2021年10月清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測(cè)試THUSSAT測(cè)試數(shù)學(xué)新高考試卷及答案

中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2021年10月測(cè)試數(shù)學(xué)試卷本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的..已知集合力=卜卜=?^1},8={x|y=Ig(x-l)},A［jB=TOC\o"1-5"\h\zA.卜卜＞1} B.{巾＜1} C..雙曲線［-《=1的離心率為4 2A.73 B.- C.必2 23.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1-i”=3+2i(i為虛數(shù)單位)，貝匹=Al+5i 口l-5i c-l+5iA. B. C. 2 2 2.已知數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S.,9為常數(shù)，則“數(shù)列{M}是等比數(shù)列“為“S”.產(chǎn)的A,充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.若△4BC滿(mǎn)足一股，sinB=2sinC,貝IJ/S/BC為A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.銳角三角形或直角三角形|sin4^|,x＜0,.已知函數(shù)/(')=,/吟g(^)=log2|x|f貝11/卜)一8(力=0在工￡12,2］上根的個(gè)數(shù)為A.4 B.5 C.6 D.7.已知線段是圓。：5-1)2+_/=9的一條動(dòng)弦，且|的|=26，若點(diǎn)尸為直線2、7+6=0上的任意一點(diǎn)，則|麗+西|的最小值為A.邁-2 B.A.邁-2 B.邁+25 58.已知/(x)=lnx-k6-方-1,若存在實(shí)數(shù)。范圍為C.她一4 D.監(jiān)45 5使得/(X)在(gd)上有2個(gè)零點(diǎn)，則g的取值e) n(e2'?(^2) D..J二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列圖像的變換中，能得到y(tǒng)=sinCx+m)的是TOC\o"1-5"\h\zA.將夕=索門(mén)的圖像向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的工3 2B.將7=41的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的;，再向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度C.將y=cosx的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度2 12D.將y=cosx的圖像向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的工6 2.設(shè)aefo,"隨機(jī)變量X的分布列如表所示，隨機(jī)變量y滿(mǎn)足y=3X+2,則當(dāng)。在(0,1上增大時(shí)，下列關(guān)于e(y),。(丫)的表述正確的是X-2-10P2bb-aaA.E(y)增大 b.E(y)先減小后增大c.。(丫)先增大后減小 D.D(y)增大.已知等差數(shù)列｛q｝,S.是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，對(duì)任意的〃eN?，均有S'NS.成立，則筑可能%的值為A.2B.3A.2B.3C.4D.5三、填空題：本題共4小題，每小題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（笫12題圖）.正方體中，M,N分別為/B,44的中點(diǎn)，P是邊GA上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），。是平面PA組上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足NM31=乙MVQ,則點(diǎn)。所在軌跡可能為A.橢圓B.雙曲線C.拋物線IX圓13.己知向量3=（-2,4）,否=（L1）,且?在6上的投影等于-亞，則，的值為13..己知（x-l）3（x+o）2（awZ）的展開(kāi)式中X的系數(shù)等于8,則展開(kāi)式中丁的系數(shù)等于..已知〃>0,b>0,滿(mǎn)足3+26=4,則乂+之的最小值為 .a a+\2b.拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過(guò)點(diǎn)“作直線48與拋物線交于點(diǎn)4,B,8（天,%）在第四象限，連/。（。為。的頂點(diǎn)）并延長(zhǎng)交/于點(diǎn)”，過(guò)B作3c垂直于X軸，垂足為。，若S^bm-0c=2近，則％= ?四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟..（10分）已知函數(shù)/卜）=（：082的-31|18805-；3>0）,兩相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間距離為（1）求〃x）的解析式;（2）在中，小+作_坐，c=2,S回=B,求Q的值..（12分）已知數(shù)列血｝為等比數(shù)列，公比g>比s”是數(shù)列血｝的前〃項(xiàng)和，且4=9,$3=39.數(shù)列也｝滿(mǎn)足她+她+…+。也=；[伽+1）3”-1].（1）求數(shù)列向｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)令％==6wN?)，證明：C+C2+…+q＜2.an7 4.(12分)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)，分別帶著力，B,C,。四個(gè)不同的禮物參加派對(duì)進(jìn)行“禮物交換”游戲，將四個(gè)禮物放入袋中，每位同學(xué)分別抽取一個(gè)禮物.(I)求四位同學(xué)都沒(méi)有拿到自己所帶禮物的概率；(2)記X為未拿到自己所帶禮物的同學(xué)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.21.(12分)如圖所示，三棱柱ABC-48C中，所有棱長(zhǎng)均為2,NB/C=如420.21.(1)求證：〃平面8CC4：=ZCAA}=60°,P,。分別在(1)求證：〃平面8CC4：(2)設(shè)尸。與平面彳8。所成角為求sin。的取值范圍.2 2 (第20題圖)(12分)已知橢圓懵+￡=1(。＞6＞0)的離心率為乎，且橢圓。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為6+1.(1)求橢圓C的方程；2 2⑵設(shè)橢圓￡：*■+*■=%尸為橢圓。上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線/交橢圓￡于4,8兩點(diǎn)，射線。尸交橢圓石于點(diǎn)Q.s(1)證明產(chǎn)為定值：)山。尸(n)求△43。面積的最大值.22.(12分)已知函數(shù)〃x)=，+2x-aln-其中qeR.(I)對(duì)于任意/21,恒有/(2，-1)之2/(1)-3,求Q的取值范圍;(2)設(shè)。＞。，存在實(shí)數(shù)/使關(guān)于x的方程/(x)=/有兩個(gè)實(shí)根玉，占(不＜々)，求證：函數(shù)/G)在入=節(jié)至處的切線斜率大于0.

