)點系新的動量循守恒定悲律。表明對于不變質(zhì)點系，則M=常數(shù)。此時上式兩邊同除得質(zhì)點系方的質(zhì)量紗與其質(zhì)隊心加速各度的乘鄉(xiāng)豐積等于翠作用與萌其上外徑力系的歐主矢，蔑稱為質(zhì)心的夫運動定幸理。22.挽4質(zhì)心職運動定剪理22.慌4.1塘質(zhì)心運魔動定理將質(zhì)點系的動量表達式代入質(zhì)點系的動量定理得微分形式質(zhì)點系的頂動量定理倘其實質(zhì)只憂能描述其幻玉質(zhì)心的運殃動，且與疤這樣的一蟻個質(zhì)點的尖運動相同持，該質(zhì)點祥的質(zhì)量等啞于質(zhì)點系幻玉的質(zhì)量，芹并受到一朗個大小和幸方向與該擋質(zhì)點系的見外力系的很主矢相同電的力的作業(yè)用。質(zhì)點系嬸質(zhì)心的獅這種運腰動不僅診與質(zhì)點綿系的內(nèi)姜力無關(guān)璃，而且吧與作用禾在其上守個外力慘的作用斃點位置咸也無關(guān)。注意式中分別為第i個剛體的質(zhì)量和其質(zhì)心的加速度。若一個質(zhì)點系由n個剛體組成，則由式或質(zhì)心矢徑公式知，其質(zhì)心運動定理可表示為設(shè)系統(tǒng)中各剛體的質(zhì)心在同一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的有限位移，則由上式及系統(tǒng)的質(zhì)心矢徑公式可得當質(zhì)點系由n個剛體組成時,若作用在其上的外力系主矢,且初始時,系統(tǒng)的質(zhì)心速度為零，則根據(jù)式知,系統(tǒng)的質(zhì)心相對于某固定點O的矢徑

=常矢量22.4亂.2質(zhì)心胳運動守恒選定律于是有易知系統(tǒng)由得質(zhì)心在陶該軸上的援坐標值若外力系的主矢在固連于慣性參考空間的直角坐標軸，如軸上的投影,且初始時系統(tǒng)得質(zhì)心速度在該軸上的投影等于零，則由式在該軸上的投影式=常數(shù)于是有這個結(jié)論襪就是質(zhì)心運動迅的守恒定遇律現(xiàn)假設(shè)各剛體對該軸得坐標值同時產(chǎn)生有限改變量，則由上式及系統(tǒng)的質(zhì)心坐標公式可得把質(zhì)點D典在某瞬時劃相對于空送間某一固意定點的矢綠徑與況其動量勞的叉透積定義為和該瞬時質(zhì)蝴點D的動狀量對點O坡的動量矩紫，記作22.5首動量矩22..招5.1悅質(zhì)點的動鋸量矩若在O點建立直角坐標系，則式中i,j,k,分別為軸正向的單位矢量為點D的坐標分別為沿軸的投影。與定義力對軸的矩類似，可定義動量對軸的矩，又稱為質(zhì)點對軸的動量矩，并且相應(yīng)的有以下結(jié)論：質(zhì)點對某一固定軸的動量矩等于質(zhì)點對該軸上任意一點A的動量矩在該軸上的投影。即式中為軸正向的單位矢量。質(zhì)點對點哄的動量矩肥式一個定旗位矢量而質(zhì)點假對軸的益動量矩歇是一個伐代數(shù)量注意22.5昏.2質(zhì)點薪系的動量醫(yī)矩1）質(zhì)點系螞對某個巡壽固定點稻、某固種定軸的題動量矩。設(shè)質(zhì)點齒系中質(zhì)宮點趴相對打于某一冬固定點倆O的矢案徑為選，動憤量為攀。蚊將質(zhì)點漏系中各中質(zhì)點對理固定點可o得動慢量矩的假矢量和夕定義為質(zhì)點系富對該點滋的動量閱矩。用表示臨，即與力系升對不同津兩點的漲主矩關(guān)廟系類似降，質(zhì)點慶對不同追的兩固虹定點O儲,A得剩動量矩紙的關(guān)系賠為將質(zhì)點徹系中各所質(zhì)點對布某一固功定軸著的拘動量矩狂的代數(shù)熟和為質(zhì)點系對翠該軸的動轉(zhuǎn)量矩用烤表豈示(式中為系統(tǒng)的動量)即:BAO

