北師大初中數(shù)學教材解讀

初中數(shù)學與核心素養(yǎng)北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第1頁。北師大版初中數(shù)學教材

專業(yè)支持體系北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第2頁。如何理解核心素養(yǎng)北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第3頁。時代背景有什么新要求？新華社北京7月20日電：國務(wù)院近日印發(fā)《新一代人工智能發(fā)展規(guī)劃》，提出了面向2030年我國新一代人工智能發(fā)展的指導思想、戰(zhàn)略目標、重點任務(wù)和保障措施，部署構(gòu)筑我國人工智能發(fā)展的先發(fā)優(yōu)勢，加快建設(shè)創(chuàng)新型國家和世界科技強國。人工智能：對人的意識、思維的信息過程的模擬，其產(chǎn)品是一種類似人類智能方式做出反應(yīng)的智能機器。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第4頁。時代背景有什么新要求？案例：九寨溝地震發(fā)生18分鐘后，中國地震臺網(wǎng)用機器寫了篇新聞稿，寫作用時25秒。稿件用詞準確，行文流暢，且地形、天氣面面俱到，即便專業(yè)記者臨陣受命，作品也不過如此。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第5頁。時代背景有什么新要求？2017年3月貴州的大數(shù)據(jù)峰會：如果我們繼續(xù)以前的教學方法，對我們的孩子進行記、背、算，不讓孩子去體驗，不讓他們?nèi)W會琴棋書畫，我可以保證，30年后孩子們找不到工作，因為他沒有辦法與機器競爭！馬云語出驚人

以前的20年我們把人變成了機器，未來20年，我們會把機器變成人。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第6頁。時代背景有什么新要求？過去的200年是知識、科技的時代，未來100年是智慧、體驗的時代。知識可以學，但智慧不能學，只能體驗。在未來，大數(shù)據(jù)、機器將把人類知識領(lǐng)域的事全部做完，人類和機器的競爭關(guān)鍵在于智慧在于體驗。馬云語出驚人

北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第7頁。核心素養(yǎng)是如何提出的？80年代素質(zhì)教育十八大把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，全面實施素質(zhì)教育2014年研究提出各學段學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系要把學科核心素養(yǎng)貫穿始終高中課標修訂教育部《關(guān)于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務(wù)的意見》北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第8頁。總體框架是什么？學生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第9頁。三個方面：文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與六大素養(yǎng)：人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新十八個基本要點：人文積淀、人文情懷、審美情趣；理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究；樂學善學、勤于反思、信息意識；珍愛生命、健全人格、自我管理；社會責任、國際理解、國家認同；勞動意識、問題解決、技術(shù)運用總體框架是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第10頁。高中數(shù)學課程中的核心素養(yǎng)：學生應(yīng)該具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的、與數(shù)學有關(guān)的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)。高中數(shù)學核心素養(yǎng)有哪些？數(shù)學教育的終極目標（與人的行為有關(guān)）：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第11頁。高中數(shù)學核心素養(yǎng)有哪些？數(shù)學語言數(shù)學模型數(shù)據(jù)分析應(yīng)用的廣泛性數(shù)學思維邏輯推理數(shù)學運算數(shù)學的嚴謹性數(shù)學眼光數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學的一般性數(shù)學特征北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第12頁。如何理解初中數(shù)學的核心素養(yǎng)？基本思想，基本活動經(jīng)驗思想感悟和經(jīng)驗積累是一種隱性的東西，它在很大程度上影響人的思想方法。因此，對學生、特別是對那些未來不從事數(shù)學工作的學生的重要性是不言而喻的，這是學生數(shù)學素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，也是“育人為本”教育理念在數(shù)學學科的具體體現(xiàn)。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第13頁。8個核心概念它們涉及的是學生在數(shù)學學習中應(yīng)該建立和培養(yǎng)的關(guān)于數(shù)學的感悟、觀念、意識、思想、能力等，因此，可以認為，它們是學生在義務(wù)教育階段數(shù)學課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng)，是促進學生發(fā)展的重要方面。如何理解初中數(shù)學的核心素養(yǎng)？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第14頁。8個核心概念如何理解初中數(shù)學的核心素養(yǎng)？

