換多目標函數(shù)優(yōu)化設(shè)計有關(guān)離散變量優(yōu)化設(shè)計問題優(yōu)化方

換多目標函數(shù)優(yōu)化設(shè)計有關(guān)離散變量優(yōu)化設(shè)計問題優(yōu)化方第一頁，共39頁。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型總體包含：設(shè)計變量，目標函數(shù)，約束條件7.1.1關(guān)于設(shè)計變量的確定工程設(shè)計中總是包含許多各種設(shè)計參數(shù)。在確定設(shè)計變量時，要對各種參數(shù)加以分析，以進行取舍。設(shè)計變量必須是獨立變量。要從優(yōu)互相依賴關(guān)系的變量中剔除非獨立變量。7.1建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問題第二頁，共39頁。下圖所示為汽車前輪轉(zhuǎn)向梯形機構(gòu)。等腰梯形機構(gòu)ABCD中，給定機架長度LAD=a（常數(shù)）。當(dāng)汽車轉(zhuǎn)彎時，為了保證所有車輪都處于純滾動，要求從動件CD轉(zhuǎn)角與主動件AB轉(zhuǎn)角保持某確定關(guān)系該四桿機構(gòu)的參數(shù)有各桿長度：l1,l2,l3,l4，和初始角其中l(wèi)4=a為已知，是設(shè)計常量；又l1=l3，l3為非獨立變量；又，l2是l1與的函數(shù)，故l2也為非獨立變量。所以只有兩個參數(shù)是獨立變量第三頁，共39頁。設(shè)計變量愈多維數(shù)愈高，設(shè)計的自由度越大，容易得到較理想的優(yōu)化結(jié)果；但維數(shù)越高，會使目標函數(shù)，約束函數(shù)所包含的變量增多，導(dǎo)致計算量增大，并使優(yōu)化過程更為復(fù)雜及降低解題的效率。所以，在建立目標函數(shù)時，確定設(shè)計變量的原則是在滿足設(shè)計要求得前提下，將盡可能減少設(shè)計變量的個數(shù)，即降低維數(shù)。按設(shè)計問題維數(shù)的大小，通常把優(yōu)化設(shè)計問題規(guī)模分為三類：小型優(yōu)化問題：維數(shù)2-10中型優(yōu)化問題：維數(shù)10-50大型優(yōu)化問題：維數(shù)50以上第四頁，共39頁。7.1.2關(guān)于目標函數(shù)的建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型中的目標函數(shù)F（x），是以設(shè)計變量表示設(shè)計問題所追求的某一種或幾種性能指標的解析表達式，用它來評價設(shè)計方案的優(yōu)劣程度。通常，設(shè)計所追求的性能指標較多，建立目標函數(shù)，要針對影響質(zhì)量和性能最為重要的，最顯著的指標作為設(shè)計追求的根本目標寫入目標函數(shù)。所建立的目標函數(shù)一般分為：單目標函數(shù)，多目標函數(shù)一般的，所包含的分目標函數(shù)越多，設(shè)計結(jié)果越完善，但設(shè)計求解的難度增大。因此，在實際設(shè)計中，在滿足設(shè)計性能要求的前提下，應(yīng)盡量減少分目標函數(shù)的個數(shù)。第五頁，共39頁。7.1.3關(guān)于約束條件問題設(shè)計約束是在設(shè)計中對設(shè)計變量所提出的種種限制來確定的。約束條件表達式同常有顯性約束與隱性約束；不等式約數(shù)與等式約束；邊界約束與性能約束等。在設(shè)計中應(yīng)盡量減少約束條件的個數(shù)。在眾多約束條件中，可能存在消極約束，所謂消極約束是指在某些約束得到滿足時，而有另一個或幾個約束必然得到滿足，其作用被覆蓋，被覆蓋了作用的約束稱為消極約束。如果經(jīng)分析能確認是消極約束，在建立數(shù)學(xué)模型時，應(yīng)將其除掉。在一般情況下，消極約束是不容易識別出來的。所以，在很多時候，仍是將全部約束都列出來，不加區(qū)別的代進算法程序中求解計算。第六頁，共39頁。7.2.1數(shù)學(xué)模型中的尺度變換數(shù)學(xué)模型中的尺度變換問題，是指用過改變在設(shè)計空間中個坐標分量的比例，以改善數(shù)學(xué)性態(tài)的一種辦法。7.2.1設(shè)計變量的尺度變換7.2.2約束條件的尺度變換7.2.3目標函數(shù)的尺度變換第七頁，共39頁。