淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應用文獻綜述范文參考

文獻綜述淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應用一、前言部分微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解 .牛頓在建立微積分的同時， 對簡單的微分方程用級數(shù)來求解 .后來瑞士數(shù)學家雅各布?貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論 .微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法 .微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學分支.總之，力學、天文學、幾何學等領域的許多問題都導致微分方程 .在當代，甚至許多社會科學的問題亦導致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等 .因而微分方程的研究是與人類社會密切相關的 .[1]“常微分方程”是理學院數(shù)學系所有專業(yè)學生的重要專業(yè)基礎課之一，也是工科、經(jīng)濟等專業(yè)必學內(nèi)容之一.其重要性在于它是各種精確自然科學、社會科學中表述基本定律和各種問題的根本工具之一，換句話說，只要根據(jù)實際背景，列出了相應的微分方程，并且能（數(shù)值地或定性地）求出這種方程的解，人們就可以預見到，在已知條件下這種或那種“運動”過程將怎樣進行，或者為了實現(xiàn)人們所希望的某種“運動”應該怎樣設計必要的裝置和條件等等.例如，我們要設計人造衛(wèi)星軌道，首先，根據(jù)力學原理，建立衛(wèi)星運動的微分方程，列出初始條件，然后求出解，即衛(wèi)星運行軌道 .隨著物理科學所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴展，微分方程的應用范圍更廣泛.[2]從數(shù)學自身的角度看，微分方程的求解促使數(shù)學在函數(shù)論、變分法、級數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進行發(fā)展.從這個角度說，微分方程變成了數(shù)學的中心[3].總之，微分方程從它誕生起即日益成為人類認識并進而改造自然、社會的有力工具，成為數(shù)學科學聯(lián)系實際的主要途徑之一.文章就常微分的數(shù)值解法以及應用展開簡單的論述。二、主體部分微分方程概念介紹微分方程概況由一元函數(shù)得到的方程 .即：稱含有自變量，未知函數(shù)及其導數(shù)的關系式F(x,y,dy,d2y2,...,dnny)0.（1）dxdxdx為常微分方程.其中出現(xiàn)的最高階導數(shù)的階數(shù)，叫做常微分方程的階.例如dyx，dxdyd2g0是二階常微分方程.設y(x)定義于y，是一階常微分方程.2sindxdtp區(qū)間J上，有直到n階的導數(shù)，將它代入（1），使（1）變成關于x的恒等式，即F(x,(x),d(x),...,dn(x))0,xJ.dxdxn就稱y＝(x)為（1）的一個定義于J上的解，并稱J為該解的定義區(qū)間.[4]如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對幾個變量的導數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程.2.2微分方程產(chǎn)生的歷史背景微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解.牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學家雅各布?貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發(fā)展密切相關的.數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具.[5]牛頓研究天體力學和機械力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律.