數(shù)感、符號意識（數(shù)學抽象）

推理能力（邏輯推理）

幾何直觀、空間觀念（直觀想象）

運算能力（數(shù)學運算）

模型意識（數(shù)學建模）

數(shù)學分析觀念（數(shù)據(jù)分析）北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第15頁。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？對教師來說，在實際教學中落實對“基本數(shù)學思想、基本活動經(jīng)驗”的要求，關(guān)鍵是在教學設(shè)計中要有這方面的意識。比如，考慮在哪些教學環(huán)節(jié)可以滲透哪些數(shù)學思想；在分析問題、解決問題的整體結(jié)構(gòu)設(shè)計時，考慮可以滲透、示范哪些活動經(jīng)驗，等等。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第16頁。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？實踐中的一種傾向：強調(diào)基礎(chǔ)知識扎實、基本技能熟練，基礎(chǔ)知識扎實靠記憶，基本技能熟練靠訓練。我們的教育變成了記憶和訓練。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第17頁。案例：因式分解逆用分配律的簡便計算：29*36+29*64拼圖a2-b2=(a+b)(a-b)體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第18頁。由數(shù)到式的類比993-99=99(99+1)(99-1)。再舉幾個類似的例子。最后得到a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)分類：給一些整式乘法及因式分解的式子，讓學生分類明晰因式分解的概念體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第19頁。案例：“平均數(shù)”的一種設(shè)計籃球隊實力比較問題：如何比較兩個籃球隊員的實力？團隊配合、身高、年齡等。如何比較身高、年齡？——意圖：數(shù)據(jù)分析觀念（收集數(shù)據(jù)，分析判斷）；分析方法（理解平均數(shù)：數(shù)據(jù)的代表）體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第20頁。網(wǎng)頁設(shè)計比賽：體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第21頁。8個評委給2個選手打分，4個評委給乙打的分數(shù)高，1個評委給甲乙打的分數(shù)一樣，但甲的平均分高（因為其中1個評委給甲的分特高），平均分不能反映多數(shù)評委的意見。——意圖：數(shù)據(jù)分析觀念（數(shù)據(jù)中隱含著信息）；理解平均數(shù)（平均數(shù)易受極端值影響）體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第22頁。教師招聘問題：體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第23頁。

呈現(xiàn)甲乙兩人的筆試、課堂教學、面試答辯三部分成績，甲的平均成績高，而乙的課堂教學成績比甲高很多。有學生說選甲，也有學生說選乙。引出加權(quán)?！鈭D：數(shù)據(jù)分析觀念（數(shù)據(jù)中隱含著信息）；理解“權(quán)”的意義歸納得出加權(quán)平均數(shù)的概念學生舉加權(quán)平均數(shù)的實例體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第24頁。案例：“平均數(shù)”的另一種設(shè)計10個學生每人投10次球，投中數(shù)目分別為：6，8，10，6，8，8，10，10，10，8。這10個同學平均每人投中幾個球？

（用最原始的算法算）

這里的10個

表示各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)占總數(shù)值次數(shù)的比值，說明各數(shù)值在這組數(shù)據(jù)中的地位一樣。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第25頁。10個學生每人投數(shù)次球，投中數(shù)目為：2人投中6個球，4人投中8個球，4人投中10個球。這10個同學平均每人投中幾個球？

（用簡便算法算）

由此可以得到平均數(shù)的一種變形求法。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第26頁。10個學生每人投數(shù)次球，投中數(shù)目為：20%人投中6個球，40%人投中8個球，40%人投中10個球。這10個同學平均每人投中幾個球？

方法一：先求出人數(shù)

方法二：直接用百分比體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第27頁。某班學生每人投數(shù)次球，投中數(shù)目數(shù)為：20%人投中6個球，40%人投中8個球，40%人投中10個球。這個班的同學平均每人投中幾個球？

題目中沒有總?cè)藬?shù)。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第28頁。某班學生每人投數(shù)次球，投中6個球，8個球，10個球的人數(shù)比值為2:4:4。這個班的同學平均每人投中幾個球？結(jié)論：平均數(shù)=各個數(shù)值×每個數(shù)值出現(xiàn)次數(shù)占總次數(shù)的比值的和體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第29頁。算術(shù)平均數(shù)的定義加權(quán)平均數(shù)的定義兩種平均數(shù)的異同體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第30頁。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？案例：探索三角形相似的條件（一）北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第31頁。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？案例：《豐富的圖形世界》的定位北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第32頁。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？案例：用轉(zhuǎn)化的思想整體把握代數(shù)運算內(nèi)容北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第33頁。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第34頁。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第35頁。體現(xiàn)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是什么？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第36頁。從核心素養(yǎng)的高度