7.3多目標函數(shù)優(yōu)化問題在設(shè)計中，優(yōu)化設(shè)計方案的好壞僅依賴于一項設(shè)計指標，即所建立的目標函數(shù)僅含一個目標的函數(shù)，這樣的目標函數(shù)稱為單目標函數(shù)，屬于單目標優(yōu)化設(shè)計問題。在許多實際設(shè)計中，一個設(shè)計方案又企望有幾項設(shè)計指標同時都達到最優(yōu)值，這種在優(yōu)化設(shè)計中同時要求兩項極其以上設(shè)計指標達到最優(yōu)值得問題，成為多目標優(yōu)化設(shè)計，目標函數(shù)稱為多目標函數(shù)。第八頁，共39頁。7.3.1多目標優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計中，若有m個設(shè)計指標表達的目標函數(shù)要求同時達到最優(yōu)，則表示為上式稱為向量目標函數(shù)，是多目標函數(shù)；式中的f1(x),f2(x),……，fm(x)稱為目標函數(shù)中的各分目標函數(shù)。第九頁，共39頁。數(shù)學(xué)模型的一般表達式gu(x)≥0(u=1,2,……，p)hv(x)=0(v=1,2……，q<n)為了與單目標優(yōu)化問題相區(qū)別，在目標函數(shù)前加V，即表示為第十頁，共39頁。7.3.2多目標優(yōu)化設(shè)計的概念在單目標優(yōu)化設(shè)計中，對于各種性態(tài)函數(shù)，總可以通過對迭代點函數(shù)值的比較，找出全局最優(yōu)解，對任意兩個解都能判斷其優(yōu)劣。而多目標函數(shù)問題與單目標則有根本區(qū)別，任意兩個解之間，就不一定能判斷出優(yōu)劣。1絕對最優(yōu)解定義一：一般表達式多目標設(shè)計優(yōu)化問題，若包括所有的J=1，2，……m對于任意的設(shè)計點x∈D都有fj(x)≥fj(x*)成立，則點x*是多目標優(yōu)化問題的絕對最優(yōu)解。第十一頁，共39頁。無約束一維多目標優(yōu)化設(shè)計問題(維數(shù)n=1，分目標m=2)x*為絕對最優(yōu)解得迭代點，絕對最優(yōu)解（x*，F(xiàn)*）約束一維多目標優(yōu)化設(shè)計解的情況。在可行域[0，1]中，絕對最優(yōu)解發(fā)生在x*=1處。存在絕對最優(yōu)解（x*，F(xiàn)*）n=2m=2約束多目標優(yōu)化設(shè)計解的情況，點x*為最優(yōu)點。第十二頁，共39頁。2有效解（非裂解）與劣解定義二：對于一般表達式，若有設(shè)計點x∈D，不存在任意的x∈D，使F(x)≤F(x*)成立，或fj(x)≥fj(x*)，對于所有的j=1，2，……m成立。則稱x*為有效解或非劣解。例7.1一個二維分目標（n=1，m=2）的多目標優(yōu)化問題為D：第十三頁，共39頁。見右下圖。取x=b，該點是有效解。因為在可行域D內(nèi)，任取另一點X，不存在F(x)≤F(b)，即f1(x)≤f1(b)，又同時有f2(x)≤f2(b)。x=b點滿足有效解定義。同理，區(qū)間[1，2]中的任意一點都滿足有效解定義。所以，區(qū)間[1，2]組成了有效解（非劣解）集。第十四頁，共39頁。定義三：在可行域D內(nèi)，除絕對最優(yōu)解與有效解集以外，部分的設(shè)計點均稱劣解點，劣解點的全部稱為劣解集。例7.2一個二維分目標的多目標優(yōu)化設(shè)計問題。D：見右圖，在可行域[0，4]內(nèi)，區(qū)間[1，3]為有效解集；[0，1]，[3，4]為劣解集。第十五頁，共39頁。例7.3二維（n=2）兩個分目標（m=2）優(yōu)化問題。分目標函數(shù)為f1(x),f2(x)，可行域D目標函數(shù)等值線見右下圖。該優(yōu)化問題不存在絕對最優(yōu)解，可行域D邊界上一段曲線A1至A2為有效解集，在可行域的其余部分全部構(gòu)成劣解集。將其映射到目標函數(shù)構(gòu)成空間圖(b)，曲線A1A2與Q1Q2對應(yīng)，一些目標函數(shù)值比較小的解集在曲線Q1Q2上，為有效集。第十六頁，共39頁。3最終解（選好解）從有效解中選出最終解或稱選好解。如無某種要求，一般從有效解集（A1A2曲線或Q1Q2曲線）中任選一點，都可作為最終解；有時，設(shè)計者要根據(jù)設(shè)計問題的不同要求與意愿，從中選出一個符合某種要求“滿意”的解作為最終解。第十七頁，共39頁。7.3.3多目標優(yōu)化問題的求解方法多目標優(yōu)化求解方法大體分為兩大類。其一是將多目標優(yōu)化問題化為一系列單目標優(yōu)化問題求解；另一是將多目標優(yōu)化問題重新構(gòu)造成一個新的函數(shù)，即評價函數(shù)，從而將多目標優(yōu)化求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤u價目標函數(shù)的最優(yōu)解。