例22.2圖示無重細桿長為L,兩端各固連一個質(zhì)量為m的小球A和B,在桿的中點O受固定鉸支座約束;桿的角速度為,轉(zhuǎn)向為逆時針,求系統(tǒng)對O的動量矩.解:的大小為

的方向為垂直紙面向外2）質(zhì)點系默對動點殲的動量夢矩設(shè)在慣性參考系中有任意一動點A，其速度為現(xiàn)以A為原點建立平動直角坐標系設(shè)質(zhì)點系中質(zhì)點相對于A的矢徑為相對于平動直角坐標系的相對速度為將質(zhì)點系中各質(zhì)點的相對動量對動點A的矩的矢量和定義為質(zhì)點系對該點的相對動量矩，用表示，質(zhì)點的絕對速度為則由復合午運動的知陵識知，即將質(zhì)點樹系中各寇質(zhì)點的坡相對動資量對動扛點A的矩的矢鳳量和定竟義為質(zhì)點系對僵該點的相氧對動量矩用表示即將代入并由可得這就是質(zhì)涼點系對動淡點的絕對省動量矩的梁關(guān)系式當A取質(zhì)心時

質(zhì)點系裹質(zhì)心C鞏相對于授A的矢強徑公式質(zhì)點系對吐質(zhì)心的絕郵對動量矩鋒與相對動煉量矩相等22.欲5.3謙剛體的趟動量矩(1)平逆動剛體狂:平動剛臥體對任扶意固定槳點A的班動量矩蠢為將平澤動剛體遷的質(zhì)量惕全部集勺中在質(zhì)蓋心時對在A的動嫂量矩(2)定觀軸轉(zhuǎn)動剛角體:根據(jù)代入各相關(guān)式子所得,結(jié)果說明定軸轉(zhuǎn)動剛體對軸上任意一點的動量矩方向一般不沿轉(zhuǎn)軸(3)復一般平般面運動剪剛體:22.6俊動量矩歡定理22.叢6.1劑質(zhì)點呼的動量刷矩定理設(shè)質(zhì)量為最m的質(zhì)點滲D對固定彈點O的矢壤徑r,作用在曠其上的合地力為F,價將該質(zhì)點肢對O點的肥動量矩對相時間求一往階導數(shù)舟得因則由牛頓第二定律知故右端第二項為合力F對O點的矩.質(zhì)點對轟某一固鋤定點的被動量矩回對時間椒得一階景導數(shù)等轟于作用舉在其上允的合力慕對同一秘點的矩辱,稱為質(zhì)點的動報量矩定理.表明于是22.灣6.2蘋質(zhì)點系憶對固定鋒點的動爆量矩定拖理1)質(zhì)點鄰系對固定燈點的動量急矩定理由質(zhì)點的動量矩定理即知,質(zhì)點系中有表明對各質(zhì)條點求和晌,交換伍求和與徒求導的棄關(guān)系內(nèi)力成場對出現(xiàn)惜,它們撐對同一框點的動匹量矩的確矢量和極為零即得質(zhì)點系派對某一村固定點搏得動量款矩對時豎間的一晨階導數(shù)中等于作覆用在其門上外力少系對同擔一點的章主矩,取稱為質(zhì)點系對衫固定點得瓶動量矩定飽理.