中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2021年10月測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案總項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有9101)12ACDADBCDBC三、填空即：本題共4小題，每小題5分，共20分.3或一;-5居9+6立7-72四、解答題：本大遨共6小題，共7（）分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（10分）解析:一、“、 2 I14cos2oxsin2oxI .八/(x)=cos(yjc-sin<yxcos<yx--= 1 分=一(cos2a)x-sin2(ox)2=一(cos2a)x-sin2(ox)2五加2次2?I穴A

sin——l(ox

14 2分因?yàn)閮上噜徸罡唿c(diǎn)與最低點(diǎn)距離為M+因?yàn)閮上噜徸罡唿c(diǎn)與最低點(diǎn)距離為M+偌）=舊呆后? .4分/(x)=-ysin<i-2jf) 5分4+9=^sin：[f+i)]=Ts,n<-J)=-T.1 .n?5n=>sin/l=-,/<=7?k—2 6 6又加=-x^csin/l=-xbx2x-=-Sy2b又加=-x^csin/l=-xbx2x-=-Sy2b73==——，2 2:.b=6=13,?.a=13,?.a=V13當(dāng)力=39a2=/>24?-26ccos/I=3+4-2x2>/3--=1,

6 2當(dāng)力=學(xué)，，=y+<?-2bccos/=3+4-2x26xo10分(12分)解析:（1）數(shù)列｛勺｝為等比數(shù)列，，=9,5=39=0+%=30,a??=9, q o 1…43。*，代入可得Y+M=3。，,*或3,*/g>1,.'.q=39：=3,?.q=3x3i=3'+a也+???+a也=][(2/j+1)3"-l]①當(dāng)〃N2時(shí)，有…+勾也川②。②得：。也二；(4，-4)?30?=(〃+1)?31〃22),,?凡=3"，=〃+l(〃N2)當(dāng)〃=1時(shí)，a^=1(3x3-l)=6,4=3,?,.%=2,也符合以=〃+1,bn=+ 1)t 2 3 〃+144=G+。2+???+5=至+三+.??+-^-③③?④得: 8分235I n+l%7旬—尹11分12分=52"5二111分12分52〃+55——<-44x3"4（12分）解析:TOC\o"1-5"\h\z<1)四位同學(xué)抽取禮物的總情況數(shù)為：A：=24 1分若四位同學(xué)都沒(méi)有拿到自己所帶禮物，則甲同學(xué)拿的是6、。、。三個(gè)禮物中的一個(gè)，有3種可能，假設(shè)甲同學(xué)拿的是B禮物，接下來(lái)分成兩種情況：①若乙同學(xué)拿的是/禮物，則丙、丁同學(xué)分別拿到。、C禮物，共1種情況 2分②若乙同學(xué)拿的不是小禮物，則乙同學(xué)從C、。兩個(gè)禮物中取一個(gè)，有兩種可能，假設(shè)乙同學(xué)拿的是C禮物，則丙'丁分別拿到。、力禮物,這種情況共有C；x1=2種，四位同學(xué)都沒(méi)有拿到自己所帶禮物的情況有：C；x(l+Gxl)=9 4分9 3所以，四位同學(xué)都沒(méi)有拿到自己所帶禮物的概率為2=51 5分(2)X為未拿到自己所帶禮物的同學(xué)的人數(shù)，X的可能取值為0,2,3,4,X=0表示四位同學(xué)都拿到自己所帶的禮物，只有一種可能，，P(X-O)=%《 6分X=2表示恰有兩位同學(xué)拿到自己所帶的禮物，共有C：=6種，」(*=2)吟=； 8分才二3表示恰有一位同學(xué)拿到自己所帶的禮物，從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選一名同學(xué)拿到自己所帶的禮物，有C：=4種，假設(shè)是甲拿到了/禮物，則其他人都得拿到別人的禮