理解教材、把握教學

——數(shù)與代數(shù)北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第37頁。這是什么式？(x-1)2是多項式嗎？如果是，它是幾次幾項式？多項式的因式分解，分解后還是多項式嗎？1/a＋1/b是不是分式？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第38頁。這是什么式？解析式：把數(shù)、字母用運算符號聯(lián)結(jié)而成的式子。又稱數(shù)學式子，簡稱式子。在初等代數(shù)中，對各種“式”的定義是按照如下順序進行的：北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第39頁。初等運算包括代數(shù)運算與初等超越運算。代數(shù)運算：有限次的加減乘除、有理數(shù)次乘方。初等超越運算：無理數(shù)次乘方、對數(shù)、三角和反三角運算。這是什么式？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第40頁。代數(shù)式：在一個解析式中，對字母只進行有限次的代數(shù)運算，這樣的解析式叫做代數(shù)式。超越式：在一個解析式中，對字母進行有限次的初等超越運算，這樣的解析式叫做初等超越式，或稱簡單超越式，簡稱超越式。這是什么式？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第41頁。有理式：只含有加減乘除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運算的代數(shù)式，叫做有理式。無理式：含有開方運算的代數(shù)式，叫做無理式。含有根號的代數(shù)式叫根式。無理式一定是根式，但根式不一定都是無理式，如根號2。這是什么式？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第42頁。有理整式：只含有加減乘（包括非負整數(shù)次乘方）運算的有理式叫做有理整式。有理整式簡稱整式，也稱為多項式。單項式是多項式的特例。有理分式：含有除法運算的有理式，叫做有理分式。這是什么式？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第43頁。說明：定義中所指的各種運算，是針對字母而言的。這種分類方法是就它們的形式而言的，即針對化簡前的形式而言。這是什么式？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第44頁。按照這樣的定義，整式與多項式是一回事，單項式只是其中一類特例。因此，用初等代數(shù)的眼光來看，(x-1)2無疑是多項式。既然它是多項式，那它究竟是幾次幾項式呢？這是什么式？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第45頁。初等代數(shù)中的規(guī)定：一個多項式經(jīng)過恒等變形化為標準形式后（如果必要的話），是幾次幾項就稱為幾次幾項式。具體到剛才的問題，（x-1）2是二次三項式（不是標準形式）；因式分解是多項式的恒等變形，變形前后都是多項式。這是什么式？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第46頁。1/a＋1/b是不是分式？當然是分式，因為對a、b都有除法運算；同樣地，（x+3）÷（x-1）自然也是分式，因為按照定義，它是不是分式只與所含字母的運算有關(guān)，與書寫形式無關(guān)。這是什么式？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第47頁。教材：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解。3x-3=3（x-1）算不算因式分解？比較嚴謹?shù)亩x：把一個多項式表示成幾個不可約整式的連乘積的過程叫做因式分解。這是因式分解嗎？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第48頁。把一個多項式表示成幾個不可約整式的連乘積的過程。把一個整數(shù)表示成幾個質(zhì)數(shù)的連乘積的過程。除了1和它本身不再有其他因數(shù)當然因數(shù)：1和它本身除了當然因式，不再有其他因式當然因式？這是因式分解嗎？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第49頁。當然因式：每一個不等于0的數(shù)，以及每一個與給定的整式只差一個不等于0的數(shù)值因式的整式。不可約整式：給定數(shù)域F上的整式q，如果只有當然因式（沒有非當然因式），那么q就叫做F上的不可約整式?？杉s與否，與給定的數(shù)域有關(guān)：如2x2-1在有理數(shù)域不可約，在實數(shù)域可約。這是因式分解嗎？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第50頁。這是什么方程？x+y=x-2是一元一次方程嗎？同解方程：兩個方程的解完全相同。解集為空集的所有方程同解。同解變形：解方程時，用同解方程代替原方程的過程。一元n次方程：一個整式方程經(jīng)過同解變形能化成形如a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（其中a0，a1，…，an-1，an為常數(shù)，且a0≠0）的形式。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第51頁。這是什么方程？解整式方程時所用到的去分母、去括號、移項、合并同類項、用一個不等于零的數(shù)去乘方程的兩邊，都屬于同解變形。x+y=x-2經(jīng)過同解變形可化為y=-2，因此x+y=x-2是一元一次方程。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第52頁。這些問題容易爭執(zhí)不清，關(guān)鍵是教材沒有對相關(guān)代數(shù)概念給出系統(tǒng)且嚴謹?shù)亩x。教材為何不給出系統(tǒng)嚴謹?shù)亩x？與數(shù)學教材的功能有關(guān)。數(shù)學教材是用來教學的。數(shù)學教學的過程，是學生不斷豐富其數(shù)學知識技能的過程，是學生不斷感悟數(shù)學思想、積累數(shù)學活動經(jīng)驗的過程，同時也是學生不斷提高其發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的過程。為何定義不嚴謹？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第53頁。

