塑性力學(xué)簡(jiǎn)單的彈塑性問題

第6章塑性力學(xué)簡(jiǎn)單的彈塑性問題ChinaUNIVERSITYofMining&Technology第六章簡(jiǎn)單的彈塑性問題§6.1彈塑性邊值問題的提法§6.2薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形§6.5柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)§6.6受內(nèi)壓的厚壁圓筒§6.7旋轉(zhuǎn)圓盤塑性力學(xué)§6.1彈塑性邊值問題的提法一、彈塑性全量理論邊值問題i)在V內(nèi)的平衡方程:ii)在V內(nèi)幾何關(guān)系（應(yīng)變-位移關(guān)系）:iii)在V內(nèi)全量本構(gòu)關(guān)系:(6-3)邊界Su上給定位移，要求應(yīng)力，應(yīng)變，位移，它們滿足設(shè)在物體V內(nèi)給定體力，在應(yīng)力邊界ST上給定面力Ti，在位移以下方程和邊條件：v)在上位移邊界條件：二、彈塑性增量理論的邊值問題i)在V內(nèi)的平衡方程其中是外法線的單位向量；由此可見，彈塑性邊值問題的全量理論提法同彈性邊值問題的提法基本相同，不同僅在于引入了非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（6-3）式。iv)在上的應(yīng)力邊界條件:ii)在V內(nèi)的幾何關(guān)系（應(yīng)變位移的增量關(guān)系）：iii)在V內(nèi)的增量本構(gòu)關(guān)系：彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-9）(a)對(duì)于理想塑性材料，屈服函數(shù)為，則彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-10）（b）對(duì)于等向強(qiáng)化材料，后繼屈服函數(shù)為，則iv）在ST

上的應(yīng)力邊界條件：v）在Su上的位移邊界條件：vi）彈塑性交界處的連接條件：如果交界面的法向?yàn)閚i，則在上有：(a)法向位移連續(xù)條件(b)應(yīng)力連續(xù)條件上標(biāo)（E）和（P）分別表示彈性區(qū)和塑性區(qū)?！?.2薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形考察薄壁圓筒承受拉力P

和扭矩T

聯(lián)合作用的彈塑性變形問題。采用圓柱坐標(biāo)，取z

軸與筒軸重合。設(shè)壁厚為h

，筒的內(nèi)外平均半徑為R

，則筒內(nèi)應(yīng)力為：其余應(yīng)力分量均為0。因此，不但應(yīng)力狀態(tài)是均勻的，而且每一種外載（拉、扭）只與一個(gè)應(yīng)力分量有關(guān)，調(diào)整P

和T

之間的比值，即可得到應(yīng)力分量間的不同比例。假設(shè)材料是不可壓縮的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下無量綱量：在彈性階段，無量綱化的Hooke定律給出(6-16)進(jìn)入塑性以后，Mises屈服條件：可化為：下面按增量理論和全量理論求解這個(gè)問題，比較兩種結(jié)果的異同。對(duì)理想彈塑性材料，增量本構(gòu)方程是Prandtl-Reuses關(guān)系，于是：無量綱化后得到：消去得：一、按增量理論求解(6-19)(6-20)由（6-18）式知故從（6-21）式中消去和，就有：同樣地，如果已知某時(shí)刻的初始狀態(tài)（應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)）及從該時(shí)刻起的變形路徑則積分（6-22）或（6-23）式就可得到關(guān)系或關(guān)系。保持常數(shù)的階段ab

上，設(shè)在a點(diǎn)有由于在ab上例如對(duì)于實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常采用的階梯變形路徑（圖6-1），考慮方程（6-22）變?yōu)椋簣D6-1積分并利用a點(diǎn)的已知條件，得出：類似地，對(duì)于階段bc

,二、按全量理論求解由于假設(shè)了材料不可壓，由（5-63）式化后得應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為將(6-26)式按(6-16)式無量綱在本問題中用分量寫出來就是：，故在圖6-2中，有三條不同的加載路徑從原點(diǎn)O到達(dá)點(diǎn)C在彈性范圍內(nèi)，，屈服條件（6-18）在應(yīng)變空間中寫出就是。可見圖中的陰影區(qū)域是彈性范圍。路徑①沿OBC。在B點(diǎn)有在BC段上有解出在C點(diǎn)類似地，對(duì)路徑②，即階梯變形路徑OAC可求得三、算例和比較（1）用增量理論求解OCABD①②③剛到達(dá)屈服，同時(shí)滿足由此得出在D點(diǎn)時(shí)的應(yīng)力為：不難證明沿

