波動(dòng)光學(xué)方法

波動(dòng)光學(xué)方法第1頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分析思路第2頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分離變量電矢量與磁矢量分離:可得到只與電場(chǎng)強(qiáng)度E(x,y,z,t)有關(guān)的方程式及只與磁場(chǎng)強(qiáng)度H(x,y,z,t)有關(guān)的方程式；時(shí)、空坐標(biāo)分離:亥姆霍茲方程，是關(guān)于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；空間坐標(biāo)縱、橫分離：波導(dǎo)場(chǎng)方程，是關(guān)于E(x,y)和H(x,y)的方程式；邊界條件：在兩種介質(zhì)交界面上電磁場(chǎng)矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù)。第3頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一用縱向場(chǎng)表示橫向場(chǎng)第4頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一波導(dǎo)場(chǎng)方程波導(dǎo)場(chǎng)方程：

波動(dòng)光學(xué)方法的最基本方程。它是一個(gè)典型的本征方程。當(dāng)給定波導(dǎo)的邊界條件時(shí)，求解波導(dǎo)場(chǎng)方程可得本征解及相應(yīng)的本征值。通常將本征解定義為“模式”。第5頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模式的基本特征每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于沿光波導(dǎo)軸向傳播的一種電磁波；每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于某一本征值并滿(mǎn)足全部邊界條件；模式具有確定的相速群速和橫場(chǎng)分布。模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。給定的波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的，外界激勵(lì)源只能激勵(lì)起光波導(dǎo)中允許存在的模式而不會(huì)改變模式的固有性質(zhì)。第6頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一數(shù)學(xué)表達(dá)式：物理意義：光波導(dǎo)中所有模式（導(dǎo)模、漏摸、輻射摸）相互正交，模式獨(dú)立載運(yùn)光能量，光波場(chǎng)總功率等于各個(gè)模式攜帶功率的迭加；光波導(dǎo)實(shí)際場(chǎng)分布可以表示為各個(gè)模式本征函數(shù)的迭加。模式正交歸一性第7頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模式命名根據(jù)場(chǎng)的縱向分量Ez和Hz的存在與否，可將模式命名為：

(1)橫電磁模(TEM)：Ez＝0，Hz＝0；

(2)橫電模(TE)： Ez＝0，Hz≠0；

(3)橫磁模(TM)： Ez≠0，Hz＝0；

(4)混雜模(HE或EH)：Ez≠0，Hz≠0。第8頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一平面光波導(dǎo)中的場(chǎng)分布Ey,Hx,HzHy,Ex,Ez波導(dǎo)場(chǎng)方程：場(chǎng)分量：TE模式:

TM模式:n1n3n2d折射率：覆蓋層、芯區(qū)、襯底分別為：第9頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一場(chǎng)分布特點(diǎn)禁區(qū)：b>n1k0導(dǎo)模：n1k0>b>n3k0c21>0，傳播場(chǎng)c22,c23<0，消逝場(chǎng)襯底輻射模：n3k0>b>n2k0