因而，作為教學內(nèi)容主要來源的教材，它對很多概念的處理必須遵循學生的認識規(guī)律，不應(yīng)該也不可能做到一以貫之的嚴謹。比如，教材定義一元一次方程時為何不采用類似于一元二次方程的定義方式呢？原因在于，學生在學習一元一次方程時基本沒有什么解方程的經(jīng)驗，這時若出現(xiàn)“化成……形式”，他們會不知所云。為何定義不嚴謹？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第54頁。為何定義不嚴謹？與課程目標有關(guān)。初中數(shù)學學習各種代數(shù)式，主要目標是要用它們表示問題中的數(shù)量關(guān)系，掌握有關(guān)的運算，解決一些簡單問題，并在這一過程中發(fā)展符號意識、運算能力，感受模型思想。引入相關(guān)概念名詞，一定意義上是為了方便表達，并不是要對這些概念本身進行系統(tǒng)研究。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第55頁。為何定義不嚴謹？

初中數(shù)學學習各種方程，重點是根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，解決一些簡單問題，并體會方程的模型思想，發(fā)展應(yīng)用意識；為此還需要掌握各種方程的解法，提高運算能力和推理能力。因此，引入方程的相關(guān)概念，也不是要對方程的有關(guān)理論問題進行系統(tǒng)研究。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第56頁。為何定義不嚴謹？既然如此，在不影響實現(xiàn)課程目標的前提下，有關(guān)概念不那么嚴謹又有何妨？相反，如果讓初中學生去掌握這些系統(tǒng)而嚴謹?shù)亩x，那才是得不償失的。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第57頁。為何定義不嚴謹？因此，在教學中不必花過多精力用以判斷一個式子是不是某種“式”，或者一個方程是不是某種方程，特別要避免那些容易引發(fā)爭議的判斷問題，因為這與規(guī)定有關(guān)，與理解相關(guān)內(nèi)容的本質(zhì)關(guān)系不大，也不是教學的重點所在。在教學和考試中都要回避這一類的爭議問題。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第58頁。幾何與代數(shù)的定義有差別？概念的嚴謹程度與教科書中相應(yīng)內(nèi)容體系的理論嚴謹程度有關(guān)。平面幾何的有關(guān)概念總體上更為嚴謹。原因：與兩個領(lǐng)域知識體系的嚴謹程度有關(guān)。目前，平面幾何知識體系總體上是一個演繹論證體系；而代數(shù)領(lǐng)域的課程內(nèi)容在這方面則要弱得多。演繹論證體系中的概念，由于證明的需要，必須進行相對嚴謹?shù)谋硎觥１睅煷蟪踔袛?shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第59頁。幾何與代數(shù)的定義有差別？對概念要正確理解，區(qū)別對待。只是為稱呼方便而提出的概念，只需讓學生了解其大意即可。重要的概念要在理解上下功夫。盡量不要單純地考查概念的定義。有關(guān)的計算、論證、應(yīng)用既可直接考查技能與應(yīng)用知識能力，也可間接考查對概念的掌握情況，這比單純考概念要好得多。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第60頁。兩種安排順序：先學方程組：傳統(tǒng)上我國初中數(shù)學在處理一次函數(shù)與二元一次方程組的順序時，通常是先學習二元一次方程組的相關(guān)內(nèi)容，然后再學習一次函數(shù)的內(nèi)容。教材設(shè)計：先研究一次函數(shù)，再研究二元一次方程組。為何一次函數(shù)在方程組之前？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第61頁。教材為什么要先學一次函數(shù)？幾何直觀：利用圖形描述和分析問題已知二次函數(shù)

