2023屆浙江省東陽市東陽中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，若，則的值為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)f(x)=ex(3x-1)-ax+a（a<1），若有且僅有兩個(gè)整數(shù)xi(i=1，A．[-2e，1） B．[73e2，13．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．04．用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．5．七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，現(xiàn)從該正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A． B．C． D．6．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在區(qū)間上遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知，，，則（）．A． B． C． D．8．已知正三角形的邊長是，若是內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到三角形三邊的距離之和是定值.若把該結(jié)論推廣到空間，則有：在棱長都等于的正四面體中，若是正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到正四面體各面的距離之和等于（）A． B． C． D．9．經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于A． B． C． D．10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．11．下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是（）A． B． C． D．12．已知隨機(jī)變量，若，則，分別為（）A．和 B．和 C．和 D．和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________．14．命題“”的否定為____________________．15．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16．已知函數(shù)對任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是__________．①②③④三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新高考3+3最大的特點(diǎn)就是取消文理科，除語文、數(shù)學(xué)、外語之外，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6科中自由選擇三門科目作為選考科目．某研究機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生對全理（選擇物理、化學(xué)、生物）的選擇是否與性別有關(guān)，覺得從某學(xué)校高一年級的650名學(xué)生中隨機(jī)抽取男生，女生各25人進(jìn)行模擬選科．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，選擇全理的人數(shù)比不選全理的人數(shù)多10人．（1）請完成下面的2×2列聯(lián)表；選擇全理不選擇全理合計(jì)男生5女生合計(jì)（2）估計(jì)有多大把握認(rèn)為選擇全理與性別有關(guān)，并說明理由；（3）現(xiàn)從這50名學(xué)生中已經(jīng)選取了男生3名，女生2名進(jìn)行座談，從中抽取2名代表作問卷調(diào)查，求至少抽到一名女生的概率．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828附：，其中.18．（12分）已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.19．（12分）某市實(shí)施二手房新政一年多以來，為了了解新政對居民的影響，房屋管理部門調(diào)查了2018年6月至2019年6月期間購買二手房情況，首先隨機(jī)抽取了其中的400名購房者，并對其購房面積（單位：平方米，）講行了一次統(tǒng)計(jì)，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年6月至2019年6月期間當(dāng)月在售二手房的均價(jià)（單位：萬元/平方米），制成了如圖2所示的散點(diǎn)圖（圖中月份代碼1－13分別對應(yīng)2018年6月至2019年6月）（1）試估計(jì)該市市民的平均購房面積（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）從該市2018年6月至2019年6月期間所有購買二手房的市民中任取3人，用頻率估計(jì)概率，記這3人購房面積不低于100平方米的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)散點(diǎn)圖選擇和兩個(gè)模型講行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程，分別為和，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：0.0054590.0058860.006050請利用相關(guān)系數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測2019年8月份的二手房購房均價(jià)（精確到0.001）.參考數(shù)據(jù)：，，，，，參考公式：20．（12分）如圖所示是豎直平面內(nèi)的一個(gè)“通道游戲”，圖中豎直線段和斜線都表示通道，并且在交點(diǎn)處相遇．若有一條豎直線段的為第一層，第二條豎直線段的為第二層，以此類推，現(xiàn)有一顆小球從第一層的通道向下運(yùn)動，在通道的交叉處，小球可以落入左右兩個(gè)通道中的任意一個(gè)，記小球落入第層的第個(gè)豎直通道（從左向右計(jì)）的不同路徑數(shù)為．（1）求，，的值；（2）猜想的表達(dá)式（不必證明），并求不等式的解集．21．（12分）已知橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M為橢圓C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)N(6,0)且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2，求證:22．（10分）[選修4-5:不等式選講]已知函數(shù)=|x-a|+(a≠0)(1)若不等式-≤1恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;(2)當(dāng)a<時(shí),函數(shù)g(x)=+|2x-1|有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分析：由定積分的幾何意義求得定積分，在二項(xiàng)展開式中令可求解．詳解：由積分的幾何意義知，在中，，令，則，∴．故選B．點(diǎn)睛：本題考查定積分的幾何意義，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．在二項(xiàng)展開式中求與系數(shù)和有關(guān)的問題通常用賦值法．根據(jù)所求和式的結(jié)構(gòu)對變量賦予不同的值可得對應(yīng)的恒等式．如本題賦值，如果只求系數(shù)和，則賦值等等．2、D【解析】

設(shè)g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，對g（x）求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為存在2個(gè)整數(shù)xi使得g（xi）在直線h（x）=ax﹣a的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）＜0，g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，求得a的取值范圍．【詳解】設(shè)g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，則g′（x）=ex（3x+2），∴x∈（﹣∞，﹣23），g′（x）＜0，g（xx∈（﹣23，+∞），g′（x）＞0，g（x∴x=﹣23，取最小值-∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，直線h（x）=ax﹣a恒過定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a＜0，∴a＜2eg（﹣2）=﹣7e由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得：a≥73故答案為[73故選D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，涉及轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù)．3、B【解析】試題分析：集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.4、B【解析】分析：分析，時(shí)，左邊起始項(xiàng)與終止項(xiàng)，比較差距，得結(jié)果.詳解：時(shí)，左邊為,時(shí)，左邊為,所以左邊需添加的項(xiàng)是，選B.點(diǎn)睛：研究到項(xiàng)的變化，實(shí)質(zhì)是研究式子變化的規(guī)律，起始項(xiàng)與終止項(xiàng)是什么，中間項(xiàng)是如何變化的.5、A【解析】設(shè)，則.∴，∴所求的概率為故選A.6、B【解析】

