材料力學(xué)課件之壓桿穩(wěn)定

第12章壓桿穩(wěn)定12–1壓桿穩(wěn)定的概念一、工程背景工程中存在著許多受壓桿件。對(duì)于相對(duì)細(xì)長(zhǎng)的壓桿，其破壞并非由于強(qiáng)度不足，而是由于荷載（壓力）增大到一定數(shù)值后，不能保持原有直線平衡狀態(tài)而失效?；钊麠U在油缸中運(yùn)動(dòng)，使鏟臂上下移動(dòng)，當(dāng)活塞桿受力比較大或活塞桿比較細(xì)時(shí)，有可能使直線的平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形，從而不能實(shí)現(xiàn)上下動(dòng)作。一、工程背景自動(dòng)翻斗車中的活塞桿也有類似的問題。如圖示塔吊，立柱承受壓力，當(dāng)壓力過大時(shí)，立柱也有可能從直線的平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形。除此之外，組成塔吊的桁架中受壓力的桿子也可能從直線的平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形，也就是穩(wěn)定性問題。一、工程背景如圖自動(dòng)升降工作臺(tái)，

受壓的桿子就存在彈性穩(wěn)定問題。

如圖示緊湊型超高壓輸電線路相間絕緣間隔棒，當(dāng)它受壓從直線的平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形時(shí)是否一定喪失正常功能呢？這需要經(jīng)過實(shí)驗(yàn)確定，觀察在不同的力的作用下彎曲到什么程度。一、工程背景工程構(gòu)件穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)壓桿穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)?zāi)_手架，當(dāng)整體承受壓力過大時(shí)，有可能從直線的平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形，導(dǎo)致坍塌。另外，組成腳手架中的受壓桿件也有可能從直線平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形，造成整個(gè)腳手架坍塌。一、工程背景1907年8月29日，加拿大圣勞倫斯河上一座長(zhǎng)為548m的魁北克(Quebec)鋼大橋，在施工中因桁架失穩(wěn)而突然倒塌。74人墜河遇難，橋下1人（逃開），水中救起1人，河對(duì)岸1人。俄莫茲爾大橋在試車時(shí)桁架發(fā)生倒塌。美國華盛頓鎳克爾卜克爾劇院在一場(chǎng)暴風(fēng)雪中，屋蓋結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。一、壓桿的兩類力學(xué)模型1.小偏心壓桿與初彎曲壓桿2.軸心受壓直桿二、三種平衡狀態(tài)1.剛體平衡的穩(wěn)定性(1)穩(wěn)定平衡：系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。若對(duì)于離開平衡位置的微小位移，將出現(xiàn)使系統(tǒng)回復(fù)到原有平衡位置的恢復(fù)力，則稱系統(tǒng)原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。決定因素：就在于偏離平衡位置時(shí)，是否有恢復(fù)力。(2)不穩(wěn)定平衡：系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。若稍離平衡位置，將出現(xiàn)使系統(tǒng)不再回復(fù)到原有平衡位置(或進(jìn)一步偏離平衡位置)的傾覆力，則稱系統(tǒng)原有的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。(3)臨界平衡：系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，如有微小干擾，物體離開平衡位置，但除去干擾后，物體不能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)，而在新的位置保持平衡，則物體在原來的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡隨遇平衡(臨界平衡)2.彈性平衡的穩(wěn)定性(1)穩(wěn)定平衡：系統(tǒng)處于平衡形態(tài)。若對(duì)原有平衡形態(tài)有微小的位移，其彈性回復(fù)力(或力矩)使系統(tǒng)回復(fù)原有的平衡形態(tài)，則稱系統(tǒng)原有的平衡形態(tài)是穩(wěn)定的。如圖，當(dāng)2kxL>Px時(shí)，桿AB的鉛垂平衡形態(tài)是穩(wěn)定的。(2)不穩(wěn)定平衡:系統(tǒng)處于平衡形態(tài)。若有微小位移，其彈性回復(fù)力(或力矩)使系統(tǒng)不再回復(fù)原有的平衡形態(tài)，則稱系統(tǒng)原有的平衡形態(tài)是不穩(wěn)定的。如圖,2kxL<Px時(shí)，桿AB原有的鉛垂平衡形態(tài)是不穩(wěn)定的。3.彈性平衡穩(wěn)定性的特征(1)彈性平衡穩(wěn)定性是對(duì)于原來的平衡形態(tài)而言的。(2)彈性平衡的穩(wěn)定性取決桿件所受的壓力值穩(wěn)定平衡P＜2kL不穩(wěn)定平衡P＞2kL(3)彈性平衡的穩(wěn)定性與彈性元件的彈簧常數(shù)k和桿件的長(zhǎng)度L有關(guān)。(4)研究彈性平衡的穩(wěn)定性，需對(duì)結(jié)構(gòu)變形后的形態(tài)進(jìn)行分析。三、彈性平衡穩(wěn)定的計(jì)算方法1.小撓度理論：優(yōu)點(diǎn)是可以用較簡(jiǎn)單的方法得到基本正確的結(jié)論，曲率采用近似公式。2.大撓度理論：曲率采用精確公式。四、壓桿兩類彈性失穩(wěn)問題1.分支點(diǎn)失穩(wěn)——質(zhì)變失穩(wěn)(1)理想壓桿：材料絕對(duì)理想；軸線絕對(duì)直；壓力絕對(duì)沿軸線作用。(2)理想彈性壓桿的穩(wěn)定性直線平衡構(gòu)形d彎曲平衡構(gòu)形1)壓桿的兩種平衡構(gòu)形：FP<FPcr:

直線平衡構(gòu)形FP>FPcr:彎曲平衡構(gòu)形(在擾動(dòng)作用下)在擾動(dòng)作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，能夠恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。在擾動(dòng)作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。2)彈性壓桿是臨界的平衡FP=FPcr:壓桿可在直線位置平衡(當(dāng)它不受干擾時(shí))，又可在干擾給予的微彎曲線位置平衡，這種兩可性是彈性體系的臨界平衡的重要特點(diǎn)。(3)平衡路徑與平衡路徑分叉直線平衡構(gòu)形dFP<FPcr一種平衡路徑FP>FPcrd(4)分叉點(diǎn)失穩(wěn)d分叉點(diǎn)——兩條平衡路徑的交點(diǎn)B。分叉點(diǎn)失穩(wěn)——分叉點(diǎn)處原始平衡路徑與新的平衡路徑同時(shí)存在，出現(xiàn)平衡形式的二重性，這種失穩(wěn)形式稱為分叉點(diǎn)失穩(wěn)。臨界載荷——分叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)的載荷。用FPcr或Pcr表示。屈曲（Buckling)與失穩(wěn)由于壓桿的失穩(wěn)現(xiàn)象是在縱向力的作用下，使桿發(fā)生突然彎曲，所以這種彎曲也常稱為縱彎曲，這種喪失穩(wěn)定的現(xiàn)象，有時(shí)也稱屈曲。

2.極值點(diǎn)失穩(wěn)實(shí)際壓桿總是有缺隱的(殘余應(yīng)力、初彎曲、荷載有初偏心等等)。曲線GJK是有初撓度d0的實(shí)際壓桿的FP-d關(guān)系曲線。J點(diǎn)是極值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)荷載FPJ是極值荷載。當(dāng)FP=FPJ后,將出現(xiàn)JK段曲線所反映的實(shí)際壓桿的崩潰現(xiàn)象——在荷載值不斷降低的情況下桿件急劇彎曲，不再能維持其原來的縮短加彎曲的變形形式。這種現(xiàn)象叫做極值點(diǎn)失穩(wěn)。它總是小于臨界荷載。五、結(jié)論當(dāng)壓桿所受的軸向壓力達(dá)到臨界力Pcr的值時(shí)，該壓桿就處于臨界平衡狀態(tài)。在臨界平衡狀態(tài)下桿件可能在沒有受到外界干擾時(shí)還能處于原來的直線平衡狀態(tài)，也可能在受到微小干擾后保持微彎狀態(tài)下的平衡。但由于桿件總不可避免地要受到外界的干擾，而一經(jīng)干擾之后，即使還能保持微彎狀態(tài)下的平衡，但它已不能回復(fù)到它原來的直線平衡狀態(tài)，這時(shí)的壓桿實(shí)質(zhì)上是處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。因此，當(dāng)作用于壓桿的軸向壓力P=Pcr時(shí)，壓桿開始喪失穩(wěn)定。1.對(duì)于理想壓桿，穩(wěn)定性意味著壓桿維持其直線壓縮的變形形式的能力。由于壓桿的失穩(wěn)常常發(fā)生在桿內(nèi)的應(yīng)力還很低的時(shí)候，因此，隨著高強(qiáng)度鋼的廣泛采用，對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要部分。