后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置.這些都使數(shù)學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量.微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法 .微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學分支.總之，力學、天文學、幾何學等領域的許多問題都導致微分方程 .在當代，甚至許多社會科學的問題亦導致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等 .因而微分方程的研究是與人類社會密切相關的.[6]2.3微分方程發(fā)展現(xiàn)狀及其基本功能在數(shù)學學科內(nèi)部的許多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程進一步發(fā)展的需要，有推動著其它數(shù)學分支的發(fā)展；相反，微分方程每一步進展都離不開其他數(shù)學分支的支援.數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響.當前計算機的發(fā)展更是為微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具.時至今日，可以說微分方程在所有自然科學領域和眾多社會科學領域都有著廣泛的應用，如自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等.只要能夠列出相應的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律.從微積分理論形成以來，人們一直用微分方程來描述、解釋或預見各種自然現(xiàn)象，不斷的取得了顯著的成效[7].2.4常微分方程的數(shù)值求解方法2.4.1Euler法Euler法是最簡單的數(shù)值方法，[a,b]為求解良態(tài)初值問題y'f(t,y)，y(a)y0的區(qū)間。實際上，下面的過程不是要找到滿足該初值問題的可微函數(shù)，而是要生成點集{(tk,yk)}，并且將這些點作為近似解，即y(tk)yk。如何構(gòu)造“近似滿足微方程”的“點集”呢？首先為這些點選擇橫坐標，為方便起見，將區(qū)間[a,b]劃分為M個等距子區(qū)間，并選擇網(wǎng)絡點tkak，hk=0，1，，Mba（1）其中h值h稱為步長。然后近似解My'f(t,y)在[t0,tM]上，y(t0)y0（2）設y(t)，y'(t)和y''(t)連續(xù)，；；利用泰勒定理將y(t)在tt0處展開，對每個值t，存在一個t0和t之間的值c1，使得''2y(t)y(t0)y'(t0)(tt0)y(c1)(tt0)（3）2'f(t0,y(t0))和將代人等式（），得到1的表示：ht1t0)3y(ty(t1)y(t0)hf(t0,y(t0))y''(c1)h2（4）2word文檔 可自由復制編輯如果步長h足夠小，則可以忽略2次項（包含h2的項），得到y(tǒng)1y0hf(t0,y0)（5）這就是歐拉近似。重復該過程，就能得到近似解曲線 y y(t)的一個點序列。歐拉方法的一般步驟是tk1tkh，yk1ykhf(tk,yk)其中k=0，1，，M-1[8]（6）2.4.2泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法有著廣泛的應用，并且是比較求解初值問題的各種不同數(shù)值方法的標準，它可設計為任意指定的精度。下面首先將泰勒定理用新的公式表示，使之適合于求解微分方程。定理9.5（泰勒定理）設y(t)CN1[t0,b]，且y(t)在不動點ttk[t0,b]處有N次泰勒級數(shù)展開：y(tkh)y(tk)hTN(tk,y(tk))O(hN1)（1）其中，TN(tk,y(tk))Ny(j)(tk)hj1（2）j1j!y(j)(t)fj1(t,y(t))表示函數(shù)f關t的（j1）次全導數(shù)。求導公式可以遞歸地計算：y'(t)fy''(t)ftfyy'ftfyfy(3)(t)ftt2fyty'fyy''fyy(y')2ftt2fytffyyfy(4)fttt3fytty'3fyyt(y')23ftyy''fyy'''3fyyy'y''(fttt3fyttf3fyytf2fyyyf3)fy(ftt2fytffyyf3(ftfyf)(fytfyyf)fy2(ftfyf)并且一般有y(N)(t)P(N1)f(t,y(t))其中P為導數(shù)算子P(fy)t

