工程力學(xué)教學(xué)六

1.彈性桿件的變形與變形能計(jì)算2.變形體虛功原理3.單位荷載法4.圖乘法5.其他外因引起的位移計(jì)算6.互等定理7.結(jié)論與討論第三章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures1結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述

一、結(jié)構(gòu)的位移(DisplacementofStructures)AFP線位移，角位移，相對線位移、角位移等統(tǒng)稱廣義位移線位移角位移相對線位移CDFP相對角位移制造誤差等鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:

二、計(jì)算位移的目的引起結(jié)構(gòu)位移的原因(1)剛度要求如：荷載、溫度改變

T、支座移動c、在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。（3）理想聯(lián)結(jié)(IdealConstraint)。三、本章位移計(jì)算的假定

(2)超靜定、動力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),返首2變形體虛功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、實(shí)功(RealWork)和虛功(VirtualWork)兩種狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)FPFP/2FP/2（虛）力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）無關(guān)（虛）位移狀態(tài)q注意：（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件；力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。（1）屬同一體系；或兩狀態(tài)中的變形體系只要外形相同，而材料和截面尺寸可以不同。一些基本概念：實(shí)功：廣義力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功功：力×力方向位移之總和廣義力：功的表達(dá)式中，與廣義位移對應(yīng)的項(xiàng)功：廣義力×廣義位移之總和虛功：廣義力與廣義位移無關(guān)時(shí)所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21變力功（1）質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：二、變形桿件的虛功原理Σfiδri=0→→.對于任何可能的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動力所做虛功之和為零。也即（2）剛體系的虛功原理

去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：

對于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力(主動力)所做虛功之和為零。FP-FPΔP+FB

ΔB=0ΔPΔB原理的表述：任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移時(shí)所作的總虛功δWe，恒等于變形體所接受的總虛變形功δWi。也即恒有如下虛功方程成立δWe=δWi（3）變形體的虛功原理變形體虛功原理的證明外力總虛功=各部分外力總虛功的總和變形體虛功原理的證明虛位移是光滑、連續(xù)的，相鄰分割面虛位移相同。計(jì)算各部分外力總虛功有兩種方案方案一：外力區(qū)分，虛位移不區(qū)分各部分外力總虛功總和=外荷載總虛功δW

=δWe分割面內(nèi)力虛功相互抵消各部分上的外力區(qū)分為：外荷載和分割面內(nèi)力兩類，相鄰分割面內(nèi)力互為作用與反作用關(guān)系。虛位移區(qū)分虛位移區(qū)分變形體虛功原理的證明

變形體是平衡的，其各部分也必然平衡。因此，各部分上的外力是平衡力系。方案二：各部分外力不區(qū)分，虛位移區(qū)分δW

=δWi

根據(jù)剛體虛位移原理，外力在剛體虛位移上的總虛功等于零。因此各部分外力總虛功=外力在變形虛位移上的總虛功兩方案計(jì)算同一內(nèi)容，因此δWe=δWi各部分的虛位移區(qū)分為：剛體虛位移和變形虛位移兩類。但必須注意，虛位移是光滑連續(xù)的，可剛體和變形虛位移在分割面處一般是不光滑、連續(xù)的。需要強(qiáng)調(diào)的幾個(gè)問題

原理的證明表明，原理適用于任何力學(xué)行為(線性和非線性)的變形體，適用于任何結(jié)構(gòu)。虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。因此原理僅是必要性命題。