2.對(duì)于實(shí)際壓桿（有缺陷的壓桿），穩(wěn)定性意味著它維持其縮短加彎曲的變形形式的能力。12-2細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式一、兩端鉸支壓桿的臨界力:vv1.公式推導(dǎo)假定壓力已達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)，如圖，從撓曲線入手，求臨界力。M(x)=FPcrv(x)代入撓曲線近似微分方程經(jīng)整理后得1.公式推導(dǎo)二階齊次線性微分方程的通解為v(0)=0,v(l)=0邊界條件1?C1+0?C2=0coskl?C1+sinkl?C2=0v(0)=0v(l)=010cosklsinkl=0零解表示未加干擾時(shí)桿可在直線位置平衡，但無助于求FPcr非零解條件sinkl=01.公式推導(dǎo)sinkl=0故但n=0時(shí)，F(xiàn)Pcr=0，無意義。因此，n的合理最小值是1，于是有最小臨界載荷——?dú)W拉公式歐拉公式的應(yīng)用條件：1.理想壓桿；2.線彈性范圍內(nèi)；3.兩端為球鉸支座。注：上式是由兩端為球鉸支座(各方向的約束條件相同)推出，因此I應(yīng)為截面的最小形心主慣性矩，即失穩(wěn)時(shí)，將在剛度最小的平面內(nèi)發(fā)生彎曲。2.兩端鉸支壓桿臨界平衡時(shí)的微彎撓曲線方程二、其他支承情況下，壓桿臨界力的歐拉公式當(dāng)桿端為其他約束情況時(shí)，細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力公式可以仿照兩端鉸支壓桿臨界力公式的推導(dǎo)方法，根據(jù)在不同的桿端約束情況下壓桿的撓曲線近似微分方程式和撓曲線的邊界條件來推導(dǎo)。一端固定、一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，桿的長(zhǎng)度為l，抗彎剛度為EI，承受軸向壓力P，如圖所示。試推導(dǎo)其臨界壓力。推導(dǎo)壓桿在臨界壓力作用下，將在微彎情況下保持平衡。由于固定端B產(chǎn)生反力偶MO，因此，簡(jiǎn)支端A必有反力H=MO/l。由撓曲線近似微分方程得通解推導(dǎo)邊界條件示：另，x=l,v=0,得爬穩(wěn)定方程桿在微張彎狀態(tài)勢(shì)下平衡隊(duì)時(shí)，H不可能等握于零，于腥是有推導(dǎo)最小非零蜓解kl=4.4孩9故討論拐淹點(diǎn)有x1=0.事3l；x2=l。推導(dǎo)x1=0.菜3l為撓曲鵲線的拐免點(diǎn)坐標(biāo)禮值，x2=l為上端效鉸支座政位置。誤拐點(diǎn)（灣反彎點(diǎn)竄）和鉸償支座處M=0?？梢?，銜該壓桿可瞧化為兩端駝球鉸支壓話桿，其相擺當(dāng)長(zhǎng)度為l0=0.回7l。綜上所述粗：可以利店用兩端鉸烤支細(xì)長(zhǎng)壓旬桿的臨界廣力公式，采用類比毯的方法，頭將微彎平旋衡撓曲線蟻上拐點(diǎn)視向?yàn)殂q，并剩將壓桿在紙撓曲線兩念拐點(diǎn)間的軌一段視為優(yōu)兩端鉸支今壓桿，得到其他暴桿端約束選情況下細(xì)秘長(zhǎng)壓桿的災(zāi)臨界力公糖式。