DC

段皆有，即應(yīng)力值不變，在C點(diǎn)也就仍為（2）用全量理論求解代入（6-27）式得出亦即C點(diǎn)的應(yīng)變i）由于加載路徑不同，雖然最終變形一樣，但最終應(yīng)力卻不同；ii）只有在比例加載的條件下，增量理論和全量理論的結(jié)果才一致。

由以上的結(jié)果可知：路徑③是比例加載路徑ODC，其上。在到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)觀察證實(shí)，在塑性狀態(tài)下仍可采取材料力學(xué)和彈性力學(xué)中關(guān)于扭轉(zhuǎn)的假定，即柱體在彈塑性自由扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下，截面只在自身平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以發(fā)生軸向自由翹曲。§6.5柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)考慮任意截面形狀的長(zhǎng)柱體，在扭轉(zhuǎn)力矩T作用下的自由扭轉(zhuǎn)問題。以表示柱體單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，則小變形時(shí)的位移分量為從小應(yīng)變下的Cauchy公式得出應(yīng)變?yōu)椋阂?、研究范圍和基本方?6-84)其中是截面的翹曲函數(shù)假定截面是單連通的，取柱體的軸線為

z

軸。此式與材料的本構(gòu)關(guān)系無關(guān)，不論是彈性還是塑性時(shí)都成立。在進(jìn)入塑性之后，恒有按照增量本構(gòu)關(guān)系，從剛進(jìn)入塑性開始，可以推知進(jìn)而在變形的一切階段均有(6-85)(6-86)在彈性時(shí)按Hooke定律求得：即在塑性階段不為零的應(yīng)力分量仍只有其中為合剪應(yīng)力?？梢姡谂まD(zhuǎn)時(shí)柱體各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)始終是純剪切，這是一個(gè)簡(jiǎn)單加載過程。且主應(yīng)力為：二、彈性扭轉(zhuǎn)和薄膜比擬或由（6-86）式得到的應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程同時(shí)，只有一個(gè)平衡方程從（6-85）式中消去翹曲函數(shù)，得協(xié)調(diào)方程因此，可以引進(jìn)彈性應(yīng)力函數(shù)，使有則平衡方程自動(dòng)滿足，而協(xié)調(diào)方程（6-90）化為在彈性力學(xué)中，研究了和Poisson方程（6-93）并導(dǎo)致以下結(jié)論)合剪應(yīng)力大小：iii）柱體截面的周界也是

=const曲線族之一，對(duì)單連通截面可令周界上iv）扭矩T與的關(guān)系可按St.Venant條件求得：ii）合剪應(yīng)力的方向沿=const曲線的切向，也就是與的梯度方向相垂直。其中A為柱體的一個(gè)截面。v）Prandtl薄膜比擬：將薄膜張于與柱體截面邊界形狀相同的邊框上，加均勻壓力，則與薄膜的高度成正比，的大小與薄膜的斜率成正比，扭矩T與薄膜曲面下的體積成正比。達(dá)到，就算達(dá)到了彈性極限狀態(tài)，相應(yīng)的截面上有一點(diǎn)的扭矩為彈性極限扭矩。以半徑為

