淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用文獻(xiàn)綜述范文參考

文獻(xiàn)綜述淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用一、前言部分微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解 .牛頓在建立微積分的同時(shí)， 對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解 .后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論 .微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法 .微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支.總之，力學(xué)、天文學(xué)、幾何學(xué)等領(lǐng)域的許多問(wèn)題都導(dǎo)致微分方程 .在當(dāng)代，甚至許多社會(huì)科學(xué)的問(wèn)題亦導(dǎo)致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等 .因而微分方程的研究是與人類社會(huì)密切相關(guān)的 .[1]“常微分方程”是理學(xué)院數(shù)學(xué)系所有專業(yè)學(xué)生的重要專業(yè)基礎(chǔ)課之一，也是工科、經(jīng)濟(jì)等專業(yè)必學(xué)內(nèi)容之一.其重要性在于它是各種精確自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)中表述基本定律和各種問(wèn)題的根本工具之一，換句話說(shuō)，只要根據(jù)實(shí)際背景，列出了相應(yīng)的微分方程，并且能（數(shù)值地或定性地）求出這種方程的解，人們就可以預(yù)見到，在已知條件下這種或那種“運(yùn)動(dòng)”過(guò)程將怎樣進(jìn)行，或者為了實(shí)現(xiàn)人們所希望的某種“運(yùn)動(dòng)”應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)必要的裝置和條件等等.例如，我們要設(shè)計(jì)人造衛(wèi)星軌道，首先，根據(jù)力學(xué)原理，建立衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的微分方程，列出初始條件，然后求出解，即衛(wèi)星運(yùn)行軌道 .隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展，微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛.[2]從數(shù)學(xué)自身的角度看，微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進(jìn)行發(fā)展.從這個(gè)角度說(shuō)，微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心[3].總之，微分方程從它誕生起即日益成為人類認(rèn)識(shí)并進(jìn)而改造自然、社會(huì)的有力工具，成為數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一.文章就常微分的數(shù)值解法以及應(yīng)用展開簡(jiǎn)單的論述。二、主體部分微分方程概念介紹微分方程概況由一元函數(shù)得到的方程 .即：稱含有自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式F(x,y,dy,d2y2,...,dnny)0.（1）dxdxdx為常微分方程.其中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做常微分方程的階.例如dyx，dxdyd2g0是二階常微分方程.設(shè)y(x)定義于y，是一階常微分方程.2sindxdtp區(qū)間J上，有直到n階的導(dǎo)數(shù)，將它代入（1），使（1）變成關(guān)于x的恒等式，即F(x,(x),d(x),...,dn(x))0,xJ.dxdxn就稱y＝(x)為（1）的一個(gè)定義于J上的解，并稱J為該解的定義區(qū)間.[4]如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程.2.2微分方程產(chǎn)生的歷史背景微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解.牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的.數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.[5]牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律.后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置.這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量.