y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，

回答下列問題：為何一次函數(shù)在方程組之前？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第62頁。寫出一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根；寫出不等式ax2+bx+c>0的解集；關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。為何一次函數(shù)在方程組之前？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第63頁。先學一次函數(shù)有利于發(fā)展幾何直觀：學生在解決一次函數(shù)的有關(guān)問題時由于還沒有掌握二元一次方程組這一代數(shù)工具，因此就不得不借助圖象：要么借助圖象看出一個參數(shù)，用一元一次方程求出另一個參數(shù)；要么完全借助圖象來解決問題。為何一次函數(shù)在方程組之前？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第64頁。先學方程組是否也可以達到同樣的效果？當學生掌握了方程組這一代數(shù)工具后，多數(shù)學生在解決一次函數(shù)的有關(guān)問題時往往就會表現(xiàn)出代數(shù)化傾向代數(shù)技能與幾何直觀：孰輕孰重？相比而言，發(fā)展學生幾何直觀的機會比較少，而且很多時候需要教師進行有意識的深度挖掘。為何一次函數(shù)在方程組之前？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第65頁。為何一次函數(shù)在方程組之前？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第66頁。這樣的設(shè)計，與人類的發(fā)現(xiàn)過程基本一致，創(chuàng)設(shè)了認知沖突，使學生經(jīng)歷了探索、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學思考的過程，同時體會到數(shù)學概念的實際背景。為何實數(shù)在勾股定理之后？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第67頁。從人類的認識歷史來說，勾股定理是發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的基礎(chǔ)。正是因為有了勾股定理，才導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。第一次數(shù)學危機。為何實數(shù)在勾股定理之后？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第68頁。從教學來說，盡管學生的認識過程不能完全等同于人類的認識過程，但人類的認識過程無疑對設(shè)計教學過程具有重要的意義：人類認識數(shù)學過程中的矛盾、困惑和危機，正好可以用來構(gòu)建學生認識數(shù)學的認知沖突。從而可以使學生了解學習無理數(shù)的必要性，同時可以使得學生認識無理數(shù)的素材更加豐富。為何實數(shù)在勾股定理之后？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第69頁。如果反過來設(shè)計，那么一般只能從諸如“±2的平方等于4，±2叫做4的平方根，那么2的平方根等于多少呢？如何表示呢？”從而引出平方根的概念和表示。接著研究帶根號的數(shù)的小數(shù)表示，引出無理數(shù)的概念。這樣設(shè)計，背景平淡，不易留下較為深刻的思維印記；可能還會有學生質(zhì)疑研究無理數(shù)的必要性：“有平方等于2的數(shù)嗎？”為何實數(shù)在勾股定理之后？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第70頁。帶來的不便：在“勾股定理”一章的教學中，因?qū)W生尚未學習開平方，故而需要精心選擇有關(guān)問題涉及的數(shù)據(jù)。但換個角度看，如果能讓學生在學習這一章時感受到數(shù)據(jù)需要選擇，那么豈不更能激發(fā)其學習無理數(shù)的欲望嗎？為何實數(shù)在勾股定理之后？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第71頁。運算能力與算理教學有一種比較流行的說法：當今學生的運算的能力大不如從前。這種說法所說的“運算能力”實際上更多指的是“計算技能”，強調(diào)的是“熟練程度”。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第72頁。就計算技能而言，可能真的今不如昔！計算技術(shù)進步的一個必然結(jié)果。當今智能化加速了這種趨勢。要與時俱進。數(shù)學教育強調(diào)的是“運算能力”。運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第73頁。課標：主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算能力：前提——理解算理；結(jié)果——會算和算正確。不過分強調(diào)速度，不過分強調(diào)技巧（學數(shù)學與學財會的差別）。運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第74頁。數(shù)學運算包括算理和算法兩個方面：算理———為什么這樣算，算法——怎樣算。教學實踐中重算法，輕算理？案例1：有理數(shù)的除法運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第75頁。主要內(nèi)容是利用除法和乘法的關(guān)系，探索有理數(shù)的除法法則1和除法法則2。在探究法則1環(huán)節(jié)，設(shè)計了三個問題，基本沒有作任何解釋，放手讓學生分組探究：（1）根據(jù)乘法法則計算下列算式：2×（-3），（-4）×（-3），8×9，2×4，2×（-4），（-2）×（-4）。運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第76頁。

（2）利用除法是乘法的逆運算確定下列除法算式的值：

（-6）÷（-3），12÷（-4），72÷9，8÷4，（-8）÷（-4），8÷（-4）。

（3）結(jié)合有理數(shù)的乘法法則，觀察除法算式商的符號及其絕對值與被除數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，歸納總結(jié)出有理數(shù)的除法法則。運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第77頁。課堂效果：一個小組：“除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”；另一小組“除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；同號得正，異號得負；0除以任何數(shù)都得0”；還有一小組是

