第六章-非正弦周期信號(hào)電路

第六章-非正弦周期信號(hào)電路第一頁(yè)，共37頁(yè)。概述本章主要介紹非正弦周期信號(hào)作用于線性電路的分析方，其思路是把直流電路及正弦交流電路的分析方法應(yīng)用到非正弦周期交流電路中。分析這些電路的方法是：利用傅里葉級(jí)數(shù)將非正弦周期量分解為一系列不同頻率的正弦量之和，然后按照直流電路和正弦電路的計(jì)算方法，分別計(jì)算在直流和單個(gè)正弦信號(hào)作用下的電路響應(yīng)，再根據(jù)線性電路疊加原理將所得結(jié)果相加。這種方法稱為諧波分析法。主要內(nèi)容非正弦周期信號(hào)及分解非正弦周期信號(hào)的有效值，平均值和平均功率非正弦周期電路的計(jì)算.第二頁(yè)，共37頁(yè)。§6.1

非正弦周期信號(hào)及波形常見(jiàn)的幾種非正弦周期信號(hào)方波三角波鋸齒波脈沖波共同特點(diǎn)：其一它們都是周期波，其二它們的變化規(guī)律都是非正弦的

第三頁(yè)，共37頁(yè)。頻率不同的正弦電源作用于同一電路時(shí),也產(chǎn)生非正弦的周期信號(hào)正弦交流電直流電兩信號(hào)疊加后的波形第四頁(yè)，共37頁(yè)。電路中存在非線性元件，也產(chǎn)生非正弦的周期信號(hào)非線性元件二極管電源電壓波形整流后電流波形首頁(yè)第五頁(yè)，共37頁(yè)?！?-2

非正弦周期信號(hào)的分解不同頻率正弦波的合成例：已知兩個(gè)正弦電壓和試作出的波形。第六頁(yè)，共37頁(yè)。非正弦周期波的分解綜上所述，幾個(gè)頻率不同的正弦波之和是一個(gè)非正弦周期波，那么反過(guò)來(lái),一個(gè)非正弦周期波可以分解成幾個(gè)不同頻率的正弦波之和由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，如果一個(gè)函數(shù)是周期性的，且滿足狄里赫利條件，那么它可以展開(kāi)成一個(gè)收斂級(jí)數(shù)，即傅里葉級(jí)數(shù)。電工技術(shù)中所遇到的周期函數(shù)f(t)一般都能滿足這個(gè)條件，因而可以分解為下列的傅里葉級(jí)數(shù)。即：式中，ω=2π/T，T為f(t)的周期，K為正整數(shù)。上式中的A0、AK及BK稱為傅里葉系數(shù)第七頁(yè)，共37頁(yè)。傅里葉系數(shù)的確定：第八頁(yè)，共37頁(yè)。利用三角函數(shù)公式，將分解式中的同頻率正弦項(xiàng)與余弦項(xiàng)合并，則傅里葉級(jí)數(shù)還可以寫成另一種形式：式中：C0是非正弦周期函數(shù)在一周期內(nèi)的平均值，是一個(gè)常數(shù)，稱為周期函數(shù)f(t)的恒定分量（或直流分量），也稱為零次諧波。第二項(xiàng)C1sin(ωt+Φ1),稱為基波分量或一次諧波，其周期和頻率與原函數(shù)f(t)相同。其余各項(xiàng)的頻率是周期函數(shù)頻率的整數(shù)倍，稱為高次諧波第九頁(yè)，共37頁(yè)。例1：矩形周期波電壓如圖所示，求其傅立葉展級(jí)數(shù)：解：圖示矩形周期電壓，在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為：

周期函數(shù)展開(kāi)為傅里葉函數(shù)舉例第十頁(yè)，共37頁(yè)。K為奇數(shù)時(shí)K為偶數(shù)時(shí)直流分量為0所以：(k為奇數(shù)）第十一頁(yè)，共37頁(yè)。例2求出下圖所示的鋸齒波電流的傅里葉級(jí)數(shù)。解：鋸齒波電流的周期，角頻率和最大值分別為：查表6-1并計(jì)算得：（表6-1見(jiàn)教材）首頁(yè)第十二頁(yè)，共37頁(yè)?！?.3