一，寬容分層序列法該方法的基本思想是將第十八頁，共39頁。中的m個目標函數(shù)按工程中某種意義分清主次，按重要程度逐一排隊，重要的目標函數(shù)排在前面，然后依次對分目標函數(shù)求各自的最優(yōu)解，只是最后一個目標函數(shù)求優(yōu)應(yīng)在前一個目標最優(yōu)解的集合域內(nèi)求優(yōu)。但由于分目標函數(shù)的最優(yōu)解常常是唯一的，其最優(yōu)解域的集合只有一個設(shè)計點那么求下一個目標函數(shù)的最優(yōu)解就無意義了。為了使分層序列法不是去在有效解中秋最終解（選好解）的功能，則將各目標函數(shù)的最優(yōu)值給與放寬，使在后一個分目標函數(shù)求優(yōu)時，能在前一個最優(yōu)值附近的某一范圍內(nèi)求優(yōu)。具體做法如下：第十九頁，共39頁。對一般表達式的多目標優(yōu)化設(shè)計問題，給各分目標函數(shù)最優(yōu)值的寬容量分別是……則寬容分層序列法的步驟如下①②③m求解得到最優(yōu)解…………第二十頁，共39頁。上式也可寫為①②求解得到最優(yōu)解i=1，2，……，m-1取最后一個目標函數(shù)的最優(yōu)點作為多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)點x*。即第二十一頁，共39頁。二，線形加權(quán)法線形加權(quán)法又稱線形組合法，它是處理多目標優(yōu)化問題常用的較簡單的一種方法。按各分函數(shù)的重要程度，對應(yīng)的選擇一組加權(quán)系數(shù)λ1，Λ2，……，λm。其界線為（j=1，2，……m）用fj(x)與λj(x)（j=1，2，……m）的線形組合構(gòu)成一個評價函數(shù)第二十二頁，共39頁。求新的評價函數(shù)最優(yōu)解，即gu(x)≥0hv(x)=0D：x*即將一般式的單多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成求上式的單目標優(yōu)化問題第二十三頁，共39頁。關(guān)于確定一組合理的加權(quán)系數(shù)λj（j=1，2……，m），希望能準確的反映各目標函數(shù)在整個多目標優(yōu)化問題中的重要程度，它是一個困難且較負雜的問題，如果取得合理，則可以達到預(yù)期優(yōu)化的目的，否則有可能造成計算謬誤而失敗。目前，確定加權(quán)系數(shù)有的是設(shè)計者評設(shè)計經(jīng)驗直接給定，也有用試算統(tǒng)計計算。（j=1，2，……m）其中，（j=1，2……，m）即分目標在可行域內(nèi)的最優(yōu)目標函數(shù)值。式中的反映了各分目標函數(shù)離開各自最優(yōu)值得程度。第二十四頁，共39頁。三，理想點法多目標優(yōu)化問題的一般式中，先求出各分目標函數(shù)在可行域D內(nèi)的最優(yōu)解（j=1，2……，m）最有函數(shù)值向量上式稱為理想解。如果在本問題不存在絕對最優(yōu)解的情況下，對于向量目標函數(shù)來說理想解似得不到的；但要力求使各分目標僅可能接近各自的理想值，則可以認為達到有效解中的選好解。第二十五頁，共39頁。在實際的設(shè)計中，也常常按照設(shè)計者的經(jīng)驗與期望制定出一個合理的各分目標函數(shù)值構(gòu)成理想解將與在寫法上統(tǒng)一為，在構(gòu)造設(shè)計方案與理想解之間的離差函數(shù)U(x),U(x)函數(shù)可取以下形式相對離差加權(quán)相對離差第二十六頁，共39頁。平方和加權(quán)離差絕對值離差將式中的多目標函數(shù)構(gòu)造出以上幾式的單目標函數(shù)作為評價函數(shù)，用評價目標函數(shù)的解作為原多目標優(yōu)化問題的最終解。其表達式為gu(x)≥0hv(x)=0D：第二十七頁，共39頁。四，乘除法該方法適于處理下面問題。按分目標函數(shù)的性質(zhì)可分為兩類，兩類的期望相反。其中的一類是表現(xiàn)目標函數(shù)值越小越好，如追求體重輕，結(jié)構(gòu)緊湊，原材料消耗少，加工成本和加工費低，磨損量和應(yīng)力小等；另外一類表現(xiàn)為目標函數(shù)值越大越好，如產(chǎn)品產(chǎn)量，機械效率，零件強度及剛度，利潤，承載能力等。建議如下構(gòu)造評價函數(shù)：其中，s(s<m)為第一類函數(shù)，(分目標函數(shù)期望取小)第二十八頁，共39頁。