由于外力在變形虛位移上所作的功相對分割面內(nèi)力的虛變形功為高階小量，因此許多文獻(xiàn)上稱δWi為內(nèi)力總虛功。原理可有兩種應(yīng)用：實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將平衡問題化為幾何問題來求解。需要強(qiáng)調(diào)的幾個(gè)問題實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，將位移分析化為平衡問題來求解。第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱為“虛位移原理”，而將第二種應(yīng)用稱為“虛力原理”。更確切的說法為，兩種應(yīng)用的依據(jù)是上述兩原理的必要性命題。上述兩原理都是充分、必要性命題，它們和虛功原理是有區(qū)別的。質(zhì)點(diǎn)系是一個(gè)離散化體系，變形體是一個(gè)連續(xù)體。我們認(rèn)為，所謂將質(zhì)點(diǎn)系虛位移原理()“應(yīng)用于變形體”是不妥當(dāng)?shù)?。Σfiδri=0→→.當(dāng)變形體為桿件體系時(shí)，如：ABCDq(s)ijp(s)m(s)取任一單元δWe的計(jì)算:當(dāng)無結(jié)點(diǎn)荷載時(shí),δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds當(dāng)有結(jié)點(diǎn)荷載時(shí)δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)位移δWi的計(jì)算:微段拉伸微段剪切微段彎曲δWi=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds取微段,其受力如下對于直桿體系，由于變形互不耦連，所以變形可看成有如下幾部分微段受力微段扭轉(zhuǎn)桿系結(jié)構(gòu)虛功方程根據(jù)上述推證，可得桿系結(jié)構(gòu)虛功方程如下δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi以上結(jié)論與材料物理性質(zhì)及具體結(jié)構(gòu)無關(guān)，因此，虛功原理虛功方程既適用于一切線性結(jié)構(gòu)，也適用于一切非線性結(jié)構(gòu)。希望能很好理解，盡可能達(dá)到掌握！三、虛功原理的兩種應(yīng)用1）虛功原理用于虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與實(shí)際的平衡力狀態(tài)之間。例.求A端的支座反力(ReactionatSupport)。FPABaC(a)b解：去掉A端約束并代以反力X，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài)如圖(b)、(c)待分析平衡的力狀態(tài)X(b)FP由外力虛功總和為零，即：(c)直線虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)通常取單位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)慰對靜定依結(jié)構(gòu)，挖這里實(shí)狡際用的欲是剛體認(rèn)虛位移仗原理，孕實(shí)質(zhì)上放是實(shí)際受挖力狀態(tài)僅的平衡便方程，即幾點(diǎn)說祖明：(3)求瞞解時(shí)關(guān)鍵獲一步是找晴出虛位移露狀態(tài)的位戰(zhàn)移關(guān)系。(2)虛舊位移與實(shí)勁際力狀態(tài)紋無關(guān),故泊可設(shè)特點(diǎn):用幾何法騰來解靜力鵲平衡問題。例.氣求A端支座帆發(fā)生豎稍向位移c時(shí)引起C點(diǎn)的豎囑向位移.(a)ABaCbc2）虛藍(lán)功原理匠用于虛設(shè)的平衡力虜狀態(tài)與實(shí)際的協(xié)調(diào)位移翻狀態(tài)之間。解：首似先構(gòu)造床出相應(yīng)慎的虛設(shè)習(xí)力狀態(tài)凡。即，童在擬求嬌位移之重點(diǎn)（C點(diǎn)）沿盈擬求位霧移方向廁（豎向區(qū)）設(shè)置單位荷載。1ABC(b)由求得：虛功方飲程為：這便是單位荷窯載法(Dum濤my-U鄉(xiāng)豐nit婆Load撒Met擴(kuò)hod)它是M露axwe節(jié)ll,街1864伶和Moh物r,1干874提括出，故也浪稱為Ma掀xwel燙l-Mo低hrM手etho塞d幾點(diǎn)說厘明：(1)所駝建立的虛功方程,實(shí)質(zhì)享上是幾何方省程。(3)殲求解時(shí)達(dá)關(guān)鍵一永步是找撇出虛力淡狀態(tài)的蝦靜力平故衡關(guān)系龜。(2)沸虛設(shè)的為力狀態(tài)蕉與實(shí)際條位移狀朝態(tài)無關(guān)伶，故可福設(shè)單位濾廣義力P=1總的來講承，必須非俊常清楚的嚷是：單位位移法的虛功方程平衡方程特點(diǎn):是用靜間力平衡爐法來解雷幾何問茫題。單位荷載法的虛功方程幾何方程返回首頁3單舅位荷載鹿法一、位井移計(jì)算屯的一般旗公式(Ge溝ner日al款For霧mul蔥ao挑fD喚isp趙lac范eme唱nts黑)將虛功原持理用于實(shí)際協(xié)調(diào)晉位移和虛設(shè)平衡卸力狀態(tài)間已介紹故過——御單位荷擾載法。下面從偶虛功方膛程入手戚，討論崗桿系結(jié)躬構(gòu)位移恐計(jì)算的蔥一般公鏈?zhǔn)?。桿濫系結(jié)構(gòu)泳虛功方記程為δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫蓮[FNδε+薦FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi設(shè)待求的奏實(shí)際廣義位移為Δ設(shè)僅在廣搬義力P作用下，架與之平衡設(shè)的軸力、映剪力、扭巨矩和彎矩態(tài)分別為FN、FQ、Mx和M。實(shí)際位移狀態(tài)FPABC虛設(shè)的力狀態(tài)PABCFN、FQ、Mx和M，與Δ對應(yīng)的廣義力佛為P。又設(shè)與定內(nèi)力FN、FQ、Mx和M對應(yīng)的微鞋段實(shí)際變楚形分別為δε、δ趣γ、δφ和δθ。若結(jié)構(gòu)有超已知支座快位移為ci實(shí)際位移狀態(tài)FPABC虛設(shè)的力狀態(tài)PABCFN、

FQ、Mx和Mδε、免δγ、役δφ和δθFRc，與其對應(yīng)嗓的由廣義然力P引起的支烘座反力為FRi則桿系結(jié)母構(gòu)虛功方批程為δWe=ΣFRici+PΔ=Σ∫雄[FNδε+FQδγ+患Mxδφ+Mδθ]ds=δWi虛功方程等式兩邊同除廣義力P，并記單位廣義力(P/P=1)作用下，與之平衡的軸力、剪力、扭矩和彎矩分別為FN、

FQ、Mx和M。單位廣義力引起的，與已知位移對應(yīng)的反力為FRi。則桿系漆結(jié)構(gòu)虛材功方程富改寫為Δ=-ΣFRici+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds位移計(jì)兄算的一筒般公式一般公何式的普排遍性表硬現(xiàn)在：2.結(jié)構(gòu)類型爭：梁、剛描架、桁架濱、拱、組傻合結(jié)構(gòu)；靜定秤和超靜定炎結(jié)構(gòu)；1.位移原恐因：荷敬載、溫源度改變竭、支座須移動等獄；3.材料性鍛質(zhì)：線樣性、非康線性；4.變形類腔型：彎客曲變形郵、拉(薪壓)變筍形、剪純切變形、扭志轉(zhuǎn)變形；5.位移種綢類：線午位移、拉角位移姿