中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講解函數(shù)與方程思想

2022年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講解函數(shù)與方程思想知識梳理方程是研究數(shù)量關(guān)系的重要工具，在處理生活中實(shí)際問題時，根據(jù)已知與未知量之間的聯(lián)系及相等關(guān)系建立方程或方程組，從而使問題獲得解決的思想方法稱為方程思想．而函數(shù)的思想是用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)，研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，再用函數(shù)的形式把變量之間的關(guān)系表示出來．函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，也是中考必考的內(nèi)容．典型例題【例1】如圖：在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動；同時Q點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為x秒．(1)當(dāng)x為何值時，PQ∥BC?(2)△APQ能否與△CQB相似?(3)假設(shè)能．求出AP的長；假設(shè)不能．請說明理由．【解】(1)根據(jù)題意AP=4xcm，AQ=AC－QC=(30－30x)cm，假設(shè)PQ∥BC，那么．那么，解得．所以當(dāng)s時，PQ∥BC．(2)因?yàn)椤螦=∠C，所以當(dāng)或時，△APQ能與△CQB棚以．①當(dāng)時，，解得．②當(dāng)時，，解得x1=5，x2=－10(舍去)．所以AP=4x=20．所以當(dāng)cm或20cm時，△APQ與△CQB相似．【解題反思】由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可列出分式方程，從而求解；在已知一個角對應(yīng)相等的前提下考慮兩個三角形相似時，有兩種情況，不可遺漏．【例2】某企業(yè)投資100萬元引進(jìn)一條農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)線，假設(shè)不計維修、保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬元，該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計為y(萬元)，且y=x2+bx，假設(shè)第1年的維修、保養(yǎng)費(fèi)為2萬元，第2年的維修、保養(yǎng)費(fèi)為4萬元．(1)求y的解析式；(2)投產(chǎn)后，這個企業(yè)在第幾年就能收回投資?【解】(1)由題意，把x=1時，y=2和x=2時，y=2+4=6，代入y=x2+bx，得，解得，所以y=x2+x(2)設(shè)y′=33x－100－x2－x，那么y′=－x2+32x－100=－(x－16)2+156．由于當(dāng)1≤x≤16時，y′隨x的增大而增大，且當(dāng)x=1、2、3時，y′的值均小于0，當(dāng)x=4時，y′=－122+156>0，已知投產(chǎn)后該企業(yè)在第4年就能收回本錢．【解題反思】用函數(shù)思想解決實(shí)際問題，要關(guān)注自變量與函數(shù)之間的關(guān)系，注意：此題中的y是從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用總和．【例3】某村響應(yīng)黨中央“減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，提高農(nóng)民生活水平”的號召，該村實(shí)行合作醫(yī)療制度，村委會規(guī)定：(一)每位村民年初交納合作醫(yī)療基金元；(二)村民個人當(dāng)年治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)(以醫(yī)院的收據(jù)為準(zhǔn))，年底按以下方法處理．村民個人當(dāng)年花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)醫(yī)療費(fèi)的處理方法不超過b元的局部全部由村集體承擔(dān)(即全部報銷)超過b元不超過5000元的局部個人承擔(dān)c％，其余局部由村集體承擔(dān)超過5000元的局部全部由村集體承擔(dān)設(shè)一位村民當(dāng)年治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)用為x元，他個人實(shí)際承擔(dān)的醫(yī)療費(fèi)用(包括醫(yī)療費(fèi)中個人承擔(dān)的局部和繳納的合作醫(yī)療基金)為y元．(1)當(dāng)0≤x≤b時，y=________；當(dāng)b<x≤5000時，y=_______(用含、b、c、x的代數(shù)式表示)(2)下表是該村3位村民2022年治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)和個人實(shí)際承擔(dān)的費(fèi)用，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求、b、c的值；寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并計算村民個人一年最多承擔(dān)醫(yī)療費(fèi)為多少元．村民治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)x(元)個人實(shí)際承擔(dān)的費(fèi)用y(元)甲4030乙9050丙15080(3)下表是小強(qiáng)同學(xué)一家2022年治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)用：家庭成員爺爺奶奶爸爸媽媽小強(qiáng)治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)(元)200100103020請你幫助小強(qiáng)計算參加合作醫(yī)療保險后村集體為他們家所承擔(dān)的費(fèi)用．【解】(1)+(x－b)c％(2)假設(shè)b≤40，那么②－①得，c=40，③－②得，c=50，結(jié)果矛盾，b>40，這樣①不成立，應(yīng)為=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．當(dāng)0≤x≤50時，y=30；當(dāng)50<x≤5000時，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；當(dāng)x>5000時，y=2505，村民個人一年最多承擔(dān)醫(yī)療費(fèi)為2505元；(3)全家醫(yī)藥費(fèi)合計200+100+10+30+20=360，個人應(yīng)該承擔(dān)的藥費(fèi)之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集體為他們家承擔(dān)的藥費(fèi)360－250=110(元)．【解題反思】此題的關(guān)鍵是確定的范圍，這里采用了反證法來說明b>40．綜合訓(xùn)練1．如果關(guān)于x的方程無解，那么的值為__________．2．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．3．