2023年北京十四中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為()A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是偶函數(shù)（且）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使不等式成立的x的取值范圍是（）A． B．C． D．6．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A． B． C． D．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時(shí)的過(guò)程中，由到時(shí)，不等式的左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)C．增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)8．已知全集U＝Z，，B＝{－1,0,1,2}，則圖中的陰影部分所表示的集合等于（）A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}9．己知三邊，，的長(zhǎng)都是整數(shù)，，如果，則符合條件的三角形的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則()A．32 B． C．16 D．11．一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，則該程序框圖的功能是A．求a，b，c三數(shù)中的最大數(shù) B．求a，b，c三數(shù)中的最小數(shù)C．將a，b，c按從小到大排列 D．將a，b，c按從大到小排列12．已知實(shí)數(shù)，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．10件產(chǎn)品中有2件次品，從中隨機(jī)抽取3件，則恰有1件次品的概率是____．14．直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則的傾斜角大小為_(kāi)_________．15．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率，則在內(nèi)取值的概率為.16．已知，若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)的值不大于15，則a取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）“過(guò)大年，吃水餃”是我國(guó)不少地方過(guò)春節(jié)的一大習(xí)俗．2018年春節(jié)前夕，市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，檢測(cè)結(jié)果如頻率分布直方圖所示．（1）求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）①由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求落在內(nèi)的概率；②將頻率視為概率，若某人從某超市購(gòu)買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為；②若，則，．18．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．19．（12分）函數(shù)(為實(shí)數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)在上的最小值及相應(yīng)的的值；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知矩陣，.(1)求；(2)在平面直角坐標(biāo)系中,求直線在對(duì)應(yīng)的變換作用下所得直線的方程.21．（12分）選修4一5:不等式選講已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí),解不等式；(2)若對(duì)任意,存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米。要求通行車輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)桶圓形狀（如圖）。（1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：橢圓的面積公式為，本題結(jié)果拱高和拱寬精確到0.01米，土方量精確到1米3）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由三視圖還原出原幾何體，然后計(jì)算其表面積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)圓錐里面挖去一個(gè)圓柱，尺寸見(jiàn)三視圖．圓錐的母線長(zhǎng)為，．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查組合體的表面積，解題關(guān)鍵是由三視圖還原出原幾何體，確定幾何體的結(jié)構(gòu)．2、D【解析】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值得解．【詳解】∵cosθ?tanθ＝sinθ，∴sin（）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】分析：設(shè)拋物線上點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式，得點(diǎn)A到直線的距離，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可求最小距離.詳解：設(shè)拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)點(diǎn)A到直線的距離易得由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，最小距離.故選B.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的基本性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離公式，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.4、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，再利用復(fù)數(shù)的除法與減法法則可求出復(fù)數(shù).【詳解】，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到，在是增函數(shù)，再根據(jù)為偶函數(shù)，根據(jù)，解得的解集．【詳解】解：令，，時(shí)，，時(shí)，，在上是減函數(shù)，是偶函數(shù)（2），當(dāng)，（2），即，當(dāng)時(shí)，（2），即，是偶函數(shù)，當(dāng)，，故不等式的解集是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想．解決本題的關(guān)鍵是能夠想到通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解決，屬于中檔題．6、B【解析】

求導(dǎo)后代入即可得出答案?！驹斀狻抗蔬xB【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求切線斜率。屬于基礎(chǔ)題。7、C【解析】解：n=k時(shí)，左邊="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k時(shí)，左邊="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故選C8、A【解析】

試題分析：圖中的陰影部分所表示的集合為,故選A．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算9、D【解析】

根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，由三角形的三邊關(guān)系，有，對(duì)分情況討論，分析可得可取的情況，即可得這種情況下符合條件的三角形的個(gè)數(shù)，由分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜26，則＝25，有1種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜27，則＝25、26，有2種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜28，則＝25、26、27，有3種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜29，則＝25、26、27、28，有4種情況，

…

當(dāng)時(shí)，有有25≤＜50，則＝25、26、27、28…49，有25種情況，

則符合條件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，涉及三角形三邊的關(guān)系，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)變化時(shí)，符合條件的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．10、B【解析】

根據(jù)自變量符合的范圍代入對(duì)應(yīng)的解析式即可求得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)框圖可知，當(dāng)a>b時(shí)，把b的值賦給a，此時(shí)a表示a、b中的小數(shù)；當(dāng)a>c時(shí)，將c的值賦給a，a表示a、c中的小數(shù)，所以輸出a表示的是a，b，c中的最小數(shù).【詳解】由程序框圖，可知若a>b，則將b的值賦給a，a表示a，b中的小數(shù)；再判斷a與c的大小，若a>c，則將c的值賦給a，則a表示a，c中的小數(shù)，結(jié)果輸出a，即a是a，b，c中的最小數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是在解題的過(guò)程中模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】