2fyf)fy(ftfyyy(y')32)

（3）（4）區(qū)間[t0,tM]上的初值問題 y'(t) f(t,y)的近似數(shù)值解可由各子區(qū)間 [tk,tk1]上的公式（1）來推導。 N次泰勒方法的一般步驟為d2h2d3h3dNhN（5）yk1ykd1h2!3!...N!其中在各步k0,1,......,M1有djy(j)(tk),j1,2,......,N。N次泰勒方法的最終全局誤差是O(hN1)階的，因此可選擇所需大小的N，使得誤差足夠小。如果N是固定，則理論上可以推導出步長h，使之滿足任意的最終全局誤差。然而在實際運算中，通常用h和h/2計算兩個近似結(jié)果集，然后比較其結(jié)果[9]。2.4.3龍格—庫塔方法泰勒方法的優(yōu)點是最終全局誤差的階為 O(hN)，并且可以通過選擇較大的 N來得到較小的誤差。然而泰勒方法的缺點是，需要先確定 N，并且要計算高階導數(shù)，它們可能十分復雜。每個龍格一庫塔（ Runge-Kutta ）方法都由一個合適的泰勒方法推導而來，使得其最終全局誤差為 O(hN)。一種折中方法是每步進行若干次函數(shù)求值，從而省去高階導數(shù)計算。這種方法可構(gòu)造任意 N階精度的近似公式。最常用的是 N=4的龍格一庫塔方法，它適用于一般的應用，因為它非常精確、穩(wěn)定，且易于編程。許多專家聲稱，沒有必要使用更高階的方法，因為提高的精度與增加的計算量相抵消。 如果需要更高的精度，則應該使用更小的步長或某種自適應方法。階龍格一庫塔方法（RK4）可模擬N=4的泰勒方法的精度。它基于如下yk1，的計算：yk1ykw1k1w2k2w3k3w4k4（1）其中k1，k2，k3和k4形如k1hf(tk,yk)k2hf(tka1h,ykb1k1)（2）k3hf(tka2h,ykb2k1b3k2)k4hf(tka3h,ykb4k1b5k2b6k3)通過與N=4階的泰勒級數(shù)方法的系數(shù)匹配，使得局部誤差為O(h5)，龍格和庫塔得出了如下方程組：word文檔 可自由復制編輯b1a1b2b3a2b4b5b6a3w1w2w3w41（3）w2a1w3a2w4a3121w2a12w3a22w4a323w2a13w3a23w4a3314w3a1b3w4(a1b51a2b6)6w3a1a2b3w4a3(a1b5a2b6)18w3a12b3w4(a12b5a22b6)1121w4a1b3b624該方程組有11個方程和13個未知量，必須補充兩個條件才可以求解。最有用的選擇是a11，b20（4）2其余變量的解為a21,a31,b11,b31,b40,b50,b61222（5）1,w21,w31,w41w16336將式（4）和（5）中的值代入式（2）和式（1），得到標準的N4階龍格—庫塔方法，其描述如下。自初始點(t0,y0)開始，利用yk1ykh(f12f22f3f4)6[10]生成近似值序列，其中f1f(tk,yk)f2f(tkh,ykhf1)22f3f(tkh,ykhf2)22f4f(tkh,ykhf3)

（6）（7）預報—校正方法word文檔 可自由復制編輯歐拉方法、休恩方法、泰勒方法以及龍格一庫塔方法都稱為單步長方法，因為它們只利用前一個點的信息來計算下一個點，即計算 (t1,y1)時只使用了初始點 (t0,y0)。一般地，只有yk用來yk1。當計算出若干個點之后，就可以利用幾個已計算出的點來計算下一個點。以亞當斯一巴什福斯4步法的推導為例，計算yk1需要yk3，yk2，yk1和yk。該方法不是自啟動的，要生成點{(tk,yk):k4}，必須先給出其4個初始點(t0,y0)，(t1,y1)，(t2,y2)，(t3,y3)（可用前面各節(jié)中的方法完成）。多步法的一個優(yōu)點是，可以確定它的局部截斷誤差（localtruncationerror，簡稱L.T.E.），并可以包含一個校正項，用于在每一步計算中改善解的精確度。該方法還可以確定步長是否小到能得到y(tǒng)k1的精確值，同時又大到能夠免除不必要的和費時的計算。