華師大版九年級下第27章圓2圓的認識2圓的對稱性微課

《圓的對稱性》同步練習一、選擇題1.如圖，⊙O的弦AB＝8，半徑ON交AB于點M，M是AB的中點，且OM＝3，則MN的長為（） 2.如圖，圓O半徑為10cm，弓形高為4cm，則弓形的弦AB的長為（） 3.如圖，A，B在半徑為的⊙O上，將沿著弦AB翻折，若∠AOB＝150°，則圖中月牙（陰影）的面積等于（）A.π﹣3 B.π+3 π﹣3 D.π4.如圖，已知圓O的半徑為10，AB⊥CD，垂足為P，且AB＝CD＝16，則OP的長為（） B. D.5.如圖所示，在⊙O中，半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC，若AB＝8，CD＝2，則EC的長度為（） 二、填空題6.點A、C為半徑是4的圓周上兩點，點B為弧AC的中點，以線段BA、BC為鄰邊作菱形ABCD，頂點D恰在該圓半徑的中點上，則該菱形的邊長為。7.如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為4，弦AB的長為3，過O作OC⊥AB于點C，則OC的長度是；⊙O內(nèi)一點D的坐標為（﹣2，1），當弦AB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)時，點D到AB的距離的最小值是。8.位于黃巖西城的五洞橋橋上老街目前正在修復，如圖①是其中一處中式圓形門，圖②是它的平面示意圖，已知AB過圓心O，且垂直CD于點B，測得門洞高度AB為米，門洞下沿CD寬為米，則該圓形門洞的半徑為。9.如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點O作OF⊥BC于F，若BD＝8，AO＝5，則OF的長度是。10.′如圖，在平面直角坐標系xOy中，扇形OAB的圓心角∠AOB＝60°，點A在x軸正半軸上且OA＝2，帶你C為弧AB的中點，D為半徑OA上一點，點A關于直線CD的對稱點為E，若點E落在扇形OAB內(nèi)（不含邊界），則點E的橫坐標x取值范圍為。三、解答題11.如圖，OD是⊙O的半徑，AB是弦，且OD⊥AB于點C連接AO并延長交⊙O于點E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半徑OA的長。12.如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點，＝，DH⊥AB于點H，AC分別交BD、DH于E、F。（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH。（2）求證：DF＝EF13.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，OC＝4，AC＝4。（1）求點O到AC的距離；（2）求∠ADC的度數(shù)。14.如圖，Rt△OAB中，∠OAB＝Rt∠，以OA為半徑的⊙O交BO于點C，交BO延長線于點D。在⊙O上取一點E，且＝，延長DE與BA交于點F。（1）求證：△BDF是直角三角形；（2）連接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的長。15.問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝AB+BD。下面是運用“截長法”證明CD＝AB+BD的部分證明過程。證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG?！進是的中點，∴MA＝MC……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實踐應用：（1）如圖3，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中點，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為。（2）如圖4，已知等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，D為AB上一點，連接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于點E，△BDC的周長為4+2，BC＝2，請求出AC的長。

參考答案一、選擇題1.【分析】連接OA，由M為圓O中弦AB的中點，利用垂徑定理的逆定理得到OM垂直于AB，由AB的長求出AM的長，在直角三角形OAM中，由AM與OM的長，利用勾股定理求出OA的長，即為圓O的半徑?！窘獯稹拷猓哼B接OA，∵在圓O中，M為AB的中點，AB＝8，∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，根據(jù)勾股定理得：OA＝＝5?！郙N＝5﹣3＝2故選：A?！军c評】此題考查了垂徑定理的逆定理，以及勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關鍵。2.【分析】首先構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的長，進而根據(jù)垂徑定理得出答案?！窘獯稹拷猓喝鐖D，過O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝4cm，OD＝10cm，∴OC＝6cm，又∵OB＝10cm，∴Rt△BCO中，BC＝＝8cm，∴AB＝2BC＝16cm。故選：C。【點評】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，得出AC的長是解題關鍵。3.【分析】根據(jù)S陰＝S圓O﹣2?S弓形AmB計算即可?！窘獯稹拷猓喝鐖D，作BD⊥AO交AO于點D?！逴A＝OB，∠AOB＝150°，∴∠DOB＝30°，∵OB＝，∴BD＝OB＝，S陰＝S圓O﹣2?S弓形AmB＝π?（）2﹣2（﹣××）＝6π﹣5π+3＝π+3，故選：B?！军c評】本題考查圓心角，弧，弦之間的關系，翻折變換，扇形的面積等知識，解題的關鍵是學會用分割法求陰影部分的面積，屬于中考?？碱}型。4.【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)垂徑定理、勾股定理即可求得OP的長，本題得以解決?！窘獯稹拷猓鹤鱋E⊥AB交AB與點E，作OF⊥CD交CD于點F，如右圖所示，則AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圓O的半徑為10，AB⊥CD，垂足為P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四邊形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，∴EP＝6，∴OP＝，故選：B?！军c評】本題考查垂徑定理、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答。5.【分析】首先連接BE，由⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB＝8，CD＝1，根據(jù)垂徑定理可求得AC＝BC＝4，然后設OA＝x，利用勾股定理可得方程：42+（x﹣1）2＝x2，則可求得半徑的長，繼而利用三角形中位線的性質(zhì)，求得BE的長，又由AE是直徑，可得∠B＝90°，繼而求得答案?！窘獯稹拷猓哼B接BE，∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB＝8，∴AC＝BC＝4，設OA＝x，∵CD＝2，∴OC＝x﹣2，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴42+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝5，∴OA＝OE＝5，OC＝3，∴BE＝2OC＝6，∵AE是直徑，∴∠B＝90°，∴CE＝＝2，故選：D?！军c評】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì).注意準確作出輔助線是解此題的關鍵。二、填空題6.