“同號得正，異號得負”。問題出在哪里？運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第78頁。學生清楚“除法是乘法的逆運算”的意思嗎？（-6）÷（-3），這是有理數(shù)的除法，計算這個式子就是要尋求一個數(shù)“”，使得

（-3）×=-6（除數(shù)×商=被除數(shù)）；

因為（-3）×2=-6，所以（-6）÷（-3）=2運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第79頁。案例2：用兩種方法解分式方程為什么可以交叉相乘？依據(jù)是什么？它與常規(guī)解法有什么異同？運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第80頁。案例3：方差運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第81頁。除以同一個不為0的數(shù)恰當把握：解方程的依據(jù)是什么？運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第82頁?？键c選擇不太合適運算能力與算理教學北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第83頁。運算能力與算理教學過分強調(diào)計算速度是沒有道理的，速度的訓練是導致學生課業(yè)負擔加重的主要原因。素養(yǎng)培養(yǎng)是慢功夫。數(shù)學學習是需要思考的，教師的一項重要責任，就是要引導和啟發(fā)學生學會思考、敢于思考、善于思考。速度要求要適當北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第84頁。從核心素養(yǎng)的高度

理解教材、把握教學

——圖形與幾何北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第85頁。圖形與幾何領(lǐng)域有何教育價值？演繹證明？空間觀念，幾何直觀，推理能力以傳統(tǒng)平面幾何內(nèi)容為例，談推理能力的設(shè)計北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第86頁。人類很早就在生活和實踐中認識了許多幾何知識。但它們大都是粗淺的、直觀的、經(jīng)驗性的和零散的。以泰勒斯為代表的數(shù)學家開始嘗試將幾何結(jié)果排成邏輯鏈條；排在前面的可以推導出排在后面的，因而有了“證明”的念頭。畢達哥拉斯學派在此基礎(chǔ)上又進行了更深入的研究。幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第87頁。柏拉圖把邏輯學的思想方法引入了幾何，提出了“分析法與綜合法”。亞里斯多德提倡演繹方法，提出的“三段論”對幾何學的發(fā)展影響巨大。

他關(guān)注演繹系統(tǒng)的構(gòu)建：A為何成立？因為B；而B為何成立？因為C；……因此要講究證明就必須有出發(fā)點，叫做公設(shè)。幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第88頁。柏拉圖提供方法，亞里士多德供演繹架構(gòu)，還有許多數(shù)學家累積了更多的幾何知識。這一切都預(yù)示著，更偉大的作品將要出現(xiàn)。幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第89頁。歐幾里得的《原本》（theElements）。對前人積累的大量數(shù)學成果進行了整理，采用了前所未有的獨特編寫方式：提出5條公設(shè)、5條公理；每一卷前面都列出本卷所要用到的概念的定義，共計119個定義。以此為基礎(chǔ)推導出所有的定理。幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第90頁。歐幾里得的貢獻在于：不僅僅作出了證明，更重要的是，他是在這種公理體系中作出的證明。這種論證方法的優(yōu)越性十分明顯，每一個命題都與前一個命題有著十分清晰而明確的聯(lián)系，可以避免循環(huán)論證。這是公理化方法的初始，在人類思想史上具有里程碑意義。幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第91頁?！对尽返穆┒矗河行┒x模糊不清，有些概念根本就沒有定義；而作為推理依據(jù)的公設(shè)與公理嚴重不足，因此在證明某些定理時，歐幾里得不得不借助圖形直觀。第5公設(shè)與非歐幾何的誕生公設(shè)5.