a

的圓柱體為例，帶入方程（6-93）得于是在截面邊緣上最大令處導(dǎo)出在塑性階段，平衡方程（6-91）不變，并仍可由引入應(yīng)力函數(shù)來滿足，此時(shí)三、全塑性扭轉(zhuǎn)和沙堆比擬當(dāng)材料進(jìn)入塑性時(shí)，因此，按彈性考慮，只要這樣，只從平夜衡方程饅、屈服泡條件和簽應(yīng)力邊僻條件就購能夠求符出理想辯塑性體然內(nèi)的應(yīng)粱力分布。這種膽情況叫衛(wèi)做塑性力學(xué)塞中的靜定葵問題。則或即對(duì)于理想塑性材料，是常數(shù)，（6-99）式說明在截面上保持斜率不變。由此，Nada忘i提出下述沙堆比腦擬：將一個(gè)水平的底面做成截面的形狀，在其上堆放干沙，由于沙堆的靜止摩擦角為常數(shù)，則沙將形成一個(gè)斜率為常數(shù)的表面。因此，這表面可用來代表塑性應(yīng)力函數(shù)，只相差一個(gè)可由屈服應(yīng)力和沙堆摩擦角決定的比例因子。就是截排面的塑性極勵(lì)限扭矩。這時(shí)，我歷們不用（檔也不再有諸）應(yīng)力協(xié)調(diào)宵方程，而代盆之以屈服條刪件仍以半徑壺為a的圓柱體炮為例，它文處于全塑占性扭轉(zhuǎn)狀酒態(tài)時(shí)，，按（贈(zèng)6-1示00）倚式求出高度就應(yīng)為表面必然是一個(gè)圓錐，既然斜率是與（6叫-96秘）式相紀(jì)比可知為對(duì)圓柱琴體沙堆比練擬的思喝想，不卵僅可直瓜接應(yīng)用墓于實(shí)驗(yàn)討，也可揪用來指既導(dǎo)計(jì)算錢三角形擋、矩形汽、任意歲正多角粥形等規(guī)銜則截面套的柱體葵的塑性秧極限扭珠矩，因信為這只躍需計(jì)算市某些等貝斜“屋渡頂”下?lián)涞捏w積猜。剪應(yīng)力方向平行于邊界，大小為。同時(shí)我們也看到，一般來說，在截面內(nèi)部，沙堆會(huì)出現(xiàn)尖頂和棱線，在這些點(diǎn)和線的兩側(cè)剪應(yīng)力不連續(xù)。從沙堆比擬中看出，沙堆的梯度垂直于邊界，等線平行于邊界，每點(diǎn)的合它們是彈性區(qū)域闊收縮時(shí)的內(nèi)極限。當(dāng)彈除性區(qū)域移收縮時(shí)講，從不虛同方向勾擴(kuò)展過蛛來的兩蠢個(gè)塑性耗區(qū)域相巨遇，因燦此會(huì)造石成剪應(yīng)耗力間斷提。如果截面致邊界上有凸角（如三植角形截譜面和矩特形截面嫁的頂點(diǎn)絨），從釣彈性力饅學(xué)知道幣，在凸桂角處剪應(yīng)力等餅于零，因而盡貓管T增大床，這里始終處沒于彈性茄階段。所以，作為彈番性區(qū)域摔收縮極贊限的剪仔應(yīng)力間樂斷線必狐定通過項(xiàng)這樣的殺凸角。反之，熟如果截面泰邊界上有凹角，從彈性辯力學(xué)知道省，這里剪應(yīng)力局無限大，因而一開始非就進(jìn)入瓦塑性階刺段，棱托線就一勉定不經(jīng)奪過這里。四、彈掘塑性扭涂轉(zhuǎn)和薄羞膜-玻轟璃蓋比擾擬當(dāng)時(shí)，柱體的截面上會(huì)存在一部分彈性區(qū)、一部分塑性區(qū)，的模為常婆數(shù)）。因條此，提出變的數(shù)學(xué)問憶題如下：（這是由于應(yīng)力分量在上應(yīng)該連續(xù)）。的性質(zhì)（滿足Poisson方程）和的性質(zhì)（梯度其上應(yīng)力函數(shù)分別具有，在彈性區(qū)內(nèi)滿足方程（6-93），在塑性區(qū)內(nèi)滿足（6-99），尋求應(yīng)力函數(shù)，在彈塑性區(qū)域交界線在截面邊界上都要連續(xù)Nad卷ai指出，彈搶塑性交界糟線可以聯(lián)斧合應(yīng)用薄而膜比擬和適沙堆比擬菠來求解。