如果有兩個分目標函數(shù)f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。如下圖所示過域Df內(nèi)的任一通過原點o的直線oA，它的斜率為當(dāng)時，即直線oA移到與域Df邊界的左方相切，切點為Q，點Q對應(yīng)的函數(shù)值即為乘除法求得的選好解第二十九頁，共39頁。五，協(xié)調(diào)曲線法這種方法是用來解決設(shè)計目標互相矛盾的多目標設(shè)計優(yōu)化問題，為求最終解須對一般式個分目標函數(shù)加以協(xié)調(diào)，以求在有效解集中求出選好解，作為多目標優(yōu)化問題的最終解?，F(xiàn)以兩個分目標函數(shù)組成的多目標優(yōu)化問題為例。第三十頁，共39頁。兩分目標的最優(yōu)點分別在A1及A2，它們的分目標函數(shù)值為A1點A2點在可行域D內(nèi)任取一點B，其分目標函數(shù)值為當(dāng)固定，極小化f1(x)的可行域邊界點C，C點的分目標函數(shù)值為當(dāng)固定，極小化f2(x)的可行域邊界點C，C點的分目標函數(shù)值為第三十一頁，共39頁。可見，C，D兩點都優(yōu)于B點，在CD曲線上任選一點代表的方案至少有一個目標函數(shù)值的到改善，所以CD曲線上任一點都優(yōu)于B點。曲線A1CDA2代表著有效解的解集，故稱此曲線為協(xié)調(diào)曲線。選好解（最終解）應(yīng)從協(xié)調(diào)曲線上選取。為從協(xié)調(diào)曲線上確定選好解，再以f1(x),f2(x)為坐標建立一個新的坐標系，見前面圖2。將圖1的協(xié)調(diào)曲線轉(zhuǎn)換到新的坐標系中，對應(yīng)關(guān)系為A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，則將A1CDA2曲線轉(zhuǎn)換到2圖中的Q1GHQ2曲線。為在協(xié)調(diào)曲線上確定一個選好解，一般需另外一項指標，為此在2圖中畫出滿意曲線，隨著滿意程度的增加可使分目標函數(shù)值均有所下降，直到o點，此點是從協(xié)調(diào)曲線上得出的最滿意設(shè)計方案。分目標函數(shù)值為第三十二頁，共39頁。如何確定滿意函數(shù)或滿意曲線，要按工程實際情況，很多時候是依設(shè)計者的實踐經(jīng)驗而設(shè)置；也可以根據(jù)實驗數(shù)據(jù)而定。必要時對分目標函數(shù)實行線形加權(quán)。協(xié)調(diào)曲線法適合分目標追求出現(xiàn)矛盾情況。要在有效解集中找出最滿意的設(shè)計方案。在優(yōu)化過程中，有時為了某個具有較差值的分目標也能達到較為理想，則要增大其他分目標函數(shù)值為代價，其主要思想是對各分目標函數(shù)進行協(xié)調(diào)，互相之間做出讓步，最終取得一個工程實際能認可的滿意方案。對于兩個以上的分目標的多目標優(yōu)化問題，所畫的協(xié)調(diào)曲線就變成多維抽象空間的超曲面，不可能用圖形來表示，則只能按數(shù)學(xué)模型由計算機自動處理。第三十三頁，共39頁。7.4關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計問題7.4.1離散變量優(yōu)化設(shè)計的基本概念7.4.2離散變量優(yōu)化方法簡介①湊整法②網(wǎng)格法③離散復(fù)合型法④離散型懲罰函數(shù)法第三十四頁，共39頁。7.5優(yōu)化方法的選擇及評價準則7.5.1選擇優(yōu)化方法需考慮的問題對優(yōu)化設(shè)計問題，在建立了數(shù)學(xué)模型之后，就要選擇一個恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑏磉M行最優(yōu)解得求解。目前，一般的做法是由設(shè)計者根據(jù)實際優(yōu)化設(shè)計問題的特點，在對各種優(yōu)化方法按評價準則所作的優(yōu)缺點介紹，結(jié)合已有的一些經(jīng)驗來適當(dāng)?shù)倪x取算法。根據(jù)優(yōu)化問題的特點，恰當(dāng)?shù)倪x擇優(yōu)化方法是一個很重要的問題。下面就優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型方面要考慮的一些因素分述如下：第三十五頁，共39頁。⑴數(shù)學(xué)模型的類型

包括以下幾個方面：是有約束還是無約束，如有約束是等式約束還是不等式約束或是兩者兼有；設(shè)計變量是