北京市重點中學2022-2023學年數(shù)學高二下期末達標測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點為雙曲線上一點，則它的離心率為（）A． B． C． D．2．已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在上是減函數(shù)，則（）A． B．C． D．3．已知是函數(shù)的一個零點，若，則（）A．, B．,C．, D．,4．等比數(shù)列{}的前n項和為，若則=A．10 B．20 C．20或-10 D．-20或105．的值為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則的大致圖像是（）A． B． C． D．7．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各取到1個的概率是（）A． B． C． D．8．的值為（）A．0 B．2 C．－1 D．19．在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，若曲線與交于、兩點，則等于（）A． B． C． D．10．設集合，若，則（）A．1 B． C． D．-111．函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)12．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的二項展開式中，項的系數(shù)是__________．（用數(shù)字作答）14．已知直線：，拋物線：圖像上的一動點到直線與到軸距離之和的最小值為________.15．已知函數(shù)的值域為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，則________.16．已知函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，一條小河岸邊有相距的兩個村莊（村莊視為岸邊上兩點），在小河另一側有一集鎮(zhèn)（集鎮(zhèn)視為點），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當?shù)卣疄榉奖愦迕癯鲂?，擬在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點，且垂直河岸，在的左側），建橋要求：兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和最短，已知兩村的人口數(shù)分別是人、人，假設一年中每人去集鎮(zhèn)的次數(shù)均為次．設．（小河河岸視為兩條平行直線）（1）記為一年中兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和，試用表示；（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．18．（12分）已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）.(1線與曲線的普通方程；(2)，若直線與曲線相交于兩點（點在點的上方），求的值.19．（12分）已知集合=，集合=.（1）若，求；（2）若AB，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）盒中裝有7個零件，其中2個是使用過的，另外5個未經(jīng)使用.（1）從盒中每次隨機抽取1個零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率；（2）從盒中隨機抽取2個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.21．（12分）已知函數(shù)，其導函數(shù)的兩個零點為和.（I）求曲線在點處的切線方程；（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（III）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.22．（10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

將點P帶入求出a的值，再利用公式計算離心率?！驹斀狻繉ⅫcP帶入得，解得所以【點睛】本題考查雙曲線的離心率，屬于基礎題。2、D【解析】

根據(jù)條件，可得函數(shù)周期為4，利用函數(shù)期性和單調(diào)性之間的關系，依次對選項進行判斷，由此得到答案。【詳解】因為，所以，，可得的周期為4，所以，，.又因為是奇函數(shù)且在上是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，所以，即，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，結合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性之間的關系是解決本題的關鍵。3、B【解析】

轉(zhuǎn)化是函數(shù)的一個零點為是函數(shù)與的交點的橫坐標,畫出函數(shù)圖像,利用圖像判斷即可【詳解】因為是函數(shù)的一個零點,則是函數(shù)與的交點的橫坐標,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,則當時,在下方,即；當時,在上方,即,故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題,考查數(shù)形結合思想與轉(zhuǎn)化思想4、B【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列即（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20），代入可求．【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列，且公比為∴（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20）即解=20或-10（舍去）故選B．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)（若Sn為等比數(shù)列的前n項和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不為0，則其成等比數(shù)列）的應用，注意隱含條件的運用5、C【解析】分析：直接利用微積分基本定理求解即可.詳解：，故選C.點睛：本題主要考查微積分基本定理的應用，特殊角的三角函數(shù)，意在考查對基礎知識的掌握情況，考查計算能力，屬于簡單題.6、C【解析】

利用函數(shù)值的正負及在單調(diào)遞減，選出正確答案.【詳解】因為，排除A，D；，在同一個坐標系考查函數(shù)與的圖象，可得，在恒成立，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞減排除B，故選C.【點睛】根據(jù)解析式選函數(shù)的圖象是高考的?？碱}型，求解此類問題沒有固定的套路，就是要利用數(shù)形結合思想，從數(shù)到形、從形到數(shù)，充分提取有用的信息.7、C【解析】試題分析：由題可先算出10個元素中取出3個的所有基本事件為；種情況；而三種粽子各取到1個有種情況，則可由古典概率得；考點：古典概率的算法．8、D【解析】分析：求二項展開式系數(shù)和一般方法為賦值法，即分別令x=1與x=-1得，最后相乘得結果.詳解：令，則，令，則，因此，選D.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可.9、B【解析】

由題意可知曲線與交于原點和另外一點，設點為原點，點的極坐標為，聯(lián)立兩曲線的極坐標方程，解出的值，可得出，即可得出的值.【詳解】易知，曲線與均過原點，設點為原點，點的極坐標為，聯(lián)立曲線與的坐標方程，解得，因此，，故選：B.【點睛】本題考查兩圓的相交弦長的計算，常規(guī)方法就是計算出兩圓的相交弦方程，計算出弦心距，利用勾股定理進行計算，也可以聯(lián)立極坐標方程，計算出兩極徑的值，利用兩極徑的差來計算，考查方程思想的應用，屬于中等題.10、A【解析】

由得且，把代入二次方程求得，最后對的值進行檢驗.【詳解】因為，所以且，所以，解得.當時，，顯然，所以成立，故選A.【點睛】本題考查集合的交運算，注意求出參數(shù)的值后要記得檢驗.11、C【解析】