在一塊水乏平平板上毛，挖一個(gè)展具有截面型形狀的孔室，復(fù)蓋以會(huì)薄膜。在婆薄膜的上精面，放上病一個(gè)按沙際堆比擬形貸狀作成的汪等傾玻璃喘蓋。a)如若橫壓力較小唱時(shí)，薄膜梳的變形不蔬受“屋蓋迷”的影響睛，這是彈性扭漏轉(zhuǎn)的情況魚。b)隨著罩壓力的增敬加，薄膜蛛逐漸貼到霸屋蓋上，烈貼附的區(qū)病域就是塑性區(qū)域。此時(shí)，退在貼附印區(qū)域以讓外的自溪由薄膜壟仍滿足Pois撇son方程，饅所以仍嚇是彈性眉區(qū)。由牢此可以堅(jiān)確定彈仙塑性交扭界線的例形狀。在圓截面情形，由于對(duì)稱性，可設(shè)的一個(gè)圓。在彈性闊區(qū)：有右圖顯齒示了矩為形截面料柱體在騙彈塑性星扭轉(zhuǎn)是隸線倡的變化煤，其中搶黃線以虎外是塑倦性區(qū)域達(dá)。從實(shí)姓驗(yàn)中可蔥以看出嶺，對(duì)一塘般截面膛的柱體齡，鋸線仰的變化膊是非常果復(fù)雜的于。在分沸析計(jì)算億時(shí)通常綿只能采獸用數(shù)值痕計(jì)算方添法一步荒一步地噴將帥近炮似求出帝。c)最后勸薄膜將全買部貼附在未玻璃蓋上館，彈性區(qū)父域退化葬為棱線違。在塑性區(qū)桂：由處的剪應(yīng)力連續(xù)，要求由此定出彈塑性交歸界線的半宗徑為則對(duì)有(6-供106)(6碑-10孔5)(6吳-10僵8)(6惱-10礦7)彈塑性殘邊界隨數(shù)扭矩變獄化的規(guī)剪律：或即彈塑性扭轉(zhuǎn)后的卸載也相當(dāng)于在反方向作用一個(gè)等值的彈性扭矩。仍以圓柱體扭轉(zhuǎn)為例，加載時(shí)的扭轉(zhuǎn)角可由（6-107）式求出為而卸載盛時(shí)的回四彈角是因此，革單位長(zhǎng)參度的殘世余扭轉(zhuǎn)糧角為也可寫出南回彈比與沖所加扭矩腐的關(guān)系為五、卸載、睜回彈和踐殘余應(yīng)渴力(6獻(xiàn)-10驅(qū)9)(6-清110)(6釋-11族1)(6績(jī)-11昏2)其中卸載后仁的殘余繁應(yīng)力分丟布可計(jì)添算出為循:其分布怕下圖所副示。(6-踢113想)T加載卸載殘余應(yīng)伶力該問題翻可簡(jiǎn)化肺為平面年應(yīng)變問私題，采腿用柱坐標(biāo)(r,宵θ,z岔),則：在軸對(duì)嗓稱條件伐下：應(yīng)力邊界條件為:而筒兩統(tǒng)端的端金面條件斜：§6.止6抵受內(nèi)壓旗的厚壁偷圓筒這里P是端面帥的軸向剩拉力。一、研究腦對(duì)象和基弄本方程考慮一掉個(gè)內(nèi)徑夕為a，外徑腦為b的長(zhǎng)圓柱腎厚壁筒在扒均勻內(nèi)壓p作用下坡的彈塑姨性變形謎。上式中u為徑向晚位移。幾何關(guān)系平衡方撞程在彈性吧范圍內(nèi)迫，本構(gòu)貴關(guān)系上Hoo凝ke定律:二、彈京性解(6-123)（6-1津19）至膜（6-1蝴23）式繳構(gòu)成厚壁乏筒的彈性扮問題，其罷解為：(6-124)其中現(xiàn)在討論在什么條件下是中間主應(yīng)力。由于可知若要是中間主應(yīng)力，以下條件應(yīng)成立：或即如果圓筒兩端是自由的，則；如果圓筒兩端是封閉的，則可見這兩種情況都符合（6-126）條件，能保證是中間主應(yīng)力。采用Tres樓ca屈服條件融。當(dāng)r=a時(shí)屈服：即屈服腔將首先襖發(fā)生在燒內(nèi)壁，縣此時(shí)(6-槽126滑)(6-恩125餓)相應(yīng)的內(nèi)壓即為厚壁筒的彈性極限壓力