物，還有兩種可能：乙。、丙。、丁8,或者乙。、丙從TC,共有4x2=8種，Q1??.P(X=3)=牙=3 10分由(1)可知：P(X=4)=：8???￥的分布列為：X0234P124￡43381劣12分12分'' 24 4 3 820.(12分)解析:i^PD//AC9交8c于點(diǎn)。，設(shè)4Q=/P=/?0.2),則3P=2t2分4分??,PDHAC,工2:與即"=Z2=po=2-/ACAB2 2分4分???PDIgC、,連接。G,所以四邊形C0P。為平行四邊形，???PQ〃G。，???用？＜2平面3。65，且弓。＜=平面8。。自，aP。〃平面scq瓦 (2)取/。中點(diǎn)M,連接4"、BM、43,V/LW=ijC=l,44=2,Z47fM=60°,根據(jù)余弦定理得：4A/2=A412+AW2-2JJI-^A/cos600=4+l-2x2xlxl=3,???4時(shí)=依，則加1C 6分,??△48C是等邊三角形，???AMCBM=M,???4C1平面可得：平面平面4BM 7分在△48“中，&M=BM=幣，43=2,作4〃JL8M,交8M于點(diǎn)H,4〃！.平面加3。，

財(cái)s=噂=&=鱉&.??4〃=乎2 Z yJ5；4?！ㄆ蕉τ?,所以點(diǎn)2到平面/8C距禹力=4〃=竽QP=(°4+4/1+//)=尸+4十/卜2以?4彳il^AAP?2Q4.好=2r+4+2xfx2x—+2x2x/x2+2x,x/x(=2r+4+2xfx2x—+2x2x/x2+2x,x/x(一；)=/+4???QP==/+4???QP=Jr、411分2>/2,八石 2近sin0=廠=—~~七V/2+4j3?〃+4vre(OJ),???>/F77w(2,2a)」.sinOe悖用21.(12分)解析:5分6分^SUP，(I」.sinOe悖用21.(12分)解析:5分6分^SUP，(I)由￡=—,及a+c=6+l得a=\/J,ca3(2)(i)證明:設(shè)尸(飛,%),令宛=2萬(wàn)(4>0),￡%=】，工了得一±A+±A=9,3 2..4分l°P|=2為定值(ii)由(i)知= ，設(shè)力（玉,凹），b區(qū)，必）①當(dāng)直線/有斜率時(shí)，設(shè)〃＞=米+6,代入橢圓E的方程得:Q+3公卜2+6加辰+3渥-54=0,6"成 3w2-54AX^x2=--——y,X,X.= 丁 2+3公 112+3A?Si=扣值T=胴《磊=N-6m2-t-108-1-162A2j- 十18+27爐)用?=N~(2+3/丫―二 ―(2+3可~~將/:y=fcr+m代入橢圓C的方程得：（2+3好）父+6加＞3毋-6=0,???/與橢圓C有公共點(diǎn)〃，，由A20得：2+3爐之1，令片；=1,則，e（Q1］,：§9=瓜?也■產(chǎn)“6 ”分/+jK②當(dāng)/斜率不存在時(shí).設(shè)/："〃616,打］,代入他圓E的方程得：k=18-|〃。.?.￡/=；時(shí)比一閭=J獷一|4S,綜合①②得△AOB面積的最大值為4萬(wàn)，所以也＜0^面積的最大值為83 12分22.（12分）解析：(1)/(2-1)22/(。—3等價(jià)于2(—iy-aln(2z-l)+2ahn“記力(r)=2("iy_aln(2，_l)+2alnf,34（,力科34（,力科*也卷:產(chǎn)］ 3分當(dāng)，＞1時(shí)，2?2/-1）＞2,所以當(dāng)。2-2時(shí)，”。）＞0在經(jīng)1時(shí)恒成立,即方⑺在，＞】時(shí)為增函數(shù)，故，21時(shí)M。2力⑴=0,即不等式/(2/-1)之2/9)-3成立當(dāng)。＜-2時(shí)，令〃(，)=0,得：當(dāng)。＜-2時(shí)，令〃(，)=0,得：l匕正叵4時(shí)”(，)vO,（2）要證函數(shù)/0）在、=血產(chǎn)處的切發(fā)斜率大于0,即證/'仔產(chǎn)）＞0