撓曲線兩拐點(diǎn)間的一段桿長(zhǎng)稱為原壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度或計(jì)算長(zhǎng)度或自由長(zhǎng)度，并用表示，—長(zhǎng)度系數(shù)。壓桿臨界灶力歐拉公紡式的一般叮形式各種支昆承約束騰條件下閣等截面賴細(xì)長(zhǎng)壓巧桿臨界遮力的歐能拉公式0.5l支承情嶼況兩端鉸支一端固漿定另端芒鉸支兩端固定一端固此定另端控自由兩端固天定但可驢沿橫向獲相對(duì)移糊動(dòng)失穩(wěn)時(shí)撓誕曲線形狀PcrABl臨界力Pcr歐拉公納式長(zhǎng)度系煉數(shù)μμ=1μ0.7μ=0.5μ=2μ=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC—撓曲線父拐點(diǎn)C、D—撓曲線拐盤點(diǎn)0.5lPcrPcrl2llC—撓曲線唐拐點(diǎn)例12-貿(mào)3超過比律例極限廚時(shí)壓桿盜臨界應(yīng)燃力一、臨界啦應(yīng)力與柔密度1.臨界應(yīng)力：中心壓桿處于臨界狀態(tài)且仍在直軸線狀態(tài)下維持不穩(wěn)定平衡時(shí)，橫截面上的平均應(yīng)力。2.細(xì)展長(zhǎng)壓桿樂的臨界應(yīng)旋力——?dú)W拉臨界用應(yīng)力公式注：如果壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)，且各平面內(nèi)支承約束條件不同，則應(yīng)分別計(jì)算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的l，并按其大者來計(jì)算，因壓桿總是在柔度較大的平面內(nèi)失穩(wěn)。3.柔度：l綜合地反路映了壓桿礦的長(zhǎng)度(l)、支剖承方式騙(m)與截面困幾何性質(zhì)阿(i)對(duì)煤臨陸界應(yīng)攝力的影響話。二、歐節(jié)拉公式棍的適用鐵范圍歐拉公式李是根據(jù)撓蠶曲軸線微瓦分方程建水立的，而將該方程僅時(shí)適用于桿某內(nèi)應(yīng)力不尼超過比例聰極限sp的情況對(duì)，因此追，歐拉挪公式的鳳適用范貸圍為或二、歐彎拉公式并的適用赴范圍能用歐辯拉公式州的壓桿查柔度的好限界值辣。其值價(jià)僅與材蓄料的彈贈(zèng)性模量吹E及比角例極限sp有關(guān)，故lp之值僅隨良材料而異盛。因此，在使用歐拉公式前，須先判斷是否滿足。三、中胸小柔度挨桿的臨裳界應(yīng)力夾計(jì)算1.三類陽不同的壓嚇桿的穩(wěn)定鋤性細(xì)長(zhǎng)桿—發(fā)生彈廢性屈曲中長(zhǎng)桿—發(fā)生艱彈塑性農(nóng)屈曲粗短桿—不發(fā)生姓屈曲，而績(jī)發(fā)生屈服—強(qiáng)度鍛問題其中，2.中小蹄柔度桿的右臨界應(yīng)力駝?dòng)?jì)算的經(jīng)持驗(yàn)公式1）直紗線型經(jīng)麥驗(yàn)公式①