例22.3圖示均質(zhì)圓輪A和B的質(zhì)量均為m,半徑都為r在輪A上作用一力偶矩為的主動力偶并通過不可伸長的,質(zhì)量可不計的柔繩帶動輪B在與水平段繩平行的水平地面上作純滾動,繩與輪之間無相對滑動.試求圓輪B中心的加速度及圓輪B與地面間的摩擦力.BA解：即需求加鞏速度，又和要求約束返反力的問題，受段力分析很遲關(guān)鍵，純紫滾動的摩戶擦力屬靜摩擦版力，其方花向依賴于露主動力，恐一般可先假定賭其指向。瓦動量矩定盒理經(jīng)常與鹿質(zhì)心運動定理稿聯(lián)合使用拐。若列寫頸的獨立動嫌力學方程個沈數(shù)比其分中未知議量個數(shù)料少，則勸一般可補充運霧動學關(guān)海系是方唉程封閉保。其具案體解題過程為：1，取圓小輪B為研庸究對象，其受力分救析如圖Nmg由質(zhì)心運嚴動定理，劉得到由對定點練A的動量聯(lián)矩定理由料知得到于是化為2，取手圓輪A鋼為研究陜對象,其受力分刺析如圖。Amg由對定點斥A的動量嘗矩定理3，以誼上方程溝含有5坑個未知叉量，補充以下恥兩個運動等學關(guān)系4，聯(lián)且立以上廉幾個方愛程，可繼以得PS2)質(zhì)點屋系對動點嘗的動量矩偵定理A的主矩外力系對動點A為移狡動點,圣C為剛荷體的質(zhì)述心這就是質(zhì)點系對殃動點的動講量矩定理渣的數(shù)學表繩達式.對于動點A,一般不成立.但是有三種例外.質(zhì)點系對滾其質(zhì)心的井動量矩對籠時間的一撲階導數(shù)等碧于作用于社其上外力皂系對質(zhì)心袋的主矩,類稱為質(zhì)點系相苦對于質(zhì)心生的動量矩衣定理.這說明(1)硬動點A夸就取質(zhì)棋點系的忍質(zhì)心,轟因變?yōu)?2)當時變?yōu)?/p>

此時=常矢量,即平動坐標系也是一個慣性參考系這說明(3)當動點A取為剛體的速度瞬心P的時候,將兩邊對時間求一階導數(shù),并將代入得得剛體對其經(jīng)速度瞬心比得動量矩離定理,其形式灰與剛體們對定點廁的動量讀矩定理聰相同.將代入注意(1)蔽若利用依動量矩轟定理來鬧建立系腹統(tǒng)的動六力學方殊程,一馳般是對誘定點或醫(yī)質(zhì)心來褲列寫動祝量矩方挪程,這提樣比較必方便.(2)在嶼動力學中燙,必須將膝剛體運動殼和它所受撓的力聯(lián)系歲起來.考半慮到質(zhì)心迅運動定理抓可將剛體菊的質(zhì)心運逐動與外力圾聯(lián)系起來撓,相對于漠質(zhì)心的動盞量矩定理欺又可將質(zhì)瓣心平動坐云標系的轉(zhuǎn)混動和外力甚系對質(zhì)心草的主矩聯(lián)排系起來.因此在低動力學電中,將殃一般平盲面運動財?shù)膭傮w幫的基點浴選在質(zhì)嘉心上是必方便的.剛體運動所受的力質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動外力質(zhì)心平動坐標系的轉(zhuǎn)動外力系對質(zhì)心的主矩相對于質(zhì)心的動量矩定理圖示例22.4圖示均質(zhì)細桿AB質(zhì)量為m,長為L,其B端面與光滑水平面接觸,初始時桿與前垂線的夾角為.試求桿無初速度釋放的瞬間,水平面對桿的約束反力.xyCBoA解:(1)顛對桿進宴行受力跪分析如旗圖(2)建立圖示直角坐標系用,且初始時,則,即質(zhì)心沿鉛垂線運動,于是

(1)對時間密求一階蒜導數(shù),將初瞬寄時,代裝入得(2)(3)由質(zhì)心溉運動定馬理(4)由對窯質(zhì)心的簽動量矩盆定理(5)聯(lián)立背(2)捉(3)耐(4)麥解得(4)(3)轉(zhuǎn)向如圖逗所示4.質(zhì)點系恰動量矩糟守恒定骨律作用于其上的外力系對O點的主矩為零,即,質(zhì)點系得動量矩守恒定律作用于其上的外力系對某一固定直角坐標系的坐標軸的矩為零,即,xyCBOA規(guī)定轉(zhuǎn)角順時針方向為正例22.5圓柱體的質(zhì)量是,在其中部繞以細繩,繩的一端固定不動.圓柱體解開繩子而下墜,其初速度為零.求當圓柱體的軸降落了高度時,這軸的速度和繩子的張力.解:

研究圓柱體.在當解開繩子它下落時,作平面運動.其上作用有繩子的張力和重力

AhB以圓柱體重心下落的起始位置為原點,選靜止坐標系如圖.由剛體平貝面運動微凳分方程,聚可有(1)(2)

因點為瞬負心,故將此值代入(1)式中,得所以

(3)將(3)式代入(2)中,則或

由此得到根據(jù)初始條件,當時

因之

所以(5)

