13.統(tǒng)計概率與統(tǒng)計案例

（十三）統(tǒng)計概率與統(tǒng)計案例考綱要求?？贾R點能力要求命題規(guī)律理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念；理解二項分布；理解并能計算離散型隨機(jī)變量均值和方差；了解獨立性檢驗（只要求2x2列聯(lián)表）與回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用。分布列、均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、散點圖、相關(guān)系數(shù)；線性回歸方程；獨立性檢驗。通過閱讀理解、數(shù)學(xué)建模等考查考生數(shù)據(jù)處理與運算求解能力每年必考，主要以選擇題的形式考查，位于第3、4題，第10題的位置；解答題位于第18或19題的位置，多數(shù)屬于中檔題?！久}解讀】考向1：事件與概率（包括古典概型與幾何概型）分析定位：古典概型、幾何概型及其概率計算公式是概率計算的基礎(chǔ)，為此，要根據(jù)題意把概率模型抽象出來，重點是理解好“要完成一件怎樣的事”與“要發(fā)生的事件是什么”.例1（2016年全國Ⅱ卷第10題）從區(qū)間隨機(jī)抽取2n個數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成n個數(shù)對，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為（A）（B）（C）（D）分析：先審題，然后轉(zhuǎn)化成幾何概型的問題進(jìn)行解決.解：題意如右圖，邊長為的正方形中有個點，其中有個點落在半徑為的個圓中，則，所以，故選C.總結(jié)：究竟是考查古典概型還是幾何概型，需要考生從題意中把模型抽象出來.考向2：統(tǒng)計與概率（包括離散型隨機(jī)變量的分布列）分析定位：史寧中教授關(guān)于統(tǒng)計與概率的觀點如下：統(tǒng)計學(xué)與數(shù)學(xué)的差異研究起點：數(shù)學(xué)是基于定義與假設(shè)，統(tǒng)計是基于數(shù)據(jù)與模型；思維方法：數(shù)學(xué)是著重于演繹推理，統(tǒng)計是著重于歸納推理；結(jié)果判斷：數(shù)學(xué)主要是判斷對不對，統(tǒng)計主要是判斷好不好.統(tǒng)計學(xué)與概率的區(qū)別共性：都是研究隨機(jī)現(xiàn)象差異：概率是用數(shù)學(xué)的方法，統(tǒng)計是用數(shù)據(jù)分析的方法（為預(yù)測、決策提供依據(jù)）.所以，基于“數(shù)據(jù)與信息，構(gòu)建模型，進(jìn)而判斷好不好”是考查的基本方向.840更換的易損零件數(shù)911O10頻數(shù)20例2（2016年全國Ⅰ卷第19題）某公司計劃購買臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個840更換的易損零件數(shù)911O10頻數(shù)20以這臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（=2\*ROMANII）若要求，確定的最小值；（=3\*ROMANIII）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？分析：（1）數(shù)據(jù)與信息：本題中是指某種機(jī)器中有一易損零件，購進(jìn)機(jī)器時買一個是200元，購進(jìn)機(jī)器后買一個是500元，這就產(chǎn)生了一個問題是：究竟購進(jìn)機(jī)器時要買幾個這個零件更好？題中給出了100臺機(jī)器使用過程中更換零件的狀況，其題意如下：更換零件個數(shù)891011頻率0.4模型：本題是指購買2臺機(jī)器時，使用的過程中需更換的零件個數(shù)，由上表知，則的可能的取值為16，17，18，19，20，21，22，把上表的頻率當(dāng)概率，列得分布列如下：16171819202122（3）判斷：本題中有兩個，一是概率不小于0.5時，的最小值是多少？二是當(dāng)與（B）2007年我國治理二氧化碳排放顯現(xiàn)成效（C）2006年以來我國治理二氧化碳排放量呈減少趨勢（D）2006年以來我國治理二氧化碳排放量與年份正相關(guān)4.（2015年全國Ⅰ卷第4題）投籃測試中，每人投次，至少投中次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為（A）（B）（C）（D）5.（2016年全國Ⅰ卷第4題）某公司的班車在，，發(fā)車，小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過分鐘的概率是（A）EQ\F(1,3)錯誤!未指定書簽。（B）EQ\F(1,2)錯誤!未指定書簽。（C）EQ\F(2,3)錯誤!未指定書簽。（D）EQ\F(3,4)錯誤!未指定書簽。6.（2016年全國Ⅲ卷第4題）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為，B點表示四月的平均最低氣溫約為.下面敘述不正確的是（A）各月的平均最低氣溫都在以上（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同（D）平均最高氣溫高于的月份有5個7．（2010年全國卷第6題）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種粒，補種的種子數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（A）（B）（C）（D）8.（2007年海南寧廈卷第11題）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤砑椎某煽儹h(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有(Ａ) (Ｂ)(Ｃ) (Ｄ)9.（2010年全國卷第13題）設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且恒有,可以用隨機(jī)模擬方法近似計算積分,先產(chǎn)生兩組（每組個）區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù),…,和,…,,由此得到個點（，）（）,其中滿足（）的點數(shù)，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分的近似值為.10.（2012年全國卷第15題）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常相互獨立，那么該部件的使用壽命超元件1元件2元件3過小時的概率為元件1元件2元件311.（2017年全國Ⅲ卷第3題）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)12.（2017年全國Ⅱ卷第13題）一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則．13.（2009年全國卷第18題）某工廠有工人名,其中名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為類工人）,另外名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為類工人）,現(xiàn)用分層抽樣方法（按類、類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）.（Ⅰ）求甲、乙兩工人都被抽到的概率,其中甲為類工人,乙為類工人；w.w.w.k.s.（Ⅱ）從類工人中的抽查結(jié)果和從類工人中的抽插結(jié)果分別如下表1和表2.表1:生產(chǎn)能力分組人數(shù)4853表2:生產(chǎn)能力分組人數(shù)6y3618（i）先確定再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言,類工人中個體間的差異程度與類工人中個體間的差異程度哪個更?。浚ú挥糜嬎?可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（ii）分別估計類工人和類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù),并估計該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表..w.w.k.s.5.u.c.（B）組14.（2016年全國Ⅱ卷第10題）從區(qū)間隨機(jī)抽取2n個數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成n個數(shù)對，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為（A）（B）（C）（D）15.（2008年海南寧廈卷第16題）從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm），結(jié)果如下：甲品種：271273280285285287292294295301303303307 308310314319323325325328331334337352乙品種：284292295304306307312313315315316318318 320322322324327329331333336337343356由以上數(shù)據(jù)設(shè)計了如下莖葉圖：根據(jù)以上莖葉圖，對甲、乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論：①；②．16.（2012年全國卷第18題）某花店每天以每枝元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．