微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法 .微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支.總之，力學(xué)、天文學(xué)、幾何學(xué)等領(lǐng)域的許多問(wèn)題都導(dǎo)致微分方程 .在當(dāng)代，甚至許多社會(huì)科學(xué)的問(wèn)題亦導(dǎo)致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等 .因而微分方程的研究是與人類社會(huì)密切相關(guān)的.[6]2.3微分方程發(fā)展現(xiàn)狀及其基本功能在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的許多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程進(jìn)一步發(fā)展的需要，有推動(dòng)著其它數(shù)學(xué)分支的發(fā)展；相反，微分方程每一步進(jìn)展都離不開其他數(shù)學(xué)分支的支援.數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響.當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.時(shí)至今日，可以說(shuō)微分方程在所有自然科學(xué)領(lǐng)域和眾多社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，如自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等.只要能夠列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律.從微積分理論形成以來(lái)，人們一直用微分方程來(lái)描述、解釋或預(yù)見各種自然現(xiàn)象，不斷的取得了顯著的成效[7].2.4常微分方程的數(shù)值求解方法2.4.1Euler法Euler法是最簡(jiǎn)單的數(shù)值方法，[a,b]為求解良態(tài)初值問(wèn)題y'f(t,y)，y(a)y0的區(qū)間。實(shí)際上，下面的過(guò)程不是要找到滿足該初值問(wèn)題的可微函數(shù)，而是要生成點(diǎn)集{(tk,yk)}，并且將這些點(diǎn)作為近似解，即y(tk)yk。如何構(gòu)造“近似滿足微方程”的“點(diǎn)集”呢？首先為這些點(diǎn)選擇橫坐標(biāo)，為方便起見，將區(qū)間[a,b]劃分為M個(gè)等距子區(qū)間，并選擇網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)tkak，hk=0，1，，Mba（1）其中h值h稱為步長(zhǎng)。然后近似解My'f(t,y)在[t0,tM]上，y(t0)y0（2）設(shè)y(t)，y'(t)和y''(t)連續(xù)，；；利用泰勒定理將y(t)在tt0處展開，對(duì)每個(gè)值t，存在一個(gè)t0和t之間的值c1，使得''2y(t)y(t0)y'(t0)(tt0)y(c1)(tt0)（3）2'f(t0,y(t0))和將代人等式（），得到1的表示：ht1t0)3y(ty(t1)y(t0)hf(t0,y(t0))y''(c1)h2（4）2word文檔 可自由復(fù)制編輯如果步長(zhǎng)h足夠小，則可以忽略2次項(xiàng)（包含h2的項(xiàng)），得到y(tǒng)1y0hf(t0,y0)（5）這就是歐拉近似。重復(fù)該過(guò)程，就能得到近似解曲線 y y(t)的一個(gè)點(diǎn)序列。歐拉方法的一般步驟是tk1tkh，yk1ykhf(tk,yk)其中k=0，1，，M-1[8]（6）2.4.2泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法有著廣泛的應(yīng)用，并且是比較求解初值問(wèn)題的各種不同數(shù)值方法的標(biāo)準(zhǔn)，它可設(shè)計(jì)為任意指定的精度。下面首先將泰勒定理用新的公式表示，使之適合于求解微分方程。定理9.5（泰勒定理）設(shè)y(t)CN1[t0,b]，且y(t)在不動(dòng)點(diǎn)ttk[t0,b]處有N次泰勒級(jí)數(shù)展開：y(tkh)y(tk)hTN(tk,y(tk))O(hN1)（1）其中，TN(tk,y(tk))Ny(j)(tk)hj1（2）j1j!y(j)(t)fj1(t,y(t))表示函數(shù)f關(guān)t的（j1）次全導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)公式可以遞歸地計(jì)算：y'(t)fy''(t)ftfyy'ftfyfy(3)(t)ftt2fyty'fyy''fyy(y')2ftt2fytffyyfy(4)fttt3fytty'3fyyt(y')23ftyy''fyy'''3fyyy'y''(fttt3fyttf3fyytf2fyyyf3)fy(ftt2fytffyyf3(ftfyf)(fytfyyf)fy2(ftfyf)并且一般有y(N)(t)P(N1)f(t,y(t))其中P為導(dǎo)數(shù)算子P(fy)t

2fyf)fy(ftfyyy(y')32)