由外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，可得要使函數(shù)在上遞減，需內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)的對稱軸大于等于1，且內(nèi)函數(shù)在上的最小值大于0，由此聯(lián)立不等式組求解．【詳解】解：令，其對稱軸方程為，外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，要使函數(shù)在上遞減，則，即：．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．對應(yīng)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．7、C【解析】試題分析：因?yàn)樗赃xC．考點(diǎn)：比較大小8、B【解析】

將正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和，計(jì)算得到答案.【詳解】棱長都等于的正四面體：每個(gè)面面積為：正四面體的高為：體積為：正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了體積的計(jì)算，將正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】

橢圓化標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得．【詳解】橢圓方程為，，取一個(gè)焦點(diǎn),則直線方程為，代入橢圓方程得，，所以，選C.【點(diǎn)睛】本題綜合考查直線與橢圓相交問題，及向量坐標(biāo)運(yùn)算，由于本題坐標(biāo)好求所以直接求坐標(biāo)，代入向量坐標(biāo)運(yùn)算．一般如果不好求坐標(biāo)點(diǎn)，都是用韋達(dá)定理設(shè)而不求．10、D【解析】

由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個(gè)底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個(gè)大圓與四棱柱的底面相切的半球，據(jù)此可以計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解：由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個(gè)底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個(gè)大圓與四棱柱的底面相切的半球.表面積.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

先分析的奇偶性以及在的單調(diào)性，然后再對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù),且在上為增函數(shù)，對于選項(xiàng),函數(shù)為偶函數(shù)，在上為増函數(shù)，符合要求；對于選項(xiàng),函數(shù)是偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；對于選項(xiàng),函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對于選項(xiàng),函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合要求；只有選項(xiàng)符合要求，故選.【點(diǎn)睛】奇偶函數(shù)的判斷：（滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的情況下）若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù).12、C【解析】

利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性質(zhì)可求出和的值.【詳解】，，.，，由期望和方差的性質(zhì)可得，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查均值和方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

令，令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究得出函數(shù)的單調(diào)性，從而分別求出的最小值和的最大值，從而求得的范圍，得到結(jié)果.【詳解】由令，則對恒成立，所以在上遞減，所以，令，則對恒成立，所以在上遞增，所以，所以，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點(diǎn)有構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，結(jié)合條件，求得結(jié)果，將題的條件轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.14、【解析】特稱命題的否定為全稱，所以“”的否定為“”.點(diǎn)睛：命題的否定和否命題要做好區(qū)別：（1）否命題是指將命題的條件和結(jié)論都否定，而且與原命題的真假無關(guān)；（2）否命題是只否結(jié)論，特別的全稱命題的否定為特稱，特稱命題的否定為全稱.15、【解析】

先由題意，得顯然不是方程的根；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，令，，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，確定函數(shù)的大致形狀，原方程有四個(gè)根，即等價(jià)于的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由得，令，，即，則，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)的極小值為；當(dāng)時(shí)，，則，由得；由得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)的極大值為.畫出函數(shù)的大致圖象如下：由圖象可得，只需.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的問題，熟記分段函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值等，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.16、①【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)。因，故，即，所以命題①正確；因，故，即，則命題②不正確；又因?yàn)?，則，即，則命題③不正確；又因?yàn)?，則，即，則命題④不正確。應(yīng)填答案①。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵和難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，這是解答本題的突破口和瓶頸。只要能構(gòu)造出函數(shù)的解析式為，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系就分別驗(yàn)證四個(gè)答案即可巧妙獲解。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2），理由見解析；（3）【解析】

（1）完善列聯(lián)表得到答案.（2）計(jì)算，對比數(shù)據(jù)得到答案.（3）先計(jì)算沒有女生的概率，再計(jì)算得到答案.【詳解】（1）選擇全理不選擇全理合計(jì)男生20525女生101525合計(jì)302050（2），故有的把握認(rèn)為選擇全理與性別有關(guān).（3）.【點(diǎn)睛】本題考查了列聯(lián)表，獨(dú)立性檢驗(yàn)，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，可得，從而得到答案；（Ⅱ）令函數(shù)，要證，即證，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可?！驹斀狻浚á瘢┯深}可得;，由于曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，得，即，解得：；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，要證明，即證：；令，求得；令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，從而。【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，屬于中檔題。19、（1）；（2）1.2；（3）模型的擬合效果更好，預(yù)測2019年8月份的二手房購房均價(jià)萬元/平方米.【解析】

（1）求解每一段的組中值與頻率的乘積，然后相加得出結(jié)果；（2）分析可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算以及期望計(jì)算公式來解答；（3）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的值來判斷選用哪一個(gè)模型，并進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測.【詳解】解：（1）.（2）每一位市民購房面積不低干100平方米的概率為，∴，∴，，，，，∴的分布列為01230.2160.4320.2880.064∴.（3）設(shè)模型和的相關(guān)系數(shù)分別為，則，，∴，∴模型的擬合效果更好，2019年8月份對應(yīng)的，∴萬元/平方米.【點(diǎn)睛】相關(guān)系數(shù)反映的是變量間相關(guān)程度的大?。寒?dāng)越接近，相關(guān)程度就越大，當(dāng)越接近，則相關(guān)程度越小.20、（1），，；（2），不等式的解集為.【解析】

（1）根據(jù)題意得出，，且可求出，，以及；（2）根據(jù)可得出，然后得出的表達(dá)式，從而得出不等式的解集.【詳解】（1）由題意可得，，且.，；（2）由可推得，不等式即為，，，，，.解不等式，可得的可能取值有、、、、、.所以，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查楊輝三角性質(zhì)的應(yīng)用，考查組合