（Ⅰ）若花店一天購進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式．（Ⅱ）花店記錄了天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量頻數(shù)以天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．（?。┤艋ǖ暌惶熨忂M(jìn)枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ⅱ）若花店計劃一天購進(jìn)枝或枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)枝還是枝？請說明理由．17.（2010年全國卷第19題）為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了位老人，結(jié)果如下：男女需要4030不需要160270（Ⅰ）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿提供幫助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查辦法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.（2014年全國Ⅱ卷第19題）某地區(qū)年至年農(nóng)村居民家庭純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號1234567人均純收入5.9（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析年至年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，.19.（2016年全國Ⅱ卷第18題）某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234概率0.3000.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．20.（2008年海南寧廈卷第19題）、兩個投資項目的利潤率分別為隨機(jī)變量和.根據(jù)市場分析，和的分布列分別為：5%10%2%8%12%0.50.3（Ⅰ）在、兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY1、DY2；（Ⅱ）將萬元投資項目，萬元投資項目，表示投資項目所得利潤的方差與投資項目所得利潤的方差的和，求的最小值，并指出為何值時，取到最小值.（注：）21.（2011年全國卷第19題）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為配方和配方）做試驗，各生產(chǎn)了件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗結(jié)果：配方的頻率分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)82042228配方的頻率分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)412423210（Ⅰ）分別估計用配方，配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（Ⅱ）已知用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值的關(guān)系式為從用配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）22.（2015年全國Ⅱ卷第18題）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A、B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可）；（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率．23.（2013年全國Ⅰ卷第19題）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取件作檢驗，這件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為.如果，再從這批產(chǎn)品中任取件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果，再從這批產(chǎn)品中任取件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗.假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立.(Ⅰ)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；（Ⅱ）已知每件產(chǎn)品檢驗費用為元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望.24.（2007年海南寧廈卷第20題）如圖，面積為的正方形中有一個不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，假設(shè)正方形的邊長為2，的面積為1，并向正方形中隨機(jī)投擲個點，以表示落入中的點的數(shù)目．（Ⅰ）求的均值；（Ⅱ）求用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率．附表：25.（2013年全國Ⅱ卷第19題）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出該產(chǎn)品獲利潤元，未售出的產(chǎn)品，每虧損元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如下圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了該農(nóng)產(chǎn)品.以（單位：，）表示市場需求量，（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.（Ⅰ）將表示為的函數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計利潤不少于元的概率；（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若，則取，且的概率等于需求量落入的頻率，求的數(shù)學(xué)期望．26.（2014年全國Ⅰ卷第18題）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(Ⅰ)求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.(i)利用該正態(tài)分布，求；（ⅱ）某用戶從該企業(yè)購買了件這種產(chǎn)品，記表示這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求.附：，若～，則，.27.（2016年全國Ⅲ卷第18題）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.︱︱︱︱︱︱︱︱︱︱︱︱︱︱1234567年生活垃圾無害化處理量y1.80—1.60—1.40—1.20—1.00—0.80—年份代碼t◆◆◆◆◆◆◆注：年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2008–2014.（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（Ⅱ）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù).回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：,.840更換的易損零件數(shù)911O10頻數(shù)2028.（2016年全國Ⅰ卷第19題）某公司計劃購買臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個840更換的易損零件數(shù)911O10頻數(shù)20以這臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（=2\*ROMANII）若要求，確定的最小值；（=3\*ROMANIII）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？29.（2015年全國Ⅰ卷第19題）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費(單位：千元)對年銷售量(單位：)和年利潤(單位：千元)的影響，對近年的年宣傳費和年銷售量()數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.46.65636.8289.81.61469108.8表中，.（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤與，的關(guān)系為，根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：（?。┊?dāng)年宣傳費=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值時多少？（ⅱ）當(dāng)年宣傳費為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.30.（2017年全國Ⅰ卷第19題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（Ⅰ）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