2023屆浙江省衢州市五校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若，則（）A． B．1 C． D．22．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．3．若集合，，則有（）A． B． C． D．4．已知定義在上的連續(xù)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．5．“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知，且，由“若是等差數(shù)列，則”可以得到“若是等比數(shù)列，則”用的是（）A．歸納推理 B．演繹推理 C．類比推理 D．?dāng)?shù)學(xué)證明7．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍B．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍C．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向右平移個(gè)單位D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，再向右平移個(gè)單位8．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，以為概率的事件是()A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品9．若集合，則集合()A． B．C． D．10．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B．C． D．11．已知，則（）A．16 B．17 C．32 D．3312．在三棱錐中，平面，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量，且，則__________.14．長(zhǎng)方體內(nèi)接于球O，且，，則A、B兩點(diǎn)之間的球面距離為______．15．展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是_________．16．為強(qiáng)化安全意識(shí)，某校擬在周一至周五的五天中隨機(jī)選擇天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的天恰好為連續(xù)天的概率是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量,.(1)當(dāng)時(shí),求的值；(2)若，且.求的值.18．（12分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大整數(shù)值．19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）已知（其中且，是自然對(duì)數(shù)的底）.（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（3）若且關(guān)于的不等式在上恒成立，求證：.21．（12分）近年來(lái)，鄭州經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，躋身新一線城市行列，備受全國(guó)矚目．無(wú)論是市內(nèi)的井字形快速交通網(wǎng)，還是輻射全國(guó)的米字形高鐵路網(wǎng)，鄭州的交通優(yōu)勢(shì)在同級(jí)別的城市內(nèi)無(wú)能出其右．為了調(diào)查鄭州市民對(duì)出行的滿意程度，研究人員隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查，并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布直方圖，其中．（1）求的值；（2）若按照分層抽樣從[50，60)，[60，70)中隨機(jī)抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的分?jǐn)?shù)在[50，60)的概率．22．（10分）已知矩陣.（1）求直線在對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的曲線方程；（2）求矩陣的特征值與特征向量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出A的坐標(biāo)，然后求出AF的方程求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到結(jié)論．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為，設(shè)A（x，y），則，故x=4，此時(shí)y=4，即A（4，4），則直線AF的方程為，即，代入得，解得x=4（舍）或，則，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)拋物線的定義是解決本題的關(guān)鍵．一般和拋物線有關(guān)的小題，可以應(yīng)用結(jié)論來(lái)處理；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化。2、C【解析】

對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到標(biāo)準(zhǔn)形式，在根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的公式，得到【詳解】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)所以【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于簡(jiǎn)單題.3、B【解析】分析：先分別求出集合M和N，由此能求出M和N的關(guān)系.詳解：，，故.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)集合的包含關(guān)系的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、一元二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)時(shí)可得：；令可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；利用奇偶性的定義可證得為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減；將已知不等式變?yōu)?，根?jù)單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系，解不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增為奇函數(shù)為偶函數(shù)則在上單調(diào)遞減等價(jià)于可得：，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，并且根據(jù)奇偶性的定義得到所構(gòu)造函數(shù)的奇偶性，從而將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的比較.5、B【解析】

解得方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的m的范圍即可解答.【詳解】表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線?,解得1<m<5,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程，是基礎(chǔ)題，易錯(cuò)點(diǎn)是不注意6、C【解析】分析：根據(jù)類比推理的定義，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，可得結(jié)論.詳解：根據(jù)類比推理的定義，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列類比到等比數(shù)列的類比推理，類比推理一般步驟：①找出等差數(shù)列、等比數(shù)列之間的相似性或者一致性．②用等差數(shù)列的性質(zhì)去推測(cè)物等比數(shù)列的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．7、A【解析】分析：先將三角函數(shù)化為同名函數(shù)然后根據(jù)三角函數(shù)伸縮規(guī)則即可.詳解：由題可得：，故只需橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍即可得，故選A.點(diǎn)睛：考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，伸縮變換，對(duì)公式的正確運(yùn)用是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.8、C【解析】

將件一等品編號(hào)為，件二等品的編號(hào)為，列舉出從中任取件的所有基本事件的總數(shù)，分別計(jì)算選項(xiàng)的概率，即可得到答案．【詳解】將3件一等品編號(hào)為1,2,3,2件二等品編號(hào)為4,5，從中任取2件有10種取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率為P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率為P2＝，其對(duì)立事件是“至多有一件一等品”，概率為P3＝1－P2＝1－＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中明確古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的計(jì)算公式，合理作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】試題分析：解：所以選D．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．10、D【解析】分析：函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立詳解：由在R上單調(diào)遞增可得在R上恒成立在R上恒成立解得綜上所述,答案選擇:D點(diǎn)晴：導(dǎo)數(shù)中的在給定區(qū)間單調(diào)遞增，即導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)≥0恒成立，在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，即導(dǎo)函數(shù)≤0恒成立。11、B【解析】