函數(shù)對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系

把周期函數(shù)分解成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，并不一定包含所有諧波項(xiàng)。有的只包含有正弦項(xiàng)，有的只包含有余弦項(xiàng)。這是因?yàn)橹芷诤瘮?shù)具有對(duì)稱性。電工技術(shù)中遇到的周期函數(shù)的波形往往具有某種對(duì)稱性，利用函數(shù)的對(duì)稱性，不僅可使系數(shù)的計(jì)算過(guò)程得以簡(jiǎn)化，更重要的是可以根據(jù)波形的對(duì)稱性來(lái)判斷非正弦周期波的諧波成分。第十三頁(yè)，共37頁(yè)。奇函數(shù)（原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)（原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)的波形的特點(diǎn)：對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)的積分為零第十四頁(yè)，共37頁(yè)。當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，也是一個(gè)奇函數(shù)，因而有：奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中將不含直流分量和余弦項(xiàng)，只含正弦項(xiàng)第十五頁(yè)，共37頁(yè)。偶函數(shù)（縱軸對(duì)稱

）

奇函數(shù)（縱軸對(duì)稱

）

奇函數(shù)的波形的特點(diǎn)：對(duì)稱于坐標(biāo)縱軸在一個(gè)周期內(nèi)的積分為2倍半周期的積分第十六頁(yè)，共37頁(yè)。當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，也是一個(gè)奇函數(shù)，因而有：偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中將包含直流分量且只有余弦項(xiàng)，不含正弦項(xiàng)第十七頁(yè)，共37頁(yè)。

奇諧波函數(shù)（鏡對(duì)稱）

奇諧波函數(shù)（鏡對(duì)稱）

奇函數(shù)的波形的特點(diǎn)：在任一周期內(nèi)把第二個(gè)半波的波形向前移動(dòng)半個(gè)周期。就會(huì)與第一個(gè)半波對(duì)稱于橫軸，二者互為鏡像

在一個(gè)周期內(nèi)波形前移半周期波形相對(duì)于t軸鏡相對(duì)稱第十八頁(yè)，共37頁(yè)。當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，也是一個(gè)奇函數(shù)，因而有：不含直流分量和偶次諧波，只含奇次諧波（K為奇數(shù)）第十九頁(yè)，共37頁(yè)。例6-4已知周期函數(shù)f(t)如下圖所示，試判斷其中所含的諧波成份，并求其傅里葉級(jí)數(shù)分析：圖中方波以縱軸為對(duì)稱，因而是偶函數(shù)。因此，它的傅里葉級(jí)數(shù)中沒(méi)有正弦項(xiàng)，而只有余弦項(xiàng)。即：第二十頁(yè)，共37頁(yè)。此外，如將f(t)的波形沿時(shí)間軸移動(dòng)半周，如圖中虛線所示，兩個(gè)波形互呈鏡像對(duì)稱；這就是說(shuō)，它又是奇諧波函數(shù)，因而只含奇次諧波。即：綜上所述，f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)中只有奇次余弦項(xiàng)，計(jì)算得：第二十一頁(yè)，共37頁(yè)。分析：圖中三角波電壓對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱，因而是奇函數(shù)，只有正弦項(xiàng)；如將前半周波形后移半個(gè)周期，它將與下半周波形對(duì)稱于橫軸，如圖中虛線所示，這說(shuō)明該波形也是奇半波對(duì)稱，因而只有奇次諧波

；總之，這個(gè)三角波電壓中只含有奇次正弦項(xiàng)

例6-5圖6-11所示的是一個(gè)周期電壓三角波，試分析其中的諧波成份第二十二頁(yè)，共37頁(yè)。例題分析函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)后，理論上，必須用無(wú)窮多項(xiàng)來(lái)代表原函數(shù)。在實(shí)際運(yùn)算中，只能取有限項(xiàng)。如果級(jí)數(shù)收斂很快，只取前幾項(xiàng)就足夠了，如果級(jí)數(shù)收斂，則視精確度要求而定。一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，這與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)。首頁(yè)第二十三頁(yè)，共37頁(yè)?！?.4概非正弦周期信號(hào)