b）當(dāng)彈創(chuàng)性無限空既間內(nèi)的圓酷柱形孔洞少受到內(nèi)壓牽作用時(shí)（名例如對(duì)于禮有壓隧洞門），其內(nèi)視表面開始膠屈服時(shí)的凳壓力值只與周圍欄的材料的廊性質(zhì)有關(guān)，而與孔另洞的半徑忌無關(guān)。說明：a)若在彈性范圍內(nèi)設(shè)計(jì),對(duì)給定的a值,要提高筒所能承受的內(nèi)壓,就必須增加壁厚,但pe的值不可能超過。在設(shè)計(jì)高壓圓筒（如炮管）時(shí)應(yīng)采取其他措施（如下面將要介紹的經(jīng)過局部塑性變形使之產(chǎn)生有利的殘余應(yīng)力，以及裝配有預(yù)應(yīng)力的套筒等）來加以增強(qiáng)。(6-保127摧)當(dāng)時(shí)，筒的內(nèi)壁首先屈服。當(dāng)時(shí)，塑性區(qū)便由r=a逐漸向外擴(kuò)張。設(shè)彈性區(qū)滔和塑性區(qū)朝的交界處r=c，下面分避別對(duì)彈最性區(qū)和術(shù)塑性進(jìn)陜行計(jì)算柏。（1）彈性區(qū)三、彈塑礎(chǔ)性解（理昆想塑性材羅料）得出應(yīng)力荒分布為(6-129)將內(nèi)層塑性區(qū)對(duì)外層彈性區(qū)的壓應(yīng)力看作作用于內(nèi)徑為c外徑為b的彈性圓筒上的內(nèi)壓力。利用彈性旅解的結(jié)果扔：在r=c處，材料剛達(dá)到屈服，對(duì)外層彈性筒來說，(6-127)中的應(yīng)為。(6-124)中的應(yīng)寫成進(jìn)而根滴據(jù)彈性豆區(qū)的本穩(wěn)構(gòu)方程怠求出（2）塑性區(qū)平衡方憐程為同時(shí)，仍假定為中間主應(yīng)力，采用Tresca屈服條件：將（6查-13炎2）代償入（6陰-13皂1）式員得積分一次，并利用邊界條件定常數(shù)，則(6-1穩(wěn)30)(6-1遍31)(6-1而32)可見塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力只與厚壁筒內(nèi)表面的邊界條件有關(guān)，而與彈性區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)無關(guān)。從而確定c與p的關(guān)系:（3）彈塑性額邊界的婆確定)應(yīng)滿足的連續(xù)條件，即根據(jù)彈塑性區(qū)交界處((6-1爛33)(6-類133驕)將（6跪-13蒸4）式耍代回（呈6-1繁33）捉式得出當(dāng)c=b時(shí)，塑厘性區(qū)擴(kuò)述展到整介個(gè)圓筒司，對(duì)應(yīng)熟的外載p為厚壁筒嘗的塑性極限眉?jí)毫?塑性極限壓力卻是無限的，即時(shí)在塑性極限狀態(tài)下，周向應(yīng)力的最大值發(fā)生在筒外壁，它恰等于(6-135)可見，彈性極限壓力是有限的，即時(shí)（4）塑性極福限狀態(tài)(5)塑性區(qū)內(nèi)的位移和應(yīng)力厚壁筒塑脖性區(qū)應(yīng)力該所在的屈饑服面是即這說明，在全部筒壁內(nèi)即必是彈性的，且為常數(shù)。在塑性區(qū)內(nèi)求和是靜定問題，但是要求和，就必須用到本構(gòu)關(guān)系。于是，相標(biāo)關(guān)連的流板動(dòng)法則給叔出范圍內(nèi)于是在下面用與Tresca屈服條件相關(guān)連的流動(dòng)法則來解和現(xiàn)在端面爐條件（6童-122能）可以寫輸成將（6-130）和（6-137）給出的和代入得到開口圓筒ii.務(wù)封閉篩圓筒，iii帖.無粱窮長(zhǎng)圓今筒，即徒平面應(yīng)屑變情形持，此式與彈墻性解完全鹿相同。這說明釀在完全遺卸去外俯載P和p時(shí)，軸消向殘余肅應(yīng)變必愚為零。于是于是于是之一。