c22<0，消逝場(chǎng)；c23,c21>0，傳播場(chǎng)輻射模：n2k0>b>0 c21，c22，c23>0，傳播場(chǎng)第10頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一歸一化工作參數(shù)芯區(qū)：襯底：覆蓋層：歸一化頻率：第11頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)模(TE)本征解覆蓋層：x>0 Ey=Aexp(-W2x/d)芯區(qū)：-d<x<0 Ey=Acos(Ux/d)+Bsin(Ux/d)襯底：x<-d Ey=(AcosU-BsinU)exp[(W3(x+d)/d]縱向：Hz=(j/wm0)(dEy/dx)第12頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)稱(chēng)平板波導(dǎo)的本征值方程邊界條件：TE模式:Ey,Hz在上下界面連續(xù)；TM模式:Hy,Ez在上下界面連續(xù)。TE模的本征值方程：場(chǎng)分布奇對(duì)稱(chēng)：場(chǎng)分布偶對(duì)稱(chēng)：對(duì)稱(chēng)平板波導(dǎo)：n2=n3。第13頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模式分析平板波導(dǎo)的特征方程都是超越方程，一般只能用數(shù)值方法求解。對(duì)稱(chēng)波導(dǎo)的特征方程可以用圖解法求得近似解。關(guān)系式：U2+W2=V2第14頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一條形光波導(dǎo)第15頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由波導(dǎo)場(chǎng)方程求取Ez由縱橫關(guān)系式求取橫向場(chǎng)分量由邊界條件獲得本征值方程由本征值方程求取本征值場(chǎng)求解思路第16頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一各區(qū)域本征值第17頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本征值方程Exmn模式Eymn模式第18頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模式場(chǎng)分布Exmn模：Ex(x,y)=E1sin(xmp/2a)sin(ynp/2d)Ex11模：Ex(x,y)=E1sin(xp/2a)sin(yp/2d)Ex21模：Ex(x,y)=E1sin(xp/a)sin(yp/2d)Ex12模：Ex(x,y)=E1sin(xp/2a)sin(yp/d)Ex22模：Ex(x,y)=E1sin(xp/a)sin(yp/d) (0<x<2a;0<y<2d)m代表x方向亮斑數(shù)目；n代表y方向亮斑數(shù)目第19頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第20頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一光纖中模式的初步分析當(dāng)采用波動(dòng)理論來(lái)分析光波在光纖中的傳輸時(shí)，須求解波導(dǎo)場(chǎng)方程。其方法是首先求出縱向場(chǎng)分量Ez和Hz，然后利用縱橫關(guān)系式求出場(chǎng)的橫向分量。在園柱坐標(biāo)系中，Ez和Hz滿(mǎn)足的波導(dǎo)場(chǎng)方程為：第21頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分離變量代入波導(dǎo)場(chǎng)方程得到：第22頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模式分類(lèi)判據(jù)當(dāng)G2(r)＞0時(shí)為正弦函數(shù)形式，對(duì)應(yīng)于“駐波場(chǎng)”或“傳播場(chǎng)”；當(dāng)G2(r)＜0時(shí)為衰減指數(shù)形式,對(duì)應(yīng)于“衰減場(chǎng)”或“消逝場(chǎng)”。在傳播場(chǎng)與消逝場(chǎng)的交界處,有G2(r)＝0。第23頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)模第24頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一輻射模第25頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一漏模第26頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一兩種方法的比較導(dǎo)模： 約束光線(xiàn)漏模： 隧道光線(xiàn)輻射模： 折射光線(xiàn)TE/TM模： 子午光線(xiàn)HE/EH模： 傾斜光線(xiàn)第27頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一階躍折射率光纖中的場(chǎng)解數(shù)學(xué)模型圓柱坐標(biāo)系中的波導(dǎo)場(chǎng)方程邊界條件本征解與本征值方程本征值與模式分析第28頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：階躍折射率分布光纖是一種理想的數(shù)學(xué)模型，即認(rèn)為光纖是一種無(wú)限大直圓柱系統(tǒng)，芯區(qū)半徑a，折射率為n1；包層沿徑向無(wú)限延伸，折射率為n2。光纖材料為線(xiàn)性、無(wú)損、各向同性的電介質(zhì)。第29頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一波導(dǎo)場(chǎng)方程與解的基本形式六個(gè)場(chǎng)分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz。

但并不是相互獨(dú)立的，橫向分量由兩個(gè)縱向分量唯一確定。波導(dǎo)場(chǎng)方程：解的基本形式：第30頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一貝塞爾方程及其解縱向場(chǎng)分量滿(mǎn)足：貝塞爾方程貝塞爾方程的解：第一類(lèi)和第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)：Jn，Nn。第一類(lèi)和第二類(lèi)漢克爾函數(shù)：Hn(1)，Hn(2)。第一類(lèi)和第二類(lèi)變態(tài)漢克爾函數(shù)：In，Kn。第31頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一場(chǎng)解的選取依據(jù)：導(dǎo)模場(chǎng)分布特點(diǎn)：在空間各點(diǎn)均為有限值；在芯區(qū)為振蕩形式，而在包層則為衰減形式；導(dǎo)模場(chǎng)在無(wú)限遠(yuǎn)處趨于零。貝塞爾函數(shù)形式：Jn呈振蕩形式，Kn則為衰減形式。本征解選?。涸诶w芯中選取貝賽爾函數(shù)Jn，在包層中選取變態(tài)漢克爾函數(shù)Kn。第32頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第33頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第34頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第35頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第36頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本征解的確定纖芯(0<r<a)：包層(r>a)：橫向分量由縱向分量確定。第37頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本征值方程的導(dǎo)出邊界條件：在r=a,Ez,Hz,Ef,Hf