如圖，△ABC中，AC=4，AB=5，D是線段AC上一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合，可與點(diǎn)C重合)，E是線段AB上一點(diǎn)，且∠ADE=∠B．設(shè)AD=x，BE=y．(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出y的取值范圍．4．如圖，某農(nóng)場要用總長24m的木欄建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻(墻長12m)，且中間隔有一道木欄，設(shè)雞場的寬AB為xm，面積為Sm2；(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)假設(shè)雞場的面積為45m2(3)雞場的面積能否到達(dá)50m2假設(shè)能，請給出設(shè)計方案；假設(shè)不能，請說明理由．5．某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸飛機(jī)進(jìn)展空中加油．在加油過程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油油箱余油量為Q2噸，加油時間為t分鐘，Q1、Q2與t之間的函數(shù)關(guān)系如以下圖，結(jié)合圖象答復(fù)以下問題：(1)加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需多少分鐘?(2)求加油過程中，運(yùn)輸飛機(jī)的余油量Q1(噸)與時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；(3)運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時到達(dá)目的地，油料是否夠用?說明理由．6．近幾年我省高速公路的建立有了較大的開展，有力的促進(jìn)了我省的經(jīng)濟(jì)建立，正在修建中的某段高速公路要招標(biāo)，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊(duì)，假設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作，24天可以完成，需費(fèi)用120萬元；假設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做20天后，剩下的工程由乙隊(duì)做，還需40天才能完成，這樣需要費(fèi)用110萬元．問：(1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天?(2)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需要費(fèi)用多少萬元?7．已知，關(guān)于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1、x2(其中x1<x2)，假設(shè)y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x2－2x1，求這個函數(shù)的解析式；(3)在(2)的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象答復(fù)：當(dāng)m滿足什么條件時，y≤－m+3?8．已知：△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是、b、c，假設(shè)關(guān)于x的方程x2－2(b+c)x+2bc+2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，且△ABC的面積為8，．(1)試判斷△ABC的形狀并求b、c的長；(2)假設(shè)點(diǎn)P為線段AB邊上的一個動點(diǎn)，PQ∥AC交BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點(diǎn)B與線段MN不在線段PQ的同側(cè)，設(shè)正方形PQMN與△ABC的公共局部的面積為S，BP的長為x．①試寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到何處時，S的值為3． 9．(02鎮(zhèn)江)已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線．(2)假設(shè)點(diǎn)(x0，y0)在拋物線上，且0≤x0≤4，試寫出y0的取值范圍．(3)設(shè)平行于y軸的直線x=t交線段BM于點(diǎn)P(點(diǎn)P能與點(diǎn)M重合，不能與點(diǎn)B重合)，交x軸于點(diǎn)Q，四邊形AQPC的面積為S．①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．②求S取得最大值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)．③設(shè)四邊形OBMC的面積為S′，判斷是否存在點(diǎn)P，使得S=S′．假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請說明理由．10．已知動點(diǎn)P(2m－1，－2m+3)和反比例函數(shù)(k<0)．(1)假設(shè)對一切實(shí)數(shù)m，動點(diǎn)P始終在一條直線上，試求的解析式．(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N，與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第四象限)．①證明：△OAM≌△OBN；②如果△AOB的面積為6，求反比例函數(shù)解析式．參考答案1．2和32．6cm3．(1)(2)4．(1)S=x(24－3x)=－3x2+24x(x≥4)；（2）－3x2+24x=45，解得：x1=3(舍去)，x2=5，雞場的寬AB的長為5米．(3)－3x2+24x=50，3x2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0此方程無實(shí)數(shù)解，雞場的面積不能到達(dá)50米2．5．(1)由圖象知，加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸的油，全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需10分鐘．(2)設(shè)Q1=kt+b，那么，，Q=2．9t+40(0≤t≤10)．(3)根據(jù)圖象可知運(yùn)輸飛機(jī)的耗油量為每分鐘0．1噸，10小時的耗油量為10×60×0．1=60(噸)<69(噸)，油料夠用．6．(1)30120(2)135607．(1)△=(3m+2)2－4×m×(2m+2)=m2+4m+4=(m+2)2m>0，(m+2)2>0，即A>0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．(2)x1=1，，．(3)在直角坐標(biāo)系中的第一象限內(nèi)分別畫出和y=－m+3的圖象，觀察圖象得：當(dāng)1≤m≤2時，y≤－m+3．8．(1)△ABC是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①當(dāng)0<x≤2時，S=x2；當(dāng)2<x≤4時，S=－x2+4x．②、3．9．(1)y=－x2+2x+3，M(1，4)，圖略．(2)－5≤y0≤4(3)①(1≤t<3)②③不存在．，假設(shè)S=S′，那么，整理得．，此方程沒有實(shí)數(shù)根，不存在點(diǎn)P，使得S=S′