（3）（4）區(qū)間[t0,tM]上的初值問(wèn)題 y'(t) f(t,y)的近似數(shù)值解可由各子區(qū)間 [tk,tk1]上的公式（1）來(lái)推導(dǎo)。 N次泰勒方法的一般步驟為d2h2d3h3dNhN（5）yk1ykd1h2!3!...N!其中在各步k0,1,......,M1有djy(j)(tk),j1,2,......,N。N次泰勒方法的最終全局誤差是O(hN1)階的，因此可選擇所需大小的N，使得誤差足夠小。如果N是固定，則理論上可以推導(dǎo)出步長(zhǎng)h，使之滿足任意的最終全局誤差。然而在實(shí)際運(yùn)算中，通常用h和h/2計(jì)算兩個(gè)近似結(jié)果集，然后比較其結(jié)果[9]。2.4.3龍格—庫(kù)塔方法泰勒方法的優(yōu)點(diǎn)是最終全局誤差的階為 O(hN)，并且可以通過(guò)選擇較大的 N來(lái)得到較小的誤差。然而泰勒方法的缺點(diǎn)是，需要先確定 N，并且要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)，它們可能十分復(fù)雜。每個(gè)龍格一庫(kù)塔（ Runge-Kutta ）方法都由一個(gè)合適的泰勒方法推導(dǎo)而來(lái)，使得其最終全局誤差為 O(hN)。一種折中方法是每步進(jìn)行若干次函數(shù)求值，從而省去高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算。這種方法可構(gòu)造任意 N階精度的近似公式。最常用的是 N=4的龍格一庫(kù)塔方法，它適用于一般的應(yīng)用，因?yàn)樗浅＞_、穩(wěn)定，且易于編程。許多專家聲稱，沒(méi)有必要使用更高階的方法，因?yàn)樘岣叩木扰c增加的計(jì)算量相抵消。 如果需要更高的精度，則應(yīng)該使用更小的步長(zhǎng)或某種自適應(yīng)方法。階龍格一庫(kù)塔方法（RK4）可模擬N=4的泰勒方法的精度。它基于如下yk1，的計(jì)算：yk1ykw1k1w2k2w3k3w4k4（1）其中k1，k2，k3和k4形如k1hf(tk,yk)k2hf(tka1h,ykb1k1)（2）k3hf(tka2h,ykb2k1b3k2)k4hf(tka3h,ykb4k1b5k2b6k3)通過(guò)與N=4階的泰勒級(jí)數(shù)方法的系數(shù)匹配，使得局部誤差為O(h5)，龍格和庫(kù)塔得出了如下方程組：word文檔 可自由復(fù)制編輯b1a1b2b3a2b4b5b6a3w1w2w3w41（3）w2a1w3a2w4a3121w2a12w3a22w4a323w2a13w3a23w4a3314w3a1b3w4(a1b51a2b6)6w3a1a2b3w4a3(a1b5a2b6)18w3a12b3w4(a12b5a22b6)1121w4a1b3b624該方程組有11個(gè)方程和13個(gè)未知量，必須補(bǔ)充兩個(gè)條件才可以求解。最有用的選擇是a11，b20（4）2其余變量的解為a21,a31,b11,b31,b40,b50,b61222（5）1,w21,w31,w41w16336將式（4）和（5）中的值代入式（2）和式（1），得到標(biāo)準(zhǔn)的N4階龍格—庫(kù)塔方法，其描述如下。自初始點(diǎn)(t0,y0)開始，利用yk1ykh(f12f22f3f4)6[10]生成近似值序列，其中f1f(tk,yk)f2f(tkh,ykhf1)22f3f(tkh,ykhf2)22f4f(tkh,ykhf3)

（6）（7）預(yù)報(bào)—校正方法word文檔 可自由復(fù)制編輯歐拉方法、休恩方法、泰勒方法以及龍格一庫(kù)塔方法都稱為單步長(zhǎng)方法，因?yàn)樗鼈冎焕们耙粋€(gè)點(diǎn)的信息來(lái)計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)，即計(jì)算 (t1,y1)時(shí)只使用了初始點(diǎn) (t0,y0)。一般地，只有yk用來(lái)yk1。當(dāng)計(jì)算出若干個(gè)點(diǎn)之后，就可以利用幾個(gè)已計(jì)算出的點(diǎn)來(lái)計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)。以亞當(dāng)斯一巴什福斯4步法的推導(dǎo)為例，計(jì)算yk1需要yk3，yk2，yk1和yk。該方法不是自啟動(dòng)的，要生成點(diǎn){(tk,yk):k4}，必須先給出其4個(gè)初始點(diǎn)(t0,y0)，(t1,y1)，(t2,y2)，(t3,y3)（可用前面各節(jié)中的方法完成）。多步法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，可以確定它的局部截?cái)嗾`差（localtruncationerror，簡(jiǎn)稱L.T.E.），并可以包含一個(gè)校正項(xiàng)，用于在每一步計(jì)算中改善解的精確度。該方法還可以確定步長(zhǎng)是否小到能得到y(tǒng)k1的精確值，同時(shí)又大到能夠免除不必要的和費(fèi)時(shí)的計(jì)算。使用預(yù)報(bào)子和校正子的組合在每一步只需要進(jìn)行兩次函數(shù)f(t,y)求值[11]。