的有效值、平均值和平均功率非正弦周期電流的有效值:一個(gè)非正弦周期電流i可以分解為傅里葉級(jí)數(shù):第二十四頁(yè)，共37頁(yè)。則：（k≠q）第二十五頁(yè)，共37頁(yè)。非正弦周期電流i的有效值：I1、I2、I3等分別為基波、二次諧波、三次諧波等的有效值非正弦周期電壓的有效值為：U1、U2、U3等分別為基波、二次諧波、三次諧波等的有效值各次諧波有效值與最大值之間的關(guān)系為:第二十六頁(yè)，共37頁(yè)。非正弦周期電流的平均值:非正弦周期電流在一周期內(nèi)絕對(duì)值的平均值稱為該電流的平均值磁電式儀表（直流儀表）可以測(cè)量直流分量用電磁式或電動(dòng)式儀表測(cè)量所得結(jié)果是有效值用全波整流磁電式儀表測(cè)量所得結(jié)果是電流的平均值第二十七頁(yè)，共37頁(yè)。平均功率：

第二十八頁(yè)，共37頁(yè)。積分號(hào)內(nèi)兩個(gè)積數(shù)的乘積展開(kāi)，分別計(jì)算各乘積項(xiàng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，可得出五種類型項(xiàng)：（k≠q）第二十九頁(yè)，共37頁(yè)。二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率不按下式計(jì)算：是K次諧波的平均功率非正弦周期電路的平均功率，等于直流分量功率和各次諧波分量功率之和只有同頻率的諧波電壓和電流才能構(gòu)成平均功率，不同頻率的諧波電壓和電流不能構(gòu)成平均功率首頁(yè)第三十頁(yè)，共37頁(yè)?！?-5非正弦周期電流信號(hào)電路的計(jì)算

非正弦周期電流信號(hào)電路的計(jì)算方法：非正弦周期電流信號(hào)電路的計(jì)算步驟：

利用直流電路，交流電路的分析與計(jì)算方法以及疊加原理來(lái)計(jì)算把給定的非正弦周期信號(hào)分解成直流分量和各次諧波分量，并根據(jù)精度的具體要求取前幾項(xiàng)。分別計(jì)算電源的直流分量和各次諧波單獨(dú)作用時(shí)在電路中產(chǎn)生的電壓和電流。應(yīng)用線性電路的疊加原理，將所得屬于同一支路或元件的電壓、電流的瞬時(shí)值進(jìn)行疊加。第三十一頁(yè)，共37頁(yè)。在直流分量單獨(dú)作用時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路。在標(biāo)明參考方向以后，可以用直流電路的方法求解各電壓與電流。計(jì)算中還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：由于各次諧波的頻率不同，在用疊加原理計(jì)算最終結(jié)果時(shí)，不能把相量相加，只能將它們的瞬時(shí)值相加。，在標(biāo)明參考方向后，用相量法求解。在基波作用下的正弦交流電路中，、在K次諧波作用下的正弦交流電路中，，仍可用相量法求解。第三十二頁(yè)，共37頁(yè)。例：有一RL串聯(lián)電路，如下圖所示，已知R=100Ω，L=1H，輸入電壓u=50+63.7sin（314t）V，試求電流i和輸出電壓。解電流ｉ由直流分量和基波組成

計(jì)算u的直流分量單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流I0

直流電路中，電感相當(dāng)于短路，因此第三十三頁(yè)，共37頁(yè)。計(jì)算u的交流分量u1=63.7sin(314t)V單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流i1

將電流的直流分量和交流分量瞬時(shí)值疊加，得：由歐姆定律得：首頁(yè)第三十四頁(yè)，共37頁(yè)。小結(jié)本章主要介紹非正弦周期信號(hào)電路的分析方法，主要結(jié)論有：非正弦周期信號(hào)可用傅里葉級(jí)數(shù)分解成一