第二章彈性力學(xué)的基本方程

§2-6彈性力學(xué)問題的一般提法§2-7指標(biāo)表示法§2-8迭加原理§2-9彈性力學(xué)問題解的唯一性原理§2-10圣維南原理目前一頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點§2-1

載荷應(yīng)力1.外力的表示外力：直接施加在物體上引起物體的變形與內(nèi)力．根據(jù)外力作用區(qū)域分為體積力和表面力

目前二頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點體積力：分布在物體的體積內(nèi)，作用在物體內(nèi)的所有質(zhì)點上，例如重力、慣性力、電磁力等。

目前三頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點體力矢量表示為：

目前四頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點表面力：作用在物體表面上的外力，簡稱面力。例如，液體或氣體的壓力，固體間的接觸力等，通常用面力矢量

目前五頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點2.應(yīng)力在載荷的作用下，物體的各部分之間要產(chǎn)生相互作用，這種物體內(nèi)的一部分對另一部分的相互作用力，稱為內(nèi)力。

目前六頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點彈性體內(nèi)一點內(nèi)力集度表示為：

注意：同一點不同截面上的內(nèi)力不同．目前七頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點2.應(yīng)力分量應(yīng)力正負(fù)號的規(guī)定：正面上的應(yīng)力分量與坐標(biāo)軸的正方向一致為正，負(fù)面上的應(yīng)力分量與坐標(biāo)的負(fù)方向一致為正；反之為負(fù)。

目前八頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點應(yīng)力分量：

目前九頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點1.微元體：首先，在物體內(nèi)一點P的附近，用三組坐標(biāo)面的平行平面截出一個微小的平行六面體單元，三條棱邊的長度分別為dx、dy、dz，如圖2-6示。作用在微元體上的體力的三個分量仍用和表示。

§2-2平衡（運動）微分方程目前十頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點

目前十一頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點2.力平衡微分方程由得：目前十二頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點又稱納維葉(Navier)方程。目前十三頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點3.力矩平衡方程（剪應(yīng)力互等定理）。目前十四頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點3.運動微分方程。如果物體處于運動狀態(tài)，根據(jù)達(dá)朗伯（dAlembert）原理，在體力項中引入慣性力：和這里為材料密度，t為時間。

目前十五頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點運動微分方程：目前十六頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點§2-3斜面應(yīng)力公式應(yīng)力邊界條件過物體內(nèi)的一點P取出一個微四面體，設(shè)斜面

的面積為dA，則三個負(fù)面的面積分別為

目前十七頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點目前十八頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點1.四面體的平衡方程由x方向的平衡條件得：將各面面積代入得：目前十九頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點同理可得：上式稱為斜面應(yīng)力公式，又稱Cauchy公式。

目前二十頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點2.斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力目前二十一頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點3.邊界條件上式稱為應(yīng)力的邊界條件，l,m,n為斜面外法線方向余弦．目前二十二頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點§2-4位移幾何方程1.位移物體內(nèi)各點位置的改變量稱為位移。

用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三個坐標(biāo)方向的分量，并規(guī)定沿坐標(biāo)軸正方向的位移分量為正，反之為負(fù)。研究物體位形變化，可以將位移分解成兩類：

(1)物體剛體位移(2)物體內(nèi)質(zhì)點間相對位移

目前二十三頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點2.應(yīng)變

線元的相對伸長，稱為正應(yīng)變，沿x、y、z,和表示，即方向線元的正應(yīng)變分別用,目前二十四頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點目前二十五頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點正交線元直角的變化稱為剪應(yīng)變，沿x、y、z直角的變化分和表示，方向三個正交線元別用，，符號規(guī)定：正應(yīng)變以伸長為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變以直角的減小為正，反之為負(fù)。這種規(guī)定與應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定是一致的。

目前二十六頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點３.幾何方程幾何方程是物體變形過程的位移－應(yīng)變關(guān)系．設(shè)彈性體內(nèi)任一點Ｐ的位移分別為u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),為簡化起見，通過投影的變形分析來建立應(yīng)變－位移關(guān)系．目前二十七頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點物體變形的位移及在坐標(biāo)面上投影目前二十八頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點以oxy平面上的投影為例分析物體變形的應(yīng)變－位移關(guān)系目前二十九頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點以oxy平面上的投影為例分析物體變形的應(yīng)變－位移關(guān)系目前三十頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點

P點的鄰近點A和B的坐標(biāo)分別為(x+dx,y,z)和(x,y+dy,z),將Ａ，Ｂ點的位移按Taylor級數(shù)在Ｐ點處展開：Ａ點：Ｂ點：目前三十一頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點

在小變形條件下：目前三十二頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點目前三十三頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點在小變形條件下目前三十四頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點同例分析平面yoz和平面zox可得：方程組稱為幾何方程，又稱為柯西（Cauchy)方程目前三十五頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點§2-5廣義Hooke定律1.簡單應(yīng)力狀態(tài)

簡單拉壓：

純剪切：

目前三十六頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點2.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)目前三十七頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點3.體積應(yīng)變

稱為體積應(yīng)變

目前三十八頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點4.用應(yīng)變表示應(yīng)力同理目前三十九頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點令則目前四十頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點于是式中中稱為拉梅常數(shù)注意：是應(yīng)變張量分量而不是剪應(yīng)變分量．上式稱為用應(yīng)變表示應(yīng)力的廣義Hooke定律