再將(5)式進行積分,并考慮到將(6)式得入(5)中,即得圓柱體的軸下落時的速度為繩子的張筋力為有

故

(6)

2.這里考慮到圓柱體沿繩滾而不滑的運動條件，建立了補充方程

1.在解堆平面運動達問題時，嚇質(zhì)心加速希度的正向違與繞質(zhì)心蓮轉(zhuǎn)動的角蜜加速度的軍正向，必字須規(guī)定一聯(lián)致，否則渡出現(xiàn)正負神號上的麻稍煩。小結(jié)例22.6位于鉛垂平面的均質(zhì)桿AB和BD,長度均為L重量都是P.桿AB的A端預固定絞支座連接.B端與桿BD鉸連.桿BD的D端與可沿鉛垂滑槽滑動的滑塊D絞接.今用一細繩將B點拉住,使桿AB和BD位于同一直線上,該直線與水平面間的夾角為,系統(tǒng)保持平衡,如圖各處摩擦和滑塊D的質(zhì)量與大小略去不計。試求（1）剪斷繩子瞬時,滑槽相對于滑塊D的反力（2）桿AB運動至水平位置時,桿AB的角速度解1)求匆剪斷繩棄子后滑槽對棚滑塊D幸的反力設(shè)AB桿有瞬鐘向角加速度，BD桿有逆鐘向角加速度由于初瞬時兩桿角速度和均等于零，所以BD桿作平面運動，以B點為基點分析D點的加速度。其中DBA將上式分扯別沿DB宗和垂直于勝DB方向曾投影，可得求得即D點為該瞬時加速度瞬心所以BD桿質(zhì)心C的加速度ABDBDCP取BD倘為研究幼對象，受力如胳圖。B田D桿作平面運動個，根據(jù)平信面運動微帽分方程亞，有取AB捆為研究遮對象，漆受力如倍圖。A矛B桿作扇定軸轉(zhuǎn)動，應(yīng)盜用定軸轉(zhuǎn)厲動微分方乖程，有考慮到由以上撲幾式解蠻得剪斷役繩子瞬濕時時，匠AB桿繡和BD桿機的角加侍速度以莖及滑塊漫D處反柱力分別析為BAP2）求險桿AB剩運動至鞠水平位灘置時的濤角速度取整個系統(tǒng)為研究對象，利用動能定理求解。因為系統(tǒng)在初瞬時，AB桿與BD桿的角速度均為零，且BD桿的質(zhì)心速度也為零。而當AB桿運動到水平位置時，若設(shè)AB桿的角速度為，此時BD桿為瞬時平動。所以系統(tǒng)在這一過程的初動能和末動能為系統(tǒng)在上蟻述運動過父程中重力炎所作的功根據(jù)動能撿定理有解得桿A災B運動至休水平位置鏈時，桿A烘B角速度順鐘向CBAa

例22.7兩根均質(zhì)桿AD,BD質(zhì)量都是M,長度都為L用光滑的鉸鏈D連接并放在光滑水平面上，如圖所示。開始時，系統(tǒng)靜止于鉛直面內(nèi)，且桿對水平面的傾角是。求兩桿運動到與水平面成傾角時鉸銷D的速度和加速度，并求水平面的支反力。DAB解：系統(tǒng)由于質(zhì)量分布和受力對稱，以及所給的初始條件，將保留在原鉛直平面內(nèi)它的位置用角確定。取整個系損統(tǒng)為研究揉對象，受羅力如圖。應(yīng)用動能伸定理的積線分形式求括速度，用獸動量定理或質(zhì)心運蜻動定理求擋反力。yxDOAB(1)繩求速度累和加速度由于對稱溝，在系統(tǒng)的鉛垂平皇面內(nèi)取固定坐標系Oxy，在系統(tǒng)的運動過程中，，系統(tǒng)的初速度等于零，因此系統(tǒng)的質(zhì)心C在水平方向的位置守恒，即C將沿鉛垂線下降因而鉸谷銷D也修沿鉛垂越線下降背。同時蒼桿端A腫,B只能沿著x軸按反嶄方向分美開。所損以兩桿削在平面運動專中各自諸的速度附瞬心分牙別是E鑼、F.根據(jù)動能枕定理的積脖分形式其中初動能，系