第章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

第14章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算14.1概述14.2虛功原理和單位荷載法14.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算14.4圖乘法14.5靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的位移14.6幾個(gè)互等定理第14章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本章的學(xué)習(xí)，熟悉虛功原理和單位荷載法；掌握圖乘法；能夠進(jìn)行靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算。14.1.1桿系結(jié)構(gòu)的位移（1）結(jié)構(gòu)位移的定義

結(jié)構(gòu)在荷載或其它因素作用下，會發(fā)生變形。由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置將會移動，桿件的橫截面會轉(zhuǎn)動，這些移動和轉(zhuǎn)動稱為結(jié)構(gòu)的位移。

14.1概述A點(diǎn)的線位移水平線位移豎向線位移截面A的角位移

（2）位移的分類位移線位移：截面形心的直線移動距離角位移：截面的轉(zhuǎn)角位移相對位移絕對位移廣義位移

除荷載外，溫度改變、支座移動、材料收縮、制造誤差等因素，也將會引起位移

（3）引起位移產(chǎn)生的原因14.1.2

計(jì)算位移的目的（１）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度，即驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的位移限制值。（２）為超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算打下基礎(chǔ)。在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，除利用靜力平衡條件外，還需考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。（３）在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過程中，有時(shí)需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進(jìn)行位移計(jì)算。14.2虛功原理和單位荷載法14.2.1

變形體的虛功原理

功是力對物體在一段路程上累積效應(yīng)的量度，也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度。

力在自身引起的位移上所作的功稱為實(shí)功。力Fp1在位移

11上作的實(shí)功當(dāng)靜力加載時(shí)，即：FP1由0增加至FP1

11

由0增加至

11W11=FP111

虛功是力在其他因素引起的位移上作的

特點(diǎn)是位移與作功的力無關(guān)，在作功的過程中，力的大小保持不變梁彎曲后，再在點(diǎn)2處加靜力荷載FP2，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移

12為力FP2引起的FP1的作用點(diǎn)沿FP1方向的位移。力FP1在位移

12

上作了功，為虛功，大小為

W12=FP112

在小變形條件下，12由圖示的原始形狀、尺寸計(jì)算，并稱此狀態(tài)為虛功計(jì)算的位移狀態(tài)。與之相應(yīng)，F(xiàn)P1單獨(dú)作用的狀態(tài)為虛功計(jì)算的力狀態(tài)。

當(dāng)力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功時(shí)，力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上作內(nèi)力虛功。虛功原理：任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作虛功的總和，等于變形體的內(nèi)力在虛位移的相應(yīng)變形上所作虛功的總和。14.2.2

單位荷載法（1）結(jié)構(gòu)位移定義

定義：應(yīng)用虛功原理，通過加單位荷載求實(shí)際位移的方法。（2）計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般公式K+RiCi=++式中，

=1則

K=d++NQ—

RiCi

對于實(shí)際狀態(tài)，微段的變形與內(nèi)力的關(guān)系如右圖所示。經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)，可得

式中，按等內(nèi)力、等截面分段積分求和。設(shè)虛擬狀態(tài)，用上式計(jì)算結(jié)構(gòu)指定位移的方法稱為單位荷載法。14.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下

的位移計(jì)算14.3.1靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式（1）靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式

如果結(jié)構(gòu)只有荷載作用，因支座移動引起的剛體位移Ci＝0，位移公式則為對于曲桿（曲率半徑r），荷載作用下的位移公式為彎矩的影響軸力的影響＋剪力的影響曲率的影響圖a所示矩形截面圓弧形鋼桿，軸線的半徑與截面高度之比r/h=10,彈性模量之比E/G=2.5，曲桿B端形心在豎向荷載FP作用下的豎向線位移由對應(yīng)于彎矩、軸力、剪力、曲率的四部分組成：

設(shè)虛擬狀態(tài)（圖b）計(jì)算虛內(nèi)力，用截面法計(jì)算實(shí)際狀態(tài)的內(nèi)力，代人位移公式運(yùn)算，并注意矩形截面的不均勻系數(shù)=1.2，計(jì)算結(jié)果為式中彎矩、軸力、剪力、曲率對應(yīng)的四部分之比M

:

N:Q:

r=1200:1:3:2

=（2）各類桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式（1）梁和剛架梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的，位移計(jì)算公式中取第一項(xiàng)便具有足夠的工程精度（2）桁架各桿為鏈桿，而且是同材料的等直桿。桿內(nèi)只有軸力，且處處相等。因而只取公式中的第二項(xiàng)并簡化為實(shí)用的形式（3）組合結(jié)構(gòu)既有梁式桿，又有鏈桿，取用公式中的前兩項(xiàng)（4）拱一般計(jì)軸力、彎矩的影響，剪切變形的影響忽略不計(jì)（3）虛擬狀瓶態(tài)的選容取欲求結(jié)旁構(gòu)在荷蓮載作用謎下的指斧定位移填，須取吃相應(yīng)的虛擬狀塑態(tài)。即取同訊一結(jié)構(gòu)，凈在要求位容移的地方擴(kuò)，沿著要積求位移的怠方位虛加霞單位荷載塑：1）欲求至一點(diǎn)的線位移，加一慌個(gè)單位繩集中力2）欲正求一處挽的角位移，加一繪個(gè)單位府集中力肉偶3）欲梁求兩點(diǎn)造的相對線位臟移，在兩替點(diǎn)的連茶線上加席一對指構(gòu)向相反歷的單位閥集中力4）欲求獻(xiàn)兩處的相對角位情移，加一尾對指向朱相反的腿單位集泡中力偶5）欲污求桁架姐某桿的角位移稍在桿的轉(zhuǎn)兩端加驚一對平妄行、反潮向的集爛中力，葛兩力形癥成單位單力偶。力偶愛臂為d煙，每良一力的茶大小為兵1/d力和力偶送統(tǒng)稱為廣雀義力，單位廣義檢力用=1表示線位移和渣角位移統(tǒng)西稱廣義位移，用⊿還表示單位廣義徹力有截然貌相反的兩始種設(shè)向，皮計(jì)算出的帖廣義位移寫則有正負(fù)慢之分：正值表譽(yù)示廣義姐位移的鞠方向與推廣義力晌所設(shè)的暮指向相錢同負(fù)值表摔示廣義眉位移的薯方向與袋廣義力度所設(shè)的訊指向相縣反計(jì)算步內(nèi)驟為（1）設(shè)術(shù)虛擬狀態(tài)百；（2）候計(jì)算,FNP;（3）用腐桁架的位營移計(jì)算公乘式計(jì)算位若移?！纠?4-1】圖示桁示架各桿艦的EA來相等，詠求C僚結(jié)點(diǎn)的兼豎向位嚴(yán)移vc14.3鋤.2靜妻定桁架的總位移計(jì)算【解】（1）設(shè)封虛擬狀態(tài)粉（如上圖鞋b所示）（2）計(jì)孔算N和FNP（標(biāo)于上恒圖b蝦.a毒）（3）代親公式求C睬點(diǎn)的豎向葡位移【例14-2】圖示鋼澤桁架，慘圖中括斜號內(nèi)數(shù)升值為桿遞件橫截生面面積塞（單位弄cm2潤）。扇許可撓年度與跨于長的比確值，試校核謊桁架的籠剛度?！窘狻繉ΨQ簡柔支桁架吩在對稱對荷載作臺用下，醉最大撓居度發(fā)生黑在桁架甚的對稱局面處。須計(jì)算結(jié)夜點(diǎn)3的豎改向位移，篇然后進(jìn)行州剛度校核環(huán)。1）建痕立虛擬無狀態(tài)（才如圖b筒所示湖）2）計(jì)算N和FNP，并標(biāo)胖于圖b司、a泰上3）求偏3點(diǎn)的箏豎向位巧移，進(jìn)飛行剛度宴校核計(jì)算半更個(gè)桁架叨的，列表如耗下:桿件編號/mmA/mm2/(1/mm)FNP/NN上弦6-76000100000.6-750000-0.75337500下弦1-312000100001.2+600000+0.375270000斜桿1-610000125000.8-1000000-0.625500000斜桿3-61000050002250000+0.625312500豎桿2-600

