波動光學方法

波動光學方法第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一分析思路第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一分離變量電矢量與磁矢量分離:可得到只與電場強度E(x,y,z,t)有關的方程式及只與磁場強度H(x,y,z,t)有關的方程式；時、空坐標分離:亥姆霍茲方程，是關于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；空間坐標縱、橫分離：波導場方程，是關于E(x,y)和H(x,y)的方程式；邊界條件：在兩種介質交界面上電磁場矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù)。第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一用縱向場表示橫向場第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一波導場方程波導場方程：

波動光學方法的最基本方程。它是一個典型的本征方程。當給定波導的邊界條件時，求解波導場方程可得本征解及相應的本征值。通常將本征解定義為“模式”。第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一模式的基本特征每一個模式對應于沿光波導軸向傳播的一種電磁波；每一個模式對應于某一本征值并滿足全部邊界條件；模式具有確定的相速群速和橫場分布。模式是波導結構的固有電磁共振屬性的表征。給定的波導中能夠存在的模式及其性質是已確定了的，外界激勵源只能激勵起光波導中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質。第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一數學表達式：物理意義：光波導中所有模式（導模、漏摸、輻射摸）相互正交，模式獨立載運光能量，光波場總功率等于各個模式攜帶功率的迭加；光波導實際場分布可以表示為各個模式本征函數的迭加。模式正交歸一性第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一模式命名根據場的縱向分量Ez和Hz的存在與否，可將模式命名為：

(1)橫電磁模(TEM)：Ez＝0，Hz＝0；

(2)橫電模(TE)： Ez＝0，Hz≠0；

(3)橫磁模(TM)： Ez≠0，Hz＝0；

(4)混雜模(HE或EH)：Ez≠0，Hz≠0。第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一平面光波導中的場分布Ey,Hx,HzHy,Ex,Ez波導場方程：場分量：TE模式:

TM模式:n1n3n2d折射率：覆蓋層、芯區(qū)、襯底分別為：第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一場分布特點禁區(qū)：b>n1k0導模：n1k0>b>n3k0c21>0，傳播場c22,c23<0，消逝場襯底輻射模：n3k0>b>n2k0

c22<0，消逝場；c23,c21>0，傳播場輻射模：n2k0>b>0 c21，c22，c23>0，傳播場第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一歸一化工作參數芯區(qū)：襯底：覆蓋層：歸一化頻率：第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一導模(TE)本征解覆蓋層：x>0 Ey=Aexp(-W2x/d)芯區(qū)：-d<x<0 Ey=Acos(Ux/d)+Bsin(Ux/d)襯底：x<-d Ey=(AcosU-BsinU)exp[(W3(x+d)/d]縱向：Hz=(j/wm0)(dEy/dx)第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一對稱平板波導的本征值方程邊界條件：TE模式:Ey,Hz在上下界面連續(xù)；TM模式:Hy,Ez在上下界面連續(xù)。TE模的本征值方程：場分布奇對稱：場分布偶對稱：對稱平板波導：n2=n3。第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一模式分析平板波導的特征方程都是超越方程，一般只能用數值方法求解。對稱波導的特征方程可以用圖解法求得近似解。關系式：U2+W2=V2第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一條形光波導第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一由波導場方程求取Ez由縱橫關系式求取橫向場分量由邊界條件獲得本征值方程由本征值方程求取本征值場求解思路第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一各區(qū)域本征值第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一本征值方程Exmn模式Eymn模式第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一模式場分布Exmn模：Ex(x,y)=E1sin(xmp/2a)sin(ynp/2d)Ex11模：Ex(x,y)=E1sin(xp/2a)sin(yp/2d)Ex21模：Ex(x,y)=E1sin(xp/a)sin(yp/2d)Ex12模：Ex(x,y)=E1sin(xp/2a)sin(yp/d)Ex22模：Ex(x,y)=E1sin(xp/a)sin(yp/d) (0<x<2a;0<y<2d)m代表x方向亮斑數目；n代表y方向亮斑數目第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一光纖中模式的初步分析當采用波動理論來分析光波在光纖中的傳輸時，須求解波導場方程。其方法是首先求出縱向場分量Ez和Hz，然后利用縱橫關系式求出場的橫向分量。在園柱坐標系中，Ez和Hz滿足的波導場方程為：第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一分離變量代入波導場方程得到：第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一模式分類判據當G2(r)＞0時為正弦函數形式，對應于“駐波場”或“傳播場”；當G2(r)＜0時為衰減指數形式,對應于“衰減場”或“消逝場”。在傳播場與消逝場的交界處,有G2(r)＝0。第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一導模第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一輻射模第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一漏模第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一兩種方法的比較導模： 約束光線漏模： 隧道光線輻射模： 折射光線TE/TM模： 子午光線HE/EH模： 傾斜光線第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一階躍折射率光纖中的場解數學模型圓柱坐標系中的波導場方程邊界條件本征解與本征值方程本征值與模式分析第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一數學模型數學模型：階躍折射率分布光纖是一種理想的數學模型，即認為光纖是一種無限大直圓柱系統(tǒng)，芯區(qū)半徑a，折射率為n1；包層沿徑向無限延伸，折射率為n2。光纖材料為線性、無損、各向同性的電介質。第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一波導場方程與解的基本形式六個場分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz。