根據(jù)函數(shù)零點的判定定理進行判斷即可【詳解】是連續(xù)的減函數(shù)，又可得f（2）f（3）＜0，∴函數(shù)f（x）的其中一個零點所在的區(qū)間是(2,3)故選C【點睛】本題考查了函數(shù)零點的判定定理，若函數(shù)單調(diào)，只需端點的函數(shù)值異號即可判斷零點所在區(qū)間，是一道基礎題．12、B【解析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關系得到正弦值.【詳解】如圖所示：連接與交于點，連接，過點作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設正方體邊長為1在中故答案選B【點睛】本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關鍵，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：先求出二項式的展開式的通項公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中項的系數(shù).詳解：的二項展開式的通項為，，展開式項的系數(shù)為故答案為.點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.14、1【解析】

首先根據(jù)拋物線的性質(zhì)，可將拋物線上的點到直線和軸的距離和轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到直線的距離和到焦點的距離和減1，再根據(jù)數(shù)形結合求距離和的最小值.【詳解】設拋物線上的點到直線的距離為，到準線的距離為，到軸的距離為，拋物線上的點到準線的距離和到焦點的距離相等，，,如圖所示：的最小值就是焦點到直線的距離，焦點到直線的距離，所以有：的最小值是1，故答案為：1【點睛】本題考查拋物線的定義和拋物線的幾何性質(zhì)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸，關鍵是拋物線定義域的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題型.15、【解析】

由的值域為，，可得，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，結合函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系可求．【詳解】由的值域為，，可得，，，，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，可知及是的根，且，把代入可得，，解可得，或，當時，可得，當時，代入可得不符合題意，故，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．16、【解析】由題意可知，故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）當時，符合建橋要求.【解析】

（1）利用正切值之比可求得，；根據(jù)可表示出和，代入整理可得結果；（2）根據(jù)（1）的結論可得，利用導數(shù)可求得時，取得最小值，得到結論.【詳解】（1）與的正切值之比為則，，，，（2）由（1）知：，，令，解得：令，且當時，，；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)取最小值，即當時，符合建橋要求【點睛】本題考查函數(shù)解析式和最值的求解問題，關鍵是能夠通過根據(jù)題意建立起所求函數(shù)和變量之間的關系，利用導數(shù)來研究函數(shù)的最值.18、(1),;(2).【解析】試題分析：（1）根據(jù)加減消元法得直線的普通方程；根據(jù)三角函數(shù)平方關系得曲線的普通方程（2）由橢圓的定義知：，根據(jù)直線參數(shù)方程幾何意義得，將直線參數(shù)方程代入曲線的普通方程，根據(jù)韋達定理可得結果試題解析：解：（1）由直線已知直線（為參數(shù)），消去參數(shù)得：曲線（為參數(shù)）消去參數(shù)得：.（2）設將直線的參數(shù)方程代入得：由韋達定理可得：結合圖像可知，由橢圓的定義知：.19、（1）（2）【解析】分析：（1）先化簡集合A,B，再求.(2)先化簡集合A,B，再根據(jù)AB得到，解不等式得到實數(shù)的取值范圍.詳解：（1）當時，，解得.則.由，得.則.所以.（2）由，得.若AB，則解得.所以實數(shù)的取值范圍是.點睛：（1）本題主要考查集合的運算和集合的關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本計算能力.(2)把分式不等式通過移項、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式組→解不等式組得解集.20、（1）3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率p=150（2）隨機變量X的分布列為:X

2

3

4

P

12110211021EX=24【解析】試題分析：（1）這是一個有放回地抽取的問題，可以看作獨立重復試驗的概率問題.首先求出“從盒中隨機抽取1個零件，抽到的是使用過的零件”的概率，然后用獨立重復事件的概率公式便可求得“3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件”的概率.（2）7個零件中有2個是使用過的，再抽取2個使用后再放回，則最多有4個是使用過的，最少有2個是使用過的，所以隨機變量X的所有取值為2,3,4.“X=2”表示抽取的2個都是使用過的，“X=3”表示抽取的2個中恰有1個是使用過的，“X=4”表示抽取的2個都是未使用過的，這是一個超幾何分布問題，由超幾何分布的概率公式可求得隨機變量X的分布列.試題解析：（1）記“從盒中隨機抽取1個零件，抽到的是使用過的零件”為事件A，則P(A)=2所以3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率P=C（2）隨機變量X的所有取值為2,3,4.P(X=2)=C22P(X=4)=C所以，隨機變量X的分布列為:X

2

3

4

P

12110211021EX=2×1考點：1、獨立重復試驗的概率；2、超幾何分布；3、隨機變量的分布列.21、（I）；（II）增區(qū)間是，，減區(qū)間是；（III）最大值為，最小值為.【解析】試題分析：對函數(shù)求導，由于導函數(shù)有兩個零點，所以這兩個零點值滿足，解方程組求出m,n；利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，先求f(1),求出切點，再求得出斜率，利用點斜式寫出切線方程，求單調(diào)區(qū)間只需在定義域下解不等式和，求出增區(qū)間和減區(qū)間；求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，先研究函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性、極值，求出區(qū)間兩端點的函數(shù)值，比較后得出最值.試題解析：（1）