使用預報子和校正子的組合在每一步只需要進行兩次函數(shù)f(t,y)求值[11]。亞當斯一巴什福斯一莫爾頓方法亞當斯一巴什福斯一莫爾頓方法（Adams—Bashforth—Moulton）是由基本微積分定理推導出的多步法：tk1y(tk1)y(tk)f(t,y(t))dt(1)tk預報子使用基于點(tk3,fk3),(tk2,fk2),(tk1,fk1)和(tk,fk)的f(t,y(t))的拉格朗日多項式逼近值，并在區(qū)間[tk,tk1]上對式（1）積分，這個過程產(chǎn)生亞當斯一巴什福斯預報子：pk1ykh(9fk337fk259fk155fk)（2）24校正子的推導類似。這時可以實用剛剛計算出的值pk1。基于點(tk2,fk2)，(tk1,fk1)(tk,fk)和新的點(tk1,fk1) (tk1,f(tk1,pk1))構(gòu)造f(t,y(t))的一個新的拉格朗日多項式逼近，然后在區(qū)間 [tk,tk1]上對該多項式積分，即可得到亞當斯一莫爾頓校正子[12]：yk1ykh(fk25fk119fk9fk1)（3）24米爾恩—辛普森方法word文檔 可自由復制編輯米爾恩—辛普森方法是預報子基于區(qū)間[tk3,tk1]上的對f(t,y(t))的積分：tk1y(tk1)y(tk3)f(t,y(t))dt（4）tk3預報子使用f(t,y(t))基于(tk3,fk3),(tk2,fk2),(tk和(tk,fk)的拉格1,fk1)朗日多項式逼近，在區(qū)間[tk3,tk1]上對它積分，得到米爾恩預報子：pk1yk34h(2fk2fk12fk)(5)3校正子的推導類似。此時值pk1已知，基于點(tk1,fk1)，(tk,fk)和新點(tk1,fk1)(tk1,f(tk1,pk1構(gòu)))造f(t,y(t))的新的拉格朗日多項式，然后在區(qū)間[tk1,tk1]上對該多項式積分，結(jié)果為大家所熟悉的辛普森公式[13]：h(fk14fkfk1)（6）yk1yk132.5常微分方程的應用微分方程在傳染病模型中的應用隨著衛(wèi)生設施的改善、 醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展， 諸如霍亂、天花、等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。 但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來。 20世紀80年代四分險惡的艾滋病毒開始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春來歷不明的非典病毒突襲人間，給人們的生命財產(chǎn)帶來極大的危害。長期以來，建立傳染病的數(shù)學模型來描述傳染病的傳播過程， 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關專家和官員關注的問題。這里我們介紹的是按照一般傳播機理建立的數(shù)學模型如下。dp1(t)p2(t)p3(t))dp1(t)p3(t)p1(t)p2(t)，b(p1(t)dtdp2(t)(t)(dd)p2(t)，（1）p1(t)p2dtdp3(t)p2(t)(d3)p3(t)，dtt0:p1p10,p2p20,p3p30,其中pi00(i1,2,3)對上述常微分方程組進行分析求解，就可以了解不同時刻傳染病的動力學特征 (比如：[14]傳染病病情的發(fā)展趨勢，即各類人的人口數(shù)量 pi(t)的分布情況) .2.5.2常微分方程在捕魚業(yè)的應用設某水域現(xiàn)有魚量x，由于受資源限制所能容納的最大魚量xm，高自然增長率r，捕撈增長率k，按人口的邏輯模型建立微分方程。dxrx(1x)kxdtxm要保持魚量平衡dx0，設平衡點為x0，解得x0rkxm設dxdtrf(x),考慮f(x)在x0的泰勒展式dtf(x)f(x0)(xx0)0(xx0)f(x0)kr當f(x0)＞0時f(x)與xx0同號x0為不穩(wěn)定平衡點當f(x0)＜0時f(x)與xx0異號x0為穩(wěn)定平衡點f(x0)＜0即r＞k設f1(x)rx(1x)f2(x)kx由于k＜rxm曲線f1(x)與f2(x)有交點，因f1(x)在原點切線為yrx解得，易知當x0xm時，取得最大捕撈量1r，21rx0rxmkf2(x)224最大捕撈量為r[15]4xm三、總結(jié)部分微分方程是在解決實際問題的過程中產(chǎn)生的， 微分方程的研究又促進實際問題的解決，同時也促進其他學科的發(fā)展 .微分方程在物理、 工程、 力學、天文學、生物學、 醫(yī)學、 經(jīng)濟學等諸多領域都有重要作用 .目前，微分方程的實際背景廣、應用性強的特點已受到廣泛關注.由于同一類型的微分方程往往可以用來描述許多性質(zhì)上頗不相同的自然現(xiàn)象，對一些重要的微分方程開展研究，可以有多方面的應用前景，并可望在新興學科或邊緣學科的開發(fā)中及時地發(fā)揮作用 .[16]微分方程在幾百年的發(fā)展史上， 在每個時期最新的技術科學中建立了自已的落腳點，得到了實際的應用， 從而刺激它飛躍地發(fā)展， 在完善理論的同時繼續(xù)深入其它新興技術學科領域近幾十年來，世界科學技術進入核能、火箭、人造衛(wèi)星、數(shù)字時代，微分方程定性理論及方法不論在應用上、理論上均不斷地擴展著自身的領域，顯示出前所未有的強大生命力 .它的理論和方法，過去和現(xiàn)在都對力學、天文、物理、化學、生物、各種技術科學 (如自動控制、無線電電子學等)及若干社會科學(如人口理論、經(jīng)濟預測等)提供了有力的工具，后者反過來也不斷地向它提出新的間題，刺激著它不斷地向前發(fā)展.[17]四、參考文獻張良勇,董曉芳.常微分方程的起源與發(fā)展[J].高等函授學報(自然科學版),2006(3):34-38.[2] 黃賽.常微分方程發(fā)展的主要歷史沿革 [J]. 教育與職業(yè).2006(2):36-41.黃煥福.常微分方程課程建設初探[J].教育與職業(yè),2007(14):146-148.林建平.常微分方程早期發(fā)展概觀[J].南京工程學院學報,2001(2):1-4.[5] 周仲旺.幾類特殊的常微分方程 [J]. 濰坊學院學報 .2003(6):7.邵曉鋒,徐衛(wèi)衛(wèi),李龍星.試析常微分方程模型的歸結(jié)方法[J].黃岡職業(yè)技術學院報,2007(1):37-39.張同斌,管軍軍,焦萬堂.基本微分方程的應用研究[J].河南科學,2007(6):888-890.胡建偉,湯懷民.微分方程數(shù)值解方法[M].科學出版社,2003(4).[9] JohnH.Mathews,Kurtis D.Fink.Numerical MethodsUsingMATLABFourth Edition[M].電子工業(yè)大學出版社 .2005(12).王高雄,周之銘等.常微分方程[M].高等教育出版社,2008(1).[11] JohnH.Mathews,Kurtis D.Fink.Numerical MethodsUsingMATLABFourth Edition[M].電子工業(yè)大學出版社 .2005(12).J.W.Thomas.偏微分方程的數(shù)值解法[M].世界圖書出版公司,1995(8).郭曉梅.常微分方程的數(shù)值解法[J].網(wǎng)絡財富，2009(8).姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學模型[M].高等教育出版社.2003(8).[15]JamesStewart.Calculus[M].FifthEdition.Beijing: 高等教育出版社 .2004(7):1141-1161.歐陽瑞,孫要偉.常微分方程在數(shù)學建模中的應用[J].宿州教育學院學報,2008(2):[17]JamesStewart.Calculus[M].FifthEdition.Beijing: 高等教育出版社 .2004(7):1141-1161.衛(wèi)生管理制度1 總則1.1 為了加強公司的環(huán)境衛(wèi)生管理，創(chuàng)造一個整潔、文明、溫馨的購物、辦公環(huán)境，根據(jù)《公共場所衛(wèi)生管理條例》的要求，特制定本制度。1.2 集團公司的衛(wèi)生管理部門設在企管部，并負責將集團公司的衛(wèi)生區(qū)域詳細劃分到各部室，各分公司所轄區(qū)域衛(wèi)生由分公司客服部負責劃分，確保無遺漏。2 衛(wèi)生標準2.1 室內(nèi)衛(wèi)生標準2.1.1 地面、墻面：無灰塵、無紙屑、無痰跡、無泡泡糖等粘合物、無積水，墻角無灰吊、無蜘蛛網(wǎng)。2.1.2 門、窗、玻璃、鏡子、柱子、電梯、樓梯、燈具等，做到