高中數(shù)學(xué) 常見函數(shù)的圖像

高中數(shù)學(xué)常見函數(shù)的圖像記背優(yōu)先級：形狀>極值點(我會用<上凸><下凸>來描述凹凸性)一.指數(shù)篇1.e^x+axexp(x)就是e^xa>0時，圖像在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值a<0時，圖像下凸，在x=\ln(-a)處取極小值二者恒過定點(0,1)2.xe^x圖像在(-\infty,-2)上凸，在(-2,+\infty)下凸在x=-1處取極小值-\frac{1}{e}y=0是它的漸近線3.\frac{e^x}{x}圖像在x<0上凸，漸近線x=0,y=0，無極值圖像在x>0下凸，在x=1取極小值e4.\frac{x}{e^x}圖像在(-\infty,2)上凸，(2,+\infty)下凸在x=1取極大值\frac{1}{e}y=0是它的漸近線5.e^x±e^{-x}1偶函數(shù)，在x=0取極小值22奇函數(shù)互為漸近曲線二.對數(shù)篇1.\lnx+axlog(x)就是lnxa>0時，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增a<0時，圖像上凸，在x=-\frac{1}{a}處取極大值2.x\lnx圖像下凸，在x=\frac{1}{e}取極小值-\frac{1}{e}零點x=13.\frac{\lnx}{x}圖像在(0,\sqrt{e^3})上凸，在(\sqrt{e^3},+\infty)下凸在x=e取極大值\frac{1}{e}零點x=14.\frac{x}{\lnx}x=0,x=1分別是斷點圖像在(0,1)上凸，(1,+\infty)下凸在x=e取極小值e三.指對篇1.e^x+\lnx定義域內(nèi)單調(diào)遞增，零點介于(0,\frac{1}{2})，約為0.272.e^x\lnx定義域內(nèi)單調(diào)遞增，零點x=13.\frac{\lnx}{e^x}已經(jīng)不太方便研究了，極大值點介于(1.5,2)，約為1.76零點x=1目前想到的大概就這么多，可能有疏漏或錯誤，煩請在評論區(qū)指出，不勝感激。四.實例這里我舉一個運用圖像解題的例子題目：（本身較為簡單）f(x)=ae^x-x\lnx.若a\ge\frac{2}{e^2},求證:f(x)>0先用參數(shù)放縮ae^x-x\lnx\ge\frac{2}{e^2}e^x-x\lnx，只需證明后半部分恒正.法1.利用圖像我們先用上面的知識大概畫一下e^x,x\lnx的圖像我們發(fā)現(xiàn)兩個圖像凹凸性一致.如果想直接切線放縮是有難度的（實際上可以直接放縮，我會把那個證明放到文末）。那么我們?nèi)绻軜?gòu)造出凹凸性不同的函數(shù)，切線放縮就會容易很多.利用上面的圖像知識。\frac{2}{e^2}e^x-x\lnx=x(\frac{2}{e^2}\frac{e^x}{x}-\lnx)，只需要研究括號內(nèi)的兩個函數(shù)嗯，這樣舒服多了！下一個問題，選取哪個函數(shù)的哪個位置的切線進(jìn)行放縮？首先，大概率選取\lnx的切線比較方便。常見放縮\lnx\leqx-1行不行呢？由上面的圖像知識我們知道\frac{e^x}{x}在x=1處取極小值，而在極小值右側(cè)一小部分函數(shù)值變化比較和緩.如果我們在x=1對對數(shù)函數(shù)放大，大概率會放得過大.我們還知道\lnx在x=e的切線\frac{x}{e}，由上述分析利用它放縮的度會更合適一些.事實也確實如此由\lnx\le\frac{x}{e}（證略），即證\frac{2}{e^2}\frac{e^x}{x}>\frac{x}{e}即證e^x>\frac{ex^2}{2}指數(shù)找基友，即證e^{-x}\frac{ex^2}{2}<1構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得-\frac{1}{2}e\cdote^{-x}(x^2-2x)，原函數(shù)在x=2處取極大值\frac{2}{e}<1，證畢.法2.曲線放縮0<x<1時顯然成立x>0時，有e^x\ge\frac{e^2}{4}x^2；x\ge1時，有\(zhòng)lnx\le\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})因此\begin{align}\frac{2}{e^2}e^x-x\lnx&\ge\frac{2}{e^2}\frac{e^2}{4}x^2-\frac