例如：，根據(jù)圓筒的端面條件，總可確定其中和（6-138）式中有三個(gè)參量：不難驗(yàn)證，當(dāng)確是中間主應(yīng)力。故有積分得出其中常數(shù)C1可由r=c處的位移連續(xù)條件定出為求位移時(shí)番利用體積柔變化的彈閉性公式計(jì)忌算比較方精便，即可見剛達(dá)凝到PS時(shí)，筒攻的變形否相對(duì)筒法本身的纖幾何尺即寸還是裁小的其中設(shè)厚壁筒內(nèi)壓力增加到后實(shí)行完全卸載，卸載應(yīng)力可按彈性解計(jì)算，即四、卸匹載和殘宵余應(yīng)力(6-141)例如，取則在筒慢內(nèi)壁(6-142)殘余應(yīng)力傭分布在上式中p*與c間的關(guān)耳系由（拒6-1島34）繡式確定巨，即上面計(jì)算殘余應(yīng)力的公式，只有在完全卸去載荷后，筒內(nèi)處處都不在相反方向發(fā)生塑性變形時(shí)才有效。下面來計(jì)算保證完全卸載后不出現(xiàn)反號(hào)塑料性變形條件下的最大內(nèi)壓為了不發(fā)生咸反向屈眠服，要求(6-均144棍)其最大值在內(nèi)壁處，等于于是，從（6-143）式得到(6-1捐43)可見，對(duì)一個(gè)反復(fù)受內(nèi)壓作用的圓筒來說，當(dāng)則完全卸載后不會(huì)在相反方向引起新的塑性變形。解出但卸載時(shí)殊會(huì)發(fā)生反茅向屈服，宵在反復(fù)加口載（如炮古筒反復(fù)承腸受發(fā)射炮靜彈時(shí)的高事壓）的條骨件下筒就父會(huì)發(fā)生塑鍬性循環(huán)（測(cè)低周疲勞躲）破壞。披因此，采誼用大于2.22的b/a值實(shí)際已意義不牙大。這時(shí)可以把工作內(nèi)壓p提高到之上而筒仍處于約束塑性狀態(tài)，另一方撲面，內(nèi)雪壓值又不能忘大于塑層料性極兔限壓力ps。令：——安定狀遇態(tài)假設(shè)材料不可壓，即變形前后體積不變的條件可寫成從而得出這說明脹，當(dāng)計(jì)示及幾何忘尺寸改座變時(shí)，選由理想膠塑性材兩料制成犯的厚壁廣筒承受李內(nèi)壓的盜塑性極盾限狀態(tài)井是不穩(wěn)鍋定的。五、幾何帥變形對(duì)承競(jìng)載能力的必影響當(dāng)筒壁很杏厚時(shí)，徑裕向位移可電能很大，丟以致不能壩忽略幾何疏尺寸的影董響。設(shè)變形后的內(nèi)、外半徑分別為，相應(yīng)的塑性極限壓力為可見在內(nèi)壓作用下，單調(diào)增長(zhǎng)時(shí)，是減小的。(6-駝146檔)§6.7總旋轉(zhuǎn)首圓盤——等迫厚度的快薄圓盤考慮轉(zhuǎn)盤從彈性狀態(tài)開始由于轉(zhuǎn)速增加而開始屈服的過程。轉(zhuǎn)盤的單位，其中為轉(zhuǎn)盤材料的質(zhì)量密度，為角速度，體積力（離心力）為r為微元的徑向坐標(biāo)；則平衡方程為我們?cè)诩蛇@里只勾討論理粱想彈塑植料性材孝料的旋休轉(zhuǎn)圓的悄解。一、研嶺究對(duì)象二、彈述性解由于圓盤很薄，在整個(gè)厚度上可取，因此可作為平面應(yīng)力問題。或設(shè)其半徑為b，厚度為h，并以均勻角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。引入應(yīng)力函數(shù)則應(yīng)力分量滿足從柱坐標(biāo)下的幾何關(guān)系中消去得變形含協(xié)調(diào)方雕程在彈性爺范圍內(nèi)豎，以Hoo善ke定律和趴（6-厲160扇）式代新入（6箱-16供1）式呼得到其解為(6-鴉160眠)(6-喘161侮)(6-們162紀(jì))(6-1聰63)代回（鍋6-1議60）趙式得出閘應(yīng)力為其中積分常數(shù)應(yīng)由具體問題的邊界條件確定。對(duì)于實(shí)心圓盤，因處應(yīng)力為有限值，故，另一常數(shù)由盤邊處決定。其