利用超幾何分布的概率公式，直接求出恰有1件次品的概率.【詳解】設(shè)事件為“從中隨機(jī)抽取3件，則恰有1件次品”，則.【點(diǎn)睛】求解概率問(wèn)題的第一步是識(shí)別概率模型，再運(yùn)用公式計(jì)算概率值，本題屬于超幾分布概率模型.14、【解析】分析：根據(jù)題意，將直線的參數(shù)方程變形為普通方程，由直線的方程形式分析可得答案.詳解：根據(jù)題意，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的普通的方程為：，斜率為，傾斜角為.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查直線的參數(shù)方程及傾斜角，注意將直線的參數(shù)方程變形為普通方程.15、0.8【解析】

由于正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)的圖象關(guān)于直線ξ＝1對(duì)稱，且ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，因此ξ在(1,2)內(nèi)取值的概率也為0.4，故ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.16、【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)得：，又，所以，又時(shí)，展開(kāi)式無(wú)常數(shù)項(xiàng)，即a取值范圍為，得解．【詳解】由二項(xiàng)式定理可得：展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，又展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)的值不大于15，則，又，所以，又時(shí)，展開(kāi)式無(wú)常數(shù)項(xiàng)，即a取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）26.5（2）①0.6826②見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，直方圖各矩形中點(diǎn)值的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積的和就是所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)；（2）①根據(jù)服從正態(tài)分布，從而求出；②根據(jù)題意得，的可能取值為，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求出各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而利用二項(xiàng)分布的期望公式可得的數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1）所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為：．（2）①∵服從正態(tài)分布，且，，∴，∴落在內(nèi)的概率是．②根據(jù)題意得，；；；；.∴的分布列為01234∴．18、（1）極大值為，極小值為（2）【解析】

試題分析：（Ⅰ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據(jù)點(diǎn)斜式求出曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程試題解析：（1），，．①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為（2），．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值19、（1）函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）見(jiàn)解析；（3）.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，在（0，+∞）上恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；（2）求導(dǎo))，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，．分①，②，③，三種情況得到函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)性，進(jìn)而得到[f（x）]min；（3）由題意可化簡(jiǎn)得到，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最小值為．試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)在上是增函數(shù).(2)，當(dāng)時(shí)，，①若，在上有(僅當(dāng)，時(shí)，)，故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)；②若，由，得，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，故；③若，在上有(僅當(dāng)，時(shí)，)，故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時(shí)綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，相應(yīng)的的值為1；當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的的值為.(3)不等式可化為，因?yàn)椋?，且等?hào)不能同時(shí)取，所以，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，，從而(僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，所以在上為增函數(shù)，所以的最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：不等式的存在問(wèn)題即為不等式的有解問(wèn)題，常用的方法有兩個(gè)：一是，分離變量法，將變量和參數(shù)移到不等式的兩邊，要就函數(shù)的圖像，找參數(shù)范圍即可；二是，含參討論法，此法是一般方法，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，需要求導(dǎo)，討論參數(shù)的范圍，結(jié)合單調(diào)性處理.20、（1）；（2）.【解析】

分析：(1)直接根據(jù)逆矩陣公式計(jì)算即可(2)由，即解得，即.詳解：(1)由題知，所以，根據(jù)逆矩陣公式,得.(2)設(shè)由上的任意一點(diǎn)在作用下得到上對(duì)應(yīng)點(diǎn).由，即解得，因?yàn)?所以，即.即直線的方程為.點(diǎn)睛：(1)逆矩陣計(jì)算公式是解第一問(wèn)關(guān)鍵，要會(huì)掌握其運(yùn)算公式(2)一直線在對(duì)應(yīng)的變換作用下所得直線的方程計(jì)算不難，不要算錯(cuò)一般都可以解決.21、（1）；（2）.【解析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，分段討論即可；（2）由題意可得函數(shù)的值域是的值域的子集，從而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：（1)當(dāng)時(shí)，，或，或，解得.即不等式解集為.(2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，的值域?yàn)?又在區(qū)間上單調(diào)遞增.即的值域?yàn)椋獫M足條件，必有，解得的取值范圍為點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.22、(1)33.26；(2)拱高約為6.36米、拱寬約為31.11米時(shí)，土方工程量最?。钚⊥练搅繛榱⒎矫?【解析】

（1）根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，可得的坐標(biāo)并設(shè)出橢