或P<<S

時(shí)：常數(shù)a、b與鑰材料的狠力學(xué)性賭能有關(guān)喜，與應(yīng)佩力的量破綱同。幾種常用里材料的a、b、lp與ls之值1）直線焦型經(jīng)驗(yàn)公棍式③臨界應(yīng)晨力總圖②S<時(shí)：bass-=sl

PPEspl2

=2）拋遣物線型擠經(jīng)驗(yàn)公糕式①P<<s時(shí)：②s<時(shí)：A3鋼，a=23濕5，b=0.0怪066816錳鋼貧，a=34眉3，b帥=0.醫(yī)014超2或因?qū)嶋H壓羽桿有缺陷景，lc>lp例12-慌5壟壓燭桿的穩(wěn)疊定計(jì)算對(duì)于實(shí)際唯壓桿（有誦殘余應(yīng)力編、初彎血曲和荷載躍偏心等宜缺陷）不征能用分叉潛點(diǎn)失穩(wěn)模固式，因?yàn)槌嗨婚_始請(qǐng)就有彎曲訪。也不能巴用佩里公倉式（二階焦強(qiáng)度問題物）即邊緣瞞纖維屈服醬的模式。毯因該模式懸沒有考慮博到殘余應(yīng)站力帶來的跳塑性區(qū)。椅因此對(duì)實(shí)幣際壓桿是平考慮的極換值點(diǎn)失穩(wěn)圍的模式。彈塑性鼠失穩(wěn)問貞題理論桶較為復(fù)澡雜，無猜法得到包統(tǒng)一的未臨界應(yīng)綢力公式罩或適用貫一切壓善桿的臨鹽界應(yīng)力兇總圖（當(dāng)柱子曲泊線）。夢(mèng)因此，棵采用各噴自的經(jīng)趟驗(yàn)公式胃。一、我國漂結(jié)構(gòu)鋼柱計(jì)子曲線我國鋼結(jié)妥構(gòu)規(guī)范組輩根據(jù)自己初算出的9從6根鋼柱子曲歐線，經(jīng)分析為研究，最盈后歸納為止圖示a、喘b和c三熱根曲線架。a曲線：跑主要用于鍛軋制工字目形截面的何強(qiáng)軸（弱犬軸用b曲概線）、熱繳軋圓管和槽方管；c曲線驢：用于樸焊接工喘字形截焰面的弱土軸、槽尊形的對(duì)壤稱主軸雹。b曲線：登除a、c扔曲線以外示的情況。二、壓桿矩的穩(wěn)定條烤件正常工篩作條件棒：為保證不壓桿具影有足夠湖的穩(wěn)定醉性，還緩須考慮商一定的晨安全儲(chǔ)口備。f——考慮一定弓塑性的材舊料抗壓強(qiáng)蔬度設(shè)計(jì)值社。n>1——撿安全系數(shù)對(duì)于給憂定材料卻，E，ss確定，l不同，j不同。中心壓桿的臨界應(yīng)力(極值點(diǎn)應(yīng)力)與屈服極限之比稱為壓桿的穩(wěn)定系數(shù)或折減系數(shù)。二、壓桿催的穩(wěn)定條扭件N——壓節(jié)桿所受軸伏向壓力設(shè)燦計(jì)值；A——富壓桿橫副截面的延毛截面壁積（不色計(jì)螺栓仔等孔洞槽對(duì)橫截捧面積的削弱帆影響）f——考慮一定虹塑性的材隨料抗壓強(qiáng)市度設(shè)計(jì)值繞。三、由壓桿的劈燕穩(wěn)定條樂件解決釣的三類尼基本問量題1.穩(wěn)定戶性校核2.確定隸容許荷載3.截嚼面設(shè)計(jì)12-6筍、提高壓橡桿穩(wěn)定性擇的措施壓桿的砍臨界荷谷載越大祖，壓桿災(zāi)越不容召易失穩(wěn)泄。臨界摸荷載取課決于壓梯桿的長(zhǎng)巡壽度、截歉面形狀比和尺寸有、桿端膊約束及盆材料的刃力學(xué)性糧質(zhì)等因謙素。一、選湊擇合理級(jí)的截面疾形狀1）壓桿泉兩端約束路在各個(gè)方近向均相同早時(shí)，最如Iy=Iz，則各個(gè)方向具丸有相同嶼的穩(wěn)定冤性。在宮截面面瓦積不變慈的前提繳下，應(yīng)盡可能增脾大I值，