豎桿3-7001420000根據(jù)上國表，得<所以，桁古架滿足剛黑度條件（1）梁的位調(diào)移撓度：橫截面功形心在柱垂直于惱軸線方奮向的線胞位移用w表籠示，規(guī)定w宇向下打?yàn)檎?。轉(zhuǎn)角：橫截面份的角位至移，規(guī)定陡順時(shí)針厘轉(zhuǎn)為正14.3由.3倆梁的位射移及剛度逝校核在工程設(shè)疫計(jì)手冊中矛列有常見刪梁的位移探的計(jì)算結(jié)聽果（如表肝11.1倒所示），滋可供計(jì)算赴時(shí)查用。表11廁.1注梁的撓黑度與轉(zhuǎn)閉角公式荷載類型轉(zhuǎn)角最大撓度1.懸臂梁集中荷載作用在自由端2.懸臂梁彎曲力偶作用在自由端續(xù)表時(shí)3.懸臂梁均勻分布荷載作用在梁上4.簡支梁集中荷載作用跨中位置上－時(shí)--（在處）5簡支梁均勻分布荷載作用在梁上6簡支梁彎曲力偶作用在梁的一端續(xù)表-（2）梁的剛度獎校核梁的位移答過大，則謙不能正常罪工作對于梁吧的撓度病，其許自可值以拳許可的銷撓度與懇梁跨長愈之比為標(biāo)準(zhǔn)在工程央上，吊哥車梁的＝1/6役00鐵路鋼桁下梁的絲式＝1/偉900梁的剛亞度條件姿為:【例14-3】圖示簡支咐梁由工字謹(jǐn)鋼制成，竭跨度中慘點(diǎn)處承相受集中載蝕荷Fp。已知Fp=40K雄N，出跨度=3m，許用應(yīng)父力=16掌0MP醒a(bǔ)，許用灣撓度[w]尤=/500，彈性模量E=2×105MPa，試選擇匯工字鋼的蓬型號?！窘狻浚?）按出強(qiáng)度條件俘選擇工字武鋼型號梁的最塑大彎矩賠為：＝按彎曲正價(jià)應(yīng)力強(qiáng)度億條件選截誓面查型鋼表成選用20瞇a工字鋼奶,其彎曲勸截面系數(shù)諒為237獅cm3，諸慣性矩I梯=237匙0cm4（2）校繼核梁的剛俱度=4.倆75m紡m<[]=梁的剛帥度足夠所以，選喉用20a墻工字鋼（3）提高梁抗連彎剛度的按措施梁的撓度塞和轉(zhuǎn)角與介梁的抗彎剛度結(jié)EI、梁的跨度溜L(fēng)、荷堵載作用情況姨有關(guān)，那毒么，要提駁高梁的抗六彎剛度可詞以采取以礦下措施：增大梁摩的抗彎苦剛度E鞭I增大梁裂的EI省值主要杜是設(shè)法過增大梁太截面的夸慣性矩煎I值絹，一般綠不采用肢增大E爭值的輝方法。在截面面熄積不變的薄情況下，恢采用合理奸的截面形臟狀，可提喬高慣性矩悼I。（2）東減小梁精的跨度剛L梁的變爆形與其何跨度的禮n次冪庭成正比柄。設(shè)法白減小梁圾的跨度殃L，油將有效天地減小族梁的變版形，從疾而提高孟其剛度領(lǐng)。在結(jié)公構(gòu)構(gòu)造面允許的停情況下俘，可采厚用兩種住辦法減品小L筒值：①增加將中間支括座而②兩端支修座內(nèi)移如圖所示鬧，將簡支板梁的支座軌向中間移蹤蝶動而變成禁外伸梁，嫂一方面減小了梁鑼的跨度，從而減板小梁跨中博的最大撓溫度；另一黃方面在梁外伸弟部分的虛荷載作奶用下，使梁朵跨中產(chǎn)生治向上的撓瘡度（圖c茂），從而懲使梁中段米在荷載作滴用下產(chǎn)生盈的向下的盈撓度被抵設(shè)消一部分臭，減小了斥梁跨中的義最大撓度茅值。(3)紀(jì)改善荷載廢的作用情田況在結(jié)構(gòu)糞允許的而情況下陡，合理截地調(diào)整眨荷載的遣位置及回分布情婦況，以蔬降低彎案矩，從舅而減小瘋梁的變好形，提臘高其剛沒度。如忽圖所示筑，將集中力分么散作用，訂甚至改為階分布荷載壓，則彎矩賴降低，從蛋而梁的變份形減小，稱剛度提高慌。（1）圖乘法邪的適用員條件：（1）民桿段的趴軸線為帝直線（2）糊桿段的梨彎曲剛享度EI辛為常數(shù)直梁和剛竭架的位移班公式則為(3)棍MP圖和圖中至少帽有一個(gè)直融線圖形14.4誘圖劣乘法14.4漏.1圖肌乘法原理（２）圖乘法原傘理圖乘法求交位移的一立般表達(dá)式坊為注意：[1]躬.賣應(yīng)取自輔直線圖讓中[2]裝.若工與在桿件裳的同側(cè)刃,取正值課;反之陽,取負(fù)習(xí)值[3].指如圖形屢較復(fù)雜，稅可分解為待簡單圖形詠.（3）圖乘法梳的步驟(1).畏設(shè)虛擬狀江態(tài)；(2).受畫圖。圖；(3).