但并不是相互獨立的，橫向分量由兩個縱向分量唯一確定。波導場方程：解的基本形式：第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一貝塞爾方程及其解縱向場分量滿足：貝塞爾方程貝塞爾方程的解：第一類和第二類貝塞爾函數：Jn，Nn。第一類和第二類漢克爾函數：Hn(1)，Hn(2)。第一類和第二類變態(tài)漢克爾函數：In，Kn。第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一場解的選取依據：導模場分布特點：在空間各點均為有限值；在芯區(qū)為振蕩形式，而在包層則為衰減形式；導模場在無限遠處趨于零。貝塞爾函數形式：Jn呈振蕩形式，Kn則為衰減形式。本征解選?。涸诶w芯中選取貝賽爾函數Jn，在包層中選取變態(tài)漢克爾函數Kn。第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一本征解的確定纖芯(0<r<a)：包層(r>a)：橫向分量由縱向分量確定。第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一本征值方程的導出邊界條件：在r=a,Ez,Hz,Ef,Hf

連續(xù)EIz|a=EIIz|a: AJn(U)-CKn(W)=0HIz|a=HIIz|a: BJn(U)-DKn(W)=0EIf|a=EIIf|a: HIf|a=HIIf|a: 確定待定系數ABCD有非全零解：ABCD系數行列式為零，即可導出本征值方程。第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一本征值方程又稱特征方程，或色散方程。其中U與W通過其定義式與β相聯(lián)系,因此它實際是關于β的一個超越方程。當n1、n2、a和λ0給定時,對于不同的n值,可求得相應的β值。由于貝塞爾函數及其導數具有周期振蕩性質,所以本征值方程可以有多個不同的解βnm(n=0,1,2,3...m=1,2,3...),每一個βnm都對應于一個導模。第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一歸一化工作參數歸一化工作頻率：歸一化橫向傳播常數： 歸一化橫向衰減常數： 有效折射率： 歸一化工作參數：第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一貝塞爾函數遞推公式(I)微分公式：遞推公式：大宗量近似：小宗量近似：第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一貝塞爾函數遞推公式(II)微分公式：遞推公式：大宗量近似：小宗量近似：第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一模式分類的物理意義偏振特性:TE模與TM模是偏振方向相互正交的線偏振波;HE模與EH模則是橢圓偏振波,其中HE模偏振旋轉方向與波行進方向一致(符合右手定則),EH模偏振旋轉方向則與光波行進方向相反；場強關系: EH模電場占優(yōu)勢,而HE模磁場占優(yōu)勢;(Ez,Hz)<<(Et,Ht),模式近似為橫場分布；相位關系: EH模的Hz分量超前于Ez90°,HE模的Hz分量落后于Ez90°。第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一色散曲線色散曲線結構參數給定的光纖中,模式分布是固定的?？筛鶕菊髦捣匠淌嚼脭抵涤嬎愕玫礁鲗鞑コ郸屡c光纖歸一化頻率V值的關系曲線,稱之為色散曲線。因此,本征值方程又叫色散方程。色散曲線分析圖中每一條曲線都相應于一個導模。平行于縱軸的豎線與色散曲線的交點數就是光纖中允許存在的導模數。由交點縱坐標可求出相應導模的傳播常數β。給定V值,V=Vc,則Vc越大導模數越多;反之亦然。當Vc＜2.405時,在光纖中只存在HE11模,其它導模均截止,為單模傳輸;第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一模式數目給定V值，階躍折射率光纖中的導模數目近似等于V2/2,所含精確模式可根據導模截止與遠離截止條件確定。V模式導?？倲?--2.4052.405--3.8323.832--5.1365.136--5.5205.520--6.380..HE11HE21,TE01,TM01HE12,HE31,EH11HE41,EH21HE22,TE02,TM02..22+4=66+6=1212+4=1616+4=20..第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一單模工作條件單模條件:單模光纖尺寸:單模光纖截止波長:單模光纖截止頻率:僅當波長大于截止波長時方可在光纖中實現單模傳輸。這時，在光纖中傳輸的是HE11模，稱為基?；蛑髂?。緊鄰HE11模的高階模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均為2.405。第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一模式本征值模式的截止與遠離截止:

臨近截止:W=0,場在包層中不衰減遠離截止:W→∞,場在包層中不存在截止與遠離截止條件:

模式 臨近截止 遠離截止

TE0m(TM0m) J0(Uc)＝0 J1(U∞)＝0

HElm

Jl-2(Uc)＝0 Jl-1(U∞)＝0

EHlm

Jl(Uc)＝0 Jl+1(U∞)＝0*