目前四十一頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點上式還可進(jìn)一步寫成：目前四十二頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點§2-6彈性力學(xué)問題的一般提法

我們通過對平衡、幾何和物理三個方面的分析建立了彈性力學(xué)的全部基本方程，即平衡（運動）微分方程、幾何方程和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；目前四十三頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點又稱納維葉(Navier)方程。(1)平衡微分方程目前四十四頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點運動微分方程：目前四十五頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點(2)幾何方程方程組稱為幾何方程，又稱為柯西（Cauchy)方程目前四十六頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點(3)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(本構(gòu)關(guān)系)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(本構(gòu)關(guān)系)目前四十七頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點用應(yīng)變表示的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

三大控制方程含蓋所有彈性力學(xué)問題,方程組具有15個未知量15個方程，可以求解。

具體彈性力學(xué)問題,必須與相應(yīng)的彈性力學(xué)問題,為此需知具體問題的邊界條件。目前四十八頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點（4）邊界條件（ⅰ）應(yīng)力邊界條件（ⅱ）位移邊界條件（ⅲ）混合邊界條件目前四十九頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點§2-7指標(biāo)表示法

力的分量、應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量引用的記號法，是一種公認(rèn)的表示方法。但有由于控制方程的表示過于冗長，為減少篇幅，在力學(xué)等大多數(shù)文獻(xiàn)中，在理論推導(dǎo)采用指標(biāo)表示。

1.指標(biāo)符號

具有相同性質(zhì)的一組量，可以用一個帶下標(biāo)的字母表示。

目前五十頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點位移分量：

u、v、w可以寫成，縮寫后為

坐標(biāo)：x、y、z可以寫成

，縮寫后為單位基矢量：可以寫成，縮寫后為應(yīng)力分量：可以寫成縮寫后為目前五十一頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點應(yīng)變分量：可用表示由此，向量可表示為在三維笛卡爾空間中，下標(biāo)用小寫英文母表示，并取

在二維笛卡爾空間中，下標(biāo)用小寫希臘字母表示，并取

目前五十二頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點三階線性代數(shù)方程組可表示為引用求和記號以后，還可以進(jìn)一步簡寫為目前五十三頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點2.求和約定于是上式可表示為

在表達(dá)式的某項中，某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)一次，則表示要把該項在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和，這就是愛因斯坦（Einstein）求和約定。

重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)（或簡稱啞標(biāo)）。

式中的i，不是求和指標(biāo)。非求和指標(biāo)稱為自由指標(biāo)。

目前五十四頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點注意:而3.求導(dǎo)數(shù)的簡記方法

目前五十五頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點例如:目前五十六頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點4.克羅內(nèi)克（Kroneker）符號

定義:于是目前五十七頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點(1)具有如下性質(zhì)：

(2)(3)(4)目前五十八頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點5.置換符號

置換符號用表示,定義:

(a)循環(huán)序列：i,j,k取不同的值，目前五十九頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點(b)逆循環(huán)序列：i,j,k取不同的值(c)非循環(huán)序列：i,j,k中有兩個以上的指標(biāo)取相同值利用置換符號可以簡化公式

（1）行列式目前六十頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點可表示為（2）向量叉積可表示為目前六十一頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點當(dāng)采用指標(biāo)記法時,彈性力學(xué)問題的控制方程（在V內(nèi)）（1）平衡（運動）微分方程

（2）幾何方程：（在V內(nèi)）（3）應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：目前六十二頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點（在V內(nèi)）（在V內(nèi)）（在V內(nèi)）（4）邊界條件力的邊界條件：（在內(nèi)）

位移邊界條件：（在內(nèi)）目前六十三頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點§2-8迭加原理

考慮同一物體兩組載荷情況:(在上）(在上)位移第二組:體力（在V內(nèi)）面力(在上）第一組:體力（在V內(nèi)）位移面力(在上）目前六十四頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點對第一組載荷應(yīng)有(在V內(nèi))(在上）(在上）目前六十五頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點對第二組載荷應(yīng)有(在V內(nèi))(在上）(在上）目前六十六頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點(在V內(nèi))(在上）(在上）將上面兩組關(guān)系中的對應(yīng)方程相加得若則(在上）目前六十七頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點上式表示在體力及面力作用下,約束位移為彈性力學(xué)問題的解為:應(yīng)力：應(yīng)變：位移：

對于大變形情況，幾何方程將出現(xiàn)二次非線性項，平衡微分方程將受到變形的影響，因而疊加原理不再適用。

對于非線性彈性或彈塑性材料，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)是非線性的，疊加原理不成立。目前六十八頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點§2-9彈性力學(xué)問題解的唯一性原理唯一性定理：在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部各點的應(yīng)力、應(yīng)變解是唯一的，如果物體的整體剛體位移受到約束，則位移解也是唯一的。目前六十九頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點

證明：設(shè)對應(yīng)于同一組載荷、和約束條件存在兩組不同的解，分別記為則、(在V內(nèi)）目前七十頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點(在上）(在上）及(在V內(nèi)）目前七十一頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點(在上）(在上）將以上兩組關(guān)系中的對應(yīng)方程相減，得(在V內(nèi)）(在上）(在上）目前七十二頁\總數(shù)七十四頁\編于十六點上式表明，兩解之差：、和對應(yīng)了一個無體力、無面力的自然狀態(tài)。根據(jù)無初應(yīng)力假設(shè)，在自然狀態(tài)下，有可見，應(yīng)力、應(yīng)變解是唯一