【分析】如圖，連接OA，設BD交AC于G，BD交⊙O于F。首先證明BF是⊙O的直徑，利用勾股定理求出AG，即可解決問題?！窘獯稹拷猓喝鐖D，連接OA，設BD交AC于G，BD交⊙O于F。∵四邊形ABCD是菱形，∴BD垂直平分線段AC，∴BF是直徑，∵OD＝DF＝2，OB＝4，∴BG＝DG＝2，∴OG＝1，在Rt△AGD中，AG＝＝，在Rt△ABG中，AB＝＝2，故答案為2【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形.勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型。7.【分析】連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BC，根據(jù)勾股定理計算求出OC，根據(jù)勾股定理求出OD，求出點D到AB的距離的最小值?！窘獯稹拷猓哼B接OB，∵OC⊥AB，∴BC＝AB＝，由勾股定理得，OC＝＝，當OD⊥AB時，點D到AB的距離的最小，由勾股定理得，OD＝＝，∴點D到AB的距離的最小值為﹣，故答案為：；﹣。【點評】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。8.【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理解答即可。【解答】解：設該圓形門洞的半徑為r，∵AB過圓心O，且垂直CD于點B，連接OC，在Rt△OCB中，可得：r2＝（﹣r）2+，解得：r＝1，故答案為：1米【點評】此題考查垂徑定理，關鍵是根據(jù)垂徑定理和勾股定理解答。9.【分析】連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BE，根據(jù)勾股定理求出OE、BC，證明△CFO∽△CEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可?！窘獯稹拷猓哼B接OB，∵弦BD⊥AO，∴BE＝BD＝4，由勾股定理得，OE＝＝3，則CE＝OC+OE＝8，∴BC＝＝4，∵OF⊥BC，∴CF＝BF＝2，∵∠CFO＝∠CEB＝90°，∠C＝∠C，∴△CFO∽△CEB，∴＝，即＝，解得，OF＝，故答案為：?！军c評】本題考查的是垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握垂徑定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵。10.【分析】求出兩種特殊情形點E的坐標即可解決問題：當點E落在半徑OA上?？梢援嫵鱿鄳膱D形，可知點A與點E關于點CD對稱，從而可以得到DE＝DA，由點C為弧AB的中點，∠AOB＝60°，OC＝OA＝2，可以求得OD和AD的長，從而可以求得OE的長，進而得到點E的坐標；當點E落在半徑OB上，畫出相應的圖形，由D為半徑OA上一動點（不與點O，A重合），點A關于直線CD的對稱點為E，可知CB＝CE，由前面求得的OE的長與此時OE的長相等，根據(jù)∠AOB＝60°，可以求得點E的坐標?！窘獯稹拷猓寒旤cE落在半徑OA上時，連接OC，如下圖1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，點C為弧AB的中點，點A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC?sin30°＝2×＝1，∴OD＝OC?cos30°＝2×＝，∴AD＝OA﹣OD＝2﹣，∵DE＝DA，∴OE＝OD﹣OE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，即點E的坐標為（2﹣2，0）；當點E落在半徑OB上時，連接OC，CD，如圖2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的計算可知，OE＝2﹣2，∴點E的橫坐標為：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，點E的縱坐標為：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，∴E（﹣1，3﹣），∴滿足條件的點E的橫坐標x取值范圍為﹣1＜x＜2﹣2。故答案為﹣1＜x＜2﹣2?！军c評】本題考查扇形，翻折變換，特殊角的三角函數(shù)值等知識，解題的關鍵是明確題意，畫出相應的圖形，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題。三、解答題11.【分析】先根據(jù)垂徑定理求出AC的長，設⊙O的半徑為r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值?！窘獯稹拷猓骸逴D⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝＝4，設⊙O的半徑OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵。12.【分析】（1）證明△DAB∽△HAD，可得＝，由此構(gòu)建方程即可解決問題。（2）利用等角的余角相等，證明∠DEF＝∠DEF即可?！窘獯稹浚?）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AD＝。（2）證明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠DEF，∴DF＝EF?！军c評】本題考查圓心角、弧、弦之間的關系，勾股定理，垂徑定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型。13.【分析】（1）作OM⊥AC于M，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AM＝CM＝2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）連接OA，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論。【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）連接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°。【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵。14.【分析】（1）如圖連接EC交OA于H.首先證明DF∥OA，由OA⊥BF推出DF⊥BF即可；（2）由EC∥FB，推出＝＝2，推出OH＝2AH，設AH＝m，則OH＝2m，OC＝3m，由CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，構(gòu)建方程方程求出m即可解決問題；【解答】（1）證明：如圖連接EC交OA于H?！撸?，∴OA⊥EC，∵CD是⊙O的直徑，∴∠DEC＝90°，∴DF⊥EC，∴OA∥DF，∵BF是⊙O的切線，∴OA⊥BF，∴DF⊥BF，∴∠F＝90°，∴△DFB是直角三角形。（2）解：∵∠DEC＝∠F＝90°，∴EC∥FB，∴＝＝2，∴OH＝2AH，設AH＝m，則OH＝2m，OC＝3m，∵CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，∴9m2﹣4m2＝40﹣m2，∴m＝（負根已經(jīng)舍棄），∴CH＝，∵OA⊥EC，∴EH＝HC＝，∵∠F＝∠FAH＝∠AHE＝90°，∴四邊形AFEH是矩形，∴AF＝EH＝?！军c評】本題考查垂徑定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題。15.證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG?！進是的中點，∴MA＝MC……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實踐應用：（1）如圖3，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AB＞AC，D