令，求出系數(shù)和，再令，可求得奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和，令，求出即可求解.【詳解】令，得，令，得，所以，令，得，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法求多項(xiàng)式展開式的系數(shù)和，考查了學(xué)生的靈活解題的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

先求出的外接圓的半徑，然后取的外接圓的圓心，過(guò)作，且，由于平面，故點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，為外接球半徑，求解即可.【詳解】在中，，，可得，則的外接圓的半徑，取的外接圓的圓心，過(guò)作，且，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則，即外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球表面積的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由條件求得，可得正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．求得的值，根據(jù)對(duì)稱性，即可求得答案.【詳解】隨機(jī)變量，且，可得，正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

利用長(zhǎng)方體外接球直徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)求得外接球半徑，及所對(duì)球心角，利用弧長(zhǎng)公式求出答案．【詳解】由，，得，長(zhǎng)方體外接球的半徑為正三角形，，兩點(diǎn)間的球面距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題，以及求兩點(diǎn)球面距離，屬于簡(jiǎn)單題．15、【解析】

根據(jù)題意，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，得到第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出第4項(xiàng)即可.【詳解】在的展開式中，由二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)可得：展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因此，該項(xiàng)為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】試題分析：考查古典概型的計(jì)算公式及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.從個(gè)元素中選個(gè)的所有可能有種，其中連續(xù)有共種，故由古典概型的計(jì)算公式可知恰好為連續(xù)天的概率是.考點(diǎn)：古典概型的計(jì)算公式及運(yùn)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】分析：(1)直接帶入即可(2)利用向量數(shù)量積打開后再利用二倍角公式變形化同名詳解：(1)當(dāng)時(shí)，，，所以.(2)，若.則，即.因?yàn)?，所以，所以，所?點(diǎn)睛：三角函數(shù)跟向量的綜合是高考當(dāng)中的熱點(diǎn)問(wèn)題，常常需要利用二倍角公式的逆用對(duì)得到的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終化簡(jiǎn)為的形式.18、(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)2.【解析】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，分類討論，確定和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時(shí)，條件下求參數(shù)問(wèn)題.由（1）可知：①當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，且，即成立；②時(shí)，即，分析情況同①；③時(shí)，即，，構(gòu)造關(guān)于的新函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)位置，而；綜上得的最大整數(shù)值為.詳解：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意.由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若，即，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意.若，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.即令，，在上單調(diào)遞減，又，，在上存在唯一零點(diǎn)，綜上所述，的取值范圍為，故的最大整數(shù)值為.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析含參函數(shù)單調(diào)性，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求恒成立問(wèn)題的參數(shù)，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，是一道綜合題.導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的含參函數(shù)的單調(diào)性分類討論步驟：（1）求定義域.（2）討論導(dǎo)數(shù)的最高項(xiàng)系數(shù)，若最高項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)則需分等于零和不等于零進(jìn)行討論；若最高項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)則此步略.（3），再結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)單調(diào)性;（4），即有兩個(gè)零點(diǎn)和，討論兩個(gè)零點(diǎn)的大小及其與函數(shù)定義域的關(guān)系，再結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)分解出各單調(diào)區(qū)間，明確單調(diào)性.（5）將分類討論的情況進(jìn)行總結(jié).19、(1)見證明；(2)【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD．推導(dǎo)出AB⊥PD，AB⊥CD，從而AB⊥平面PCD，由此能證明AB⊥PC．（2）作PO⊥CD交CD于O，作PE⊥BC，連結(jié)OE．推導(dǎo)出PO⊥AB，從而PO⊥平面ABC，由三垂線定理得OE⊥BC，從而∠PEO是所求二面角P﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)椋?，所以，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）作交于，又由PO⊥AB，所以PO⊥平面ABC，作，連結(jié)，根據(jù)三垂線定理，可得，所以是所求二面角的平面角，求得，，在直角中，則，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20、（1）;（2）當(dāng)或時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)，最小值為;（3）見解析.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，再寫出切點(diǎn)坐標(biāo)，就可以寫出切線方程．（2）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得單調(diào)性時(shí)需要分類討論,,，再求最值．（3）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，，求出，再令設(shè)，，求最大值小于，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：（1），時(shí)，，，，，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．綜上所述：當(dāng)或時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為.（3）證明：由題意知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，設(shè)，，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，，存在使得，即，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，設(shè)，，，在恒成立，在上單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，，．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了最值問(wèn)題，考查了不等式恒成立問(wèn)題.若要證明，一般地，只需說(shuō)明即可；若要證明恒成立，一般只需說(shuō)明即可，即將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.21、（1）；（2）.【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖的特點(diǎn):可列的式子：，求得，根據(jù)圖，可知a＝4b，繼而求得a,b，先利用分層抽樣得方法，確定[50，60)，[60，70)中分別抽取的人數(shù)，然后利用古典概型，求得概率【詳解】（1）依題意得，所以，又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.1．（2）依題意，知分?jǐn)?shù)在[50，60）的市民抽取了2人，記為a，b，分?jǐn)?shù)在[60，70）的市民抽取了6人，記為1，2，3，4，