兩條直線被第三條直線所截，如果同側(cè)兩個內(nèi)角之和小于2直角，那么這兩條直線在這一側(cè)相交。幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第92頁。直到19世紀末，希爾伯特在前人工作的基礎(chǔ)提出了一個比較完善的幾何公理體系：列出了三個基本對象：點、直線、平面提出了三個基本關(guān)系：結(jié)合關(guān)系——點在直線上、點在平面上；順序關(guān)系——一點在另兩點之間；合同關(guān)系——兩線段合同、兩角合同幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第93頁。規(guī)定了5五組公理（共20條）：結(jié)合公理8條、順序公理4條、合同公理5條、平行公理1條、連續(xù)公理2條基本對象與基本關(guān)系統(tǒng)稱為基本概念，它們是不加定義的，只受5組公理的制約幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第94頁。由希爾伯特的結(jié)合、順序、合同、連續(xù)4組公理所建立的幾何體系稱為絕對幾何。在此基礎(chǔ)上，若增加歐幾里得平行公理就可以得到歐氏幾何體系；若增加羅巴切夫斯基平行公理就可以得到羅氏幾何體系。幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第95頁。啟示人類首先認識的幾何知識是一個個具體且零散的知識；認識方法更多是今天所說的合情推理。演繹推理的方法是幾何發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物，需要一系列的鋪墊工作，而且與文化環(huán)境有密切的關(guān)系。幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第96頁。公理化方法的最大作用不是發(fā)現(xiàn)知識，而是對既有知識進行整理；它不是從一開始就有的，只有相關(guān)知識積累的一定程度后，它才有產(chǎn)生的必要。幾何發(fā)展史有怎樣的啟示？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第97頁。幾何學習難在哪里？語言難。平面幾何所用的語言及有關(guān)術(shù)語有其獨特性和抽象性，與學生之前接觸的數(shù)學語言區(qū)別較大，很多學生在相當時期內(nèi)不適應(yīng)、不習慣、不理解這種用語。此外，文字語言、圖形語言和符號語言的轉(zhuǎn)換對學生來說也是一個難點。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第98頁。技能難。比如，平面幾何證明的書寫方式與之前代數(shù)中用到的推理書寫方式有區(qū)別。盡管本質(zhì)上大都是三段論，但在代數(shù)中的書寫更接近生活語言，而在幾何中則是采用了簡化的書寫方式，很多學生不習慣這種表達方式。另外，在畫圖、識圖等方面學生也存在諸多障礙。幾何學習難在哪里？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第99頁。思路難。證明思路的獲得基本上無程序可言，有關(guān)規(guī)律的總結(jié)需要教師、學生做很多深度挖掘，對思維的靈活性要求更高。教材的設(shè)計不可能消滅難點，只能分散難點，盡量幫助學生渡過難關(guān)。幾何內(nèi)容的變化趨勢：內(nèi)容在不斷減少；內(nèi)在邏輯嚴謹性的要求在不斷減弱；證明的難度在不斷降低。幾何學習難在哪里？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第100頁。平面幾何內(nèi)容分哪幾個階段？第一階段：基本平面圖形，相交線與平行線，三角形，生活中的軸對稱（簡單的軸對稱圖形），勾股定理第二階段：平行線的證明，三角形的證明第三階段：平行四邊形，特殊平行四邊形，圖形的相似，直角三角形的邊角關(guān)系，圓北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第101頁。第一階段整體描述：以發(fā)展合情推理為主，由淺入深逐步滲透演繹推理（說理）基本特點：以直觀、操作、折紙、畫圖、度量及軸對稱等實驗性方法為主，借助觀察、比較、類比、歸納等合情推理獲得結(jié)論；從“相交線與平行線”開始，逐步有意識地滲透簡單的演繹推理訓練（說理）。平面幾何內(nèi)容分哪幾個階段？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第102頁。設(shè)計意圖：發(fā)展合情推理。這一階段由于尚未引入證明，所以就為用合情推理研究圖形提供了比較充分的時間和空間。同時，初步形成自覺探究、發(fā)現(xiàn)的意識，學會探索、發(fā)現(xiàn)幾何圖形性質(zhì)的基本方法，并在這一過程中感悟數(shù)學的基本思想，積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。平面幾何內(nèi)容分哪幾個階段？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第103頁。防冒進。這一階段沒有正式引入證明，是為了限制證明的使用，防止脫離學生的認知實際，過早地、不適當?shù)匕胃咦C明的難度，使部分學生失去學習的興趣、喪失學好數(shù)學的信心。平面幾何內(nèi)容分哪幾個階段？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第104頁。

打好基礎(chǔ)。在這一階段，力圖在幾何語言、識圖畫圖、簡單推理等方面打好基礎(chǔ)，有計劃地逐步提出并加強說理的要求，為演繹證明做好準備。

幾何語言常用幾何用語的習慣與轉(zhuǎn)換。比如，經(jīng)常讓學生“說”——說自己是如何想的，說自己是如何畫的……讓學生“說”方法，“說”解題過程，給每一位學生“說”的機會，鼓勵學生大膽地“說”。三種形式互相轉(zhuǎn)化。平面幾何內(nèi)容分哪幾個階段？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第105頁。

畫圖、識圖

注重畫圖、識圖技能的訓練，特別是一些反映重要概念、結(jié)論的典型圖形及其變式，使學生能夠真正抓住幾何概念、結(jié)論所反映的幾何圖形的本質(zhì)屬性，并在頭腦中形成相應(yīng)的幾何形象。平面幾何內(nèi)容分哪幾個階段？