連續(xù)EIz|a=EIIz|a: AJn(U)-CKn(W)=0HIz|a=HIIz|a: BJn(U)-DKn(W)=0EIf|a=EIIf|a: HIf|a=HIIf|a: 確定待定系數(shù)ABCD有非全零解：ABCD系數(shù)行列式為零，即可導(dǎo)出本征值方程。第38頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本征值方程又稱(chēng)特征方程，或色散方程。其中U與W通過(guò)其定義式與β相聯(lián)系,因此它實(shí)際是關(guān)于β的一個(gè)超越方程。當(dāng)n1、n2、a和λ0給定時(shí),對(duì)于不同的n值,可求得相應(yīng)的β值。由于貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有周期振蕩性質(zhì),所以本征值方程可以有多個(gè)不同的解βnm(n=0,1,2,3...m=1,2,3...),每一個(gè)βnm都對(duì)應(yīng)于一個(gè)導(dǎo)模。第39頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一歸一化工作參數(shù)歸一化工作頻率：歸一化橫向傳播常數(shù)： 歸一化橫向衰減常數(shù)： 有效折射率： 歸一化工作參數(shù)：第40頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一貝塞爾函數(shù)遞推公式(I)微分公式：遞推公式：大宗量近似：小宗量近似：第41頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一貝塞爾函數(shù)遞推公式(II)微分公式：遞推公式：大宗量近似：小宗量近似：第42頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模式分類(lèi)的物理意義偏振特性:TE模與TM模是偏振方向相互正交的線(xiàn)偏振波;HE模與EH模則是橢圓偏振波,其中HE模偏振旋轉(zhuǎn)方向與波行進(jìn)方向一致(符合右手定則),EH模偏振旋轉(zhuǎn)方向則與光波行進(jìn)方向相反；場(chǎng)強(qiáng)關(guān)系: EH模電場(chǎng)占優(yōu)勢(shì),而HE模磁場(chǎng)占優(yōu)勢(shì);(Ez,Hz)<<(Et,Ht),模式近似為橫場(chǎng)分布；相位關(guān)系: EH模的Hz分量超前于Ez90°,HE模的Hz分量落后于Ez90°。第43頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一色散曲線(xiàn)色散曲線(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定的光纖中,模式分布是固定的。可根據(jù)本征值方程式利用數(shù)值計(jì)算得到各導(dǎo)模傳播常數(shù)β與光纖歸一化頻率V值的關(guān)系曲線(xiàn),稱(chēng)之為色散曲線(xiàn)。因此,本征值方程又叫色散方程。色散曲線(xiàn)分析圖中每一條曲線(xiàn)都相應(yīng)于一個(gè)導(dǎo)模。平行于縱軸的豎線(xiàn)與色散曲線(xiàn)的交點(diǎn)數(shù)就是光纖中允許存在的導(dǎo)模數(shù)。由交點(diǎn)縱坐標(biāo)可求出相應(yīng)導(dǎo)模的傳播常數(shù)β。給定V值,V=Vc,則Vc越大導(dǎo)模數(shù)越多;反之亦然。當(dāng)Vc＜2.405時(shí),在光纖中只存在HE11模,其它導(dǎo)模均截止,為單模傳輸;第44頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第45頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模式數(shù)目給定V值，階躍折射率光纖中的導(dǎo)模數(shù)目近似等于V2/2,所含精確模式可根據(jù)導(dǎo)模截止與遠(yuǎn)離截止條件確定。V模式導(dǎo)?？倲?shù)0--2.4052.405--3.8323.832--5.1365.136--5.5205.520--6.380..HE11HE21,TE01,TM01HE12,HE31,EH11HE41,EH21HE22,TE02,TM02..22+4=66+6=1212+4=1616+4=20..第46頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單模工作條件單模條件:單模光纖尺寸:單模光纖截止波長(zhǎng):單模光纖截止頻率:僅當(dāng)波長(zhǎng)大于截止波長(zhǎng)時(shí)方可在光纖中實(shí)現(xiàn)單模傳輸。這時(shí)，在光纖中傳輸?shù)氖荋E11模，稱(chēng)為基?；蛑髂！＞o鄰HE11模的高階模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均為2.405。第47頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模式本征值模式的截止與遠(yuǎn)離截止:

臨近截止:W=0,場(chǎng)在包層中不衰減遠(yuǎn)離截止:W→∞,場(chǎng)在包層中不存在截止與遠(yuǎn)離截止條件:

模式 臨近截止 遠(yuǎn)離截止

TE0m(TM0m) J0(Uc)＝0 J1(U∞)＝0

HElm

Jl-2(Uc)＝0 Jl-1(U∞)＝0

EHlm

Jl(Uc)＝0 Jl+1(U∞)＝0*