亞當(dāng)斯一巴什福斯一莫爾頓方法亞當(dāng)斯一巴什福斯一莫爾頓方法（Adams—Bashforth—Moulton）是由基本微積分定理推導(dǎo)出的多步法：tk1y(tk1)y(tk)f(t,y(t))dt(1)tk預(yù)報(bào)子使用基于點(diǎn)(tk3,fk3),(tk2,fk2),(tk1,fk1)和(tk,fk)的f(t,y(t))的拉格朗日多項(xiàng)式逼近值，并在區(qū)間[tk,tk1]上對(duì)式（1）積分，這個(gè)過(guò)程產(chǎn)生亞當(dāng)斯一巴什福斯預(yù)報(bào)子：pk1ykh(9fk337fk259fk155fk)（2）24校正子的推導(dǎo)類似。這時(shí)可以實(shí)用剛剛計(jì)算出的值pk1。基于點(diǎn)(tk2,fk2)，(tk1,fk1)(tk,fk)和新的點(diǎn)(tk1,fk1) (tk1,f(tk1,pk1))構(gòu)造f(t,y(t))的一個(gè)新的拉格朗日多項(xiàng)式逼近，然后在區(qū)間 [tk,tk1]上對(duì)該多項(xiàng)式積分，即可得到亞當(dāng)斯一莫爾頓校正子[12]：yk1ykh(fk25fk119fk9fk1)（3）24米爾恩—辛普森方法word文檔 可自由復(fù)制編輯米爾恩—辛普森方法是預(yù)報(bào)子基于區(qū)間[tk3,tk1]上的對(duì)f(t,y(t))的積分：tk1y(tk1)y(tk3)f(t,y(t))dt（4）tk3預(yù)報(bào)子使用f(t,y(t))基于(tk3,fk3),(tk2,fk2),(tk和(tk,fk)的拉格1,fk1)朗日多項(xiàng)式逼近，在區(qū)間[tk3,tk1]上對(duì)它積分，得到米爾恩預(yù)報(bào)子：pk1yk34h(2fk2fk12fk)(5)3校正子的推導(dǎo)類似。此時(shí)值pk1已知，基于點(diǎn)(tk1,fk1)，(tk,fk)和新點(diǎn)(tk1,fk1)(tk1,f(tk1,pk1構(gòu)))造f(t,y(t))的新的拉格朗日多項(xiàng)式，然后在區(qū)間[tk1,tk1]上對(duì)該多項(xiàng)式積分，結(jié)果為大家所熟悉的辛普森公式[13]：h(fk14fkfk1)（6）yk1yk132.5常微分方程的應(yīng)用微分方程在傳染病模型中的應(yīng)用隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、 醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展， 諸如霍亂、天花、等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。 但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來(lái)。 20世紀(jì)80年代四分險(xiǎn)惡的艾滋病毒開始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春來(lái)歷不明的非典病毒突襲人間，給人們的生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)極大的危害。長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程， 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的問(wèn)題。這里我們介紹的是按照一般傳播機(jī)理建立的數(shù)學(xué)模型如下。dp1(t)p2(t)p3(t))dp1(t)p3(t)p1(t)p2(t)，b(p1(t)dtdp2(t)(t)(dd)p2(t)，（1）p1(t)p2dtdp3(t)p2(t)(d3)p3(t)，dtt0:p1p10,p2p20,p3p30,其中pi00(i1,2,3)對(duì)上述常微分方程組進(jìn)行分析求解，就可以了解不同時(shí)刻傳染病的動(dòng)力學(xué)特征 (比如：[14]傳染病病情的發(fā)展趨勢(shì)，即各類人的人口數(shù)量 pi(t)的分布情況) .2.5.2常微分方程在捕魚業(yè)的應(yīng)用設(shè)某水域現(xiàn)有魚量x，由于受資源限制所能容納的最大魚量xm，高自然增長(zhǎng)率r，捕撈增長(zhǎng)率k，按人口的邏輯模型建立微分方程。dxrx(1x)kxdtxm要保持魚量平衡dx0，設(shè)平衡點(diǎn)為x0，解得x0rkxm設(shè)dxdtrf(x),考慮f(x)在x0的泰勒展式dtf(x)f(x0)(xx0)0(xx0)f(x0)kr當(dāng)f(x0)＞0時(shí)f(x)與xx0同號(hào)x0為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)當(dāng)f(x0)＜0時(shí)f(x)與xx0異號(hào)x0為穩(wěn)定平衡點(diǎn)f(x0)＜0即r＞k設(shè)f1(x)rx(1x)f2(x)kx由于k＜rxm曲線f1(x)與f2(x)有交點(diǎn)，因f1(x)在原點(diǎn)切線為yrx解得，易知當(dāng)x0xm時(shí)，取得最大捕撈量1r，21rx0rxmkf2(x)224最大捕撈量為r[15]4xm三、總結(jié)部分微分方程是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生的， 微分方程的研究又促進(jìn)實(shí)際問(wèn)題的解決，同時(shí)也促進(jìn)其他學(xué)科的發(fā)展 .微分方程在物理、 工程、 力學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域都有重要作用 .