簡單演繹推理

從簡單的情形開始，循序漸進訓練說理，重在對因果關(guān)系的理解。比如，對于有關(guān)幾何結(jié)論，要讓學生理解它的條件和結(jié)論，弄清適用范圍等。北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第106頁。第二階段整體描述：以演繹推理為主，學習綜合法證明基本特點：正式引入證明（啟動儀式），以平行線、三角形全等的綜合法證明為主；所證明的結(jié)論有相當一部分是第一階段探索過的。平面幾何內(nèi)容分哪幾個階段？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第107頁。設(shè)計意圖：

基本掌握綜合法證明的表達方式。

初步積累分析證明思路的經(jīng)驗。平面幾何內(nèi)容分哪幾個階段？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第108頁。第三階段整體描述：把合情推理與演繹推理合二為一，邊探索邊證明設(shè)計意圖：在這一階段，把合情推理與演繹推理融為一體，進一步提高學生推理能力的水平，逐步提升綜合能力。平面幾何內(nèi)容分哪幾個階段？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第109頁。三步走——第一步形式：因為……，根據(jù)……，所以……。如圖，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF與AB平行嗎？說說你的理由。推理表達方式是如何設(shè)計的？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第110頁。

解：因為∠1=∠2，

根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，

所以EF∥CD。

又因為AB∥CD，

根據(jù)“平行于同一條直線的兩條直線平行”，

所以EF∥AB。推理表達方式是如何設(shè)計的？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第111頁。特點：與生活中的說理語言類似，又便于與之后的綜合法證明表達方式相銜接。目的：理解“因”“果”“由因得果的依據(jù)”這三者之間的邏輯關(guān)系，在從事“推理”活動之初，將注意力放到對“條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系”的理解上；為后面幾何證明做些鋪墊；為有條理地進行思考和有根據(jù)地進行表達發(fā)揮積極的引導作用。推理表達方式是如何設(shè)計的？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第112頁。三步走——第二步形式：∵……（注明理由），∴……（注明理由）。已知：如圖，AB∥CD，如果∠1=∠2。求證：EF∥AB。推理表達方式是如何設(shè)計的？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第113頁。

證明：∵∠1=∠2，

∴EF∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。

又∵AB∥CD，

∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩條直線平行）。特點：符號化，詳注理由。目的：進一步理解“因”“果”“由因得果的依據(jù)”這三者之間的邏輯關(guān)系。推理表達方式是如何設(shè)計的？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第114頁。隨著學生對“條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系”理解的深入，逐步減少對理由的標注。三步走——第三步形式：∵……，∴……”。不再標注理由。推理表達方式是如何設(shè)計的？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第115頁。已知：如圖，AB∥CD，如果∠1=∠2。求證：EF∥AB。證明：∵∠1=∠2，

∴EF∥CD。

又∵AB∥CD，

∴EF∥AB。推理表達方式是如何設(shè)計的？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第116頁。第一階段，基本概念、名詞術(shù)語、符號等都將集中出現(xiàn)。這些知識從表面上看似乎不難，加之枯燥乏味，學生往往掉以輕心；教師也常常因為這些內(nèi)容比較零碎，不太重視，想盡早進入平面幾何教學的“華彩樂章”。為何不宜過早引入幾何證明？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第117頁。從技能和能力的要求看，平面幾何教學需要學生逐步具備識圖、畫圖、作圖，正確地理解和表述幾何語言、分析的方法、說理的技能等等。這些技能和思想方法，學生在學習平面幾何以前沒有得到過系統(tǒng)的訓練和培養(yǎng)。因此，平面幾何教學在技能、能力和思想方法的要求上，具有“突變性”的特點。為何不宜過早引入幾何證明？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第118頁。把兩個特點結(jié)合起來考慮，應(yīng)該利用第一階段知識難度不大的時機，有計劃有重點地逐步訓練學生掌握學好幾何所必須具備的基礎(chǔ)性技能和思想方法，而不應(yīng)急于進入推理論證教學。同時，不宜把這些訓練安排在第二階段后去進行。因為第二階段已是諸種技能和能力的綜合運用階段。到那時再開始進行基本的訓練，就為時太晚了。為何不宜過早引入幾何證明？北師大初中數(shù)學教材解讀全文共136頁，當前為第119頁。思路比格式重要得多：在平面幾何教學中提高學生的推理能力，最需要下功夫之處是