租圖乘求位劍移下面介慣紹幾個(gè)酬規(guī)則圖小形的面韻積和形妥心位置（4）圖形的返分解當(dāng)圖形停的面積微和形心裂不便確婆定時(shí)，破可以將菠其分解膀成幾個(gè)賄簡單的職圖形，世分別與蹄另一圖緩形相應(yīng)設(shè)的縱坐食標(biāo)相乘羨。梯-梯熟同側(cè)組益合：梯-梯喇同側(cè)組蜻合：梯-梯左異側(cè)組伯合由區(qū)段疊惠加法作的公彎矩圖激，其彎矩軍圖可以看反成一個(gè)梯爛形和一個(gè)們規(guī)則拋物派線圖形的它疊加。曲-折組摧合階梯形績截面桿下面舉例市應(yīng)用圖乘緩法求直梁么和剛架的襯位移【例14-4】試祖求圖a所少示外伸梁京C點(diǎn)的豎固向位移CV。梁的EI=預(yù)常數(shù)14.餅4.2肝圖溝乘法計(jì)野算直梁毛和剛架根的位移【解】MP、圖分別如毒圖(b租).(c相)所示。BC段肯的MP圖飽是標(biāo)準(zhǔn)二哨次拋物線雁；AB段的韻MP圖較斃復(fù)雜，但可將其播分解為一棗個(gè)三角形遭和一個(gè)標(biāo)類準(zhǔn)二次拋蒼物線圖形檢。由圖乘偽法得代入以上貪數(shù)據(jù),于差是【例14-2】盆試求圖a矮所示伸臂膀梁C點(diǎn)的侮豎向位移菊c足v。設(shè)EI=【解】荷載彎矩糧圖和單位蔑彎矩圖如臉圖b股c所示。在AB偶段,印MP和圖均是三另角形；在BC騾段，M饞P圖可看作枝是由B全.C喊端的彎廳矩豎標(biāo)政所連成遺的三角河形與相應(yīng)仙簡支梁除在均布片荷載作黑用下的鎮(zhèn)標(biāo)準(zhǔn)拋仿物線圖[即炭圖b中叛虛線與省曲線之鍋間包含醒的面積并疊加而謝成。將上述謝各部分廁分別圖蛾乘再疊值加，即澡得【例14-6】試求圖柜(a)所征示剛架結(jié)背點(diǎn)B的水僅平BH。位移設(shè)各桿顧為矩形揮截面，魯截面尺梢寸為bxh抵，慣性矩l=,E為常數(shù)栽，只考慮彎于矩變形哪的影響踏?！窘狻浚合茸鞒鯩P圖和圖,分別如圖(b)蹲(c)所示。應(yīng)用圖乘棍法求得結(jié)禮點(diǎn)B的水?dāng)偲轿灰茷槭荆红o定結(jié)床構(gòu)由于吳支座移何動并不全產(chǎn)生內(nèi)盤力也無欣變形，鍬只發(fā)生廟剛體位略移。如圖撇a所示福靜定結(jié)肚構(gòu),其循支座發(fā)生水腳平位移愛C1蛛、豎向友位移C冰2和仿轉(zhuǎn)角C桃3，現(xiàn)要求由絨此引起的媽任一點(diǎn)沿刃任一方向稅的位移，哭例如求k捎點(diǎn)豎向位伍移K。14.5記靜定結(jié)磨構(gòu)由于支國座位移予所引起的充位移這種位移卡仍用虛功測原理來計(jì)稱算。由位蠅移計(jì)算的駁一般公式因?yàn)閺膶?shí)耳際狀態(tài)中蠶取出的微沈段ds的綿變形為d=du=于是上金式可簡痕化為K=-Ci－這就是靜中定結(jié)構(gòu)在怪支座位移爹時(shí)的位移哪計(jì)算公式傭。式中為虛擬腰狀態(tài)圖怖b的支徑座反力杰，Ci為實(shí)坡際狀態(tài)的筑支座位移佩，Ci為拉反力虛芳功。當(dāng)與實(shí)際支愈座位移C薦i的方境向一致時(shí)其乘御積取正，乞相反時(shí)取負(fù)。此外，上式右耀邊前面女還有一個(gè)負(fù)停號，不可優(yōu)漏掉。【例14-7】圖(皺a)所信示靜定攻剛架，扯若支架墾A發(fā)生愁圖示的尋位移:a=1刪.0cm宜,b=1鴨.5cm.cH、豎向錦位移Cv。試求C點(diǎn)秧的水平位渠移【解】：在C冤點(diǎn)處分學(xué)別加一踐水平和犁豎向的狡單位力牢，求出傷其支座田反力如火圖(釘b)和(c)鍬所示謀。由公式－K=-Ci得：cH=-(1被×1.0翼-1×1怨.5)=拿0.5c圓mcv=-1漂.5×列1=-蜘1.5收cm圖示結(jié)構(gòu)前的兩種狀塑態(tài)，分別濱作用FP1和FP2，稱之為第符一狀態(tài)和它第二狀態(tài)攀。14.跑6絕幾個(gè)互抽等定理14.6刑.1崇功互等定溉理虛功按W12為虛功W敵21為比較，地得W12=W21即一般形石式為因此得到固功的互等肅定理：第一狀糠態(tài)的外選力在第勁二狀態(tài)否的相應(yīng)廢位移上豈所作的之外力虛桌功，等忽于第二城狀態(tài)的騎外力在夕第一狀漆態(tài)的相瘡應(yīng)位移形上所作律的外力凳虛功。條件：在糖