目前，微分方程的實(shí)際背景廣、應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)已受到廣泛關(guān)注.由于同一類型的微分方程往往可以用來(lái)描述許多性質(zhì)上頗不相同的自然現(xiàn)象，對(duì)一些重要的微分方程開展研究，可以有多方面的應(yīng)用前景，并可望在新興學(xué)科或邊緣學(xué)科的開發(fā)中及時(shí)地發(fā)揮作用 .[16]微分方程在幾百年的發(fā)展史上， 在每個(gè)時(shí)期最新的技術(shù)科學(xué)中建立了自已的落腳點(diǎn)，得到了實(shí)際的應(yīng)用， 從而刺激它飛躍地發(fā)展， 在完善理論的同時(shí)繼續(xù)深入其它新興技術(shù)學(xué)科領(lǐng)域近幾十年來(lái)，世界科學(xué)技術(shù)進(jìn)入核能、火箭、人造衛(wèi)星、數(shù)字時(shí)代，微分方程定性理論及方法不論在應(yīng)用上、理論上均不斷地?cái)U(kuò)展著自身的領(lǐng)域，顯示出前所未有的強(qiáng)大生命力 .它的理論和方法，過(guò)去和現(xiàn)在都對(duì)力學(xué)、天文、物理、化學(xué)、生物、各種技術(shù)科學(xué) (如自動(dòng)控制、無(wú)線電電子學(xué)等)及若干社會(huì)科學(xué)(如人口理論、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)等)提供了有力的工具，后者反過(guò)來(lái)也不斷地向它提出新的間題，刺激著它不斷地向前發(fā)展.[17]四、參考文獻(xiàn)張良勇,董曉芳.常微分方程的起源與發(fā)展[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006(3):34-38.[2] 黃賽.常微分方程發(fā)展的主要?dú)v史沿革 [J]. 教育與職業(yè).2006(2):36-41.黃煥福.常微分方程課程建設(shè)初探[J].教育與職業(yè),2007(14):146-148.林建平.常微分方程早期發(fā)展概觀[J].南京工程學(xué)院學(xué)報(bào),2001(2):1-4.[5] 周仲旺.幾類特殊的常微分方程 [J]. 濰坊學(xué)院學(xué)報(bào) .2003(6):7.邵曉鋒,徐衛(wèi)衛(wèi),李龍星.試析常微分方程模型的歸結(jié)方法[J].黃岡職業(yè)技術(shù)學(xué)院報(bào),2007(1):37-39.張同斌,管軍軍,焦萬(wàn)堂.基本微分方程的應(yīng)用研究[J].河南科學(xué),2007(6):888-890.胡建偉,湯懷民.微分方程數(shù)值解方法[M].科學(xué)出版社,2003(4).[9] JohnH.Mathews,Kurtis D.Fink.Numerical MethodsUsingMATLABFourth Edition[M].電子工業(yè)大學(xué)出版社 .2005(12).王高雄,周之銘等.常微分方程[M].高等教育出版社,2008(1).[11] JohnH.Mathews,Kurtis D.Fink.Numerical MethodsUsingMATLABFourth Edition[M].電子工業(yè)大學(xué)出版社 .2005(12).J.W.Thomas.偏微分方程的數(shù)值解法[M].世界圖書出版公司,1995(8).郭曉梅.常微分方程的數(shù)值解法[J].網(wǎng)絡(luò)財(cái)富，2009(8).姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社.2003(8).[15]JamesStewart.Calculus[M].FifthEdition.Beijing: 高等教育出版社 .2004(7):1141-1161.歐陽(yáng)瑞,孫要偉.常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào),2008(2):[17]JamesStewart.Calculus[M].FifthEdition.Beijing: 高等教育出版社 .2004(7):1141-1161.衛(wèi)生管理制度1 總則1.1 為了加強(qiáng)公司的環(huán)境衛(wèi)生管理，創(chuàng)造一個(gè)整潔、文明、溫馨的購(gòu)物、辦公環(huán)境，根據(jù)《公共場(chǎng)所衛(wèi)生管理?xiàng)l例》的要求，特制定本制度。1.2 集團(tuán)公司的衛(wèi)生管理部門設(shè)在企管部，并負(fù)責(zé)將集團(tuán)公司的衛(wèi)生區(qū)域詳細(xì)劃分到各部室，各分公司所轄區(qū)域衛(wèi)生由分公司客服部負(fù)責(zé)劃分，確保無(wú)遺漏。2 衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)2.1 室內(nèi)衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)2.1.1 地面、墻面：無(wú)灰塵、無(wú)紙屑、無(wú)痰跡、無(wú)泡泡糖等粘合物、無(wú)積水，墻角無(wú)灰吊、無(wú)蜘蛛網(wǎng)。2.1.2 門、窗、玻璃